程序代写代做 AWS go ER Fortran C flex RFLAC 软件理论手册 (2016年9月V1.0版)

RFLAC 软件理论手册 (2016年9月V1.0版)

目录
符号表 ……………………………………………………………………………………………………………………………..i 1、软件介绍……………………………………………………………………………………………………………………. 1
1.1 手册组织结构…………………………………………………………………………………………………….1
1.2 理论基础概述…………………………………………………………………………………………………….1 1.2.1 结构模型…………………………………………………………………………………………………1 1.2.2 气动模型…………………………………………………………………………………………………2 1.2.3 分析方法…………………………………………………………………………………………………3
参考文献………………………………………………………………………………………………………………….. 4 2、结构模型……………………………………………………………………………………………………………………. 6
2.1 直升机模型………………………………………………………………………………………………………..6 2.1.1 直升机运动和坐标系……………………………………………………………………………….6 2.1.2 桨叶变形运动坐标系……………………………………………………………………………….8 2.1.3 无量纲化和阶数规则……………………………………………………………………………..13
2.2 基于 Hamilton 原理的推导……………………………………………………………………………….14 2.2.1 桨叶能量表达式…………………………………………………………………………………….15 2.2.2 机身能量表达式…………………………………………………………………………………….27
2.3 桨叶运动方程…………………………………………………………………………………………………..28 2.3.1 空间有限元离散…………………………………………………………………………………….29 2.3.2 空间有限元方程…………………………………………………………………………………….32 2.3.3 单元结构矩阵和载荷向量………………………………………………………………………34 2.3.4 单元矩阵(和载荷向量)的组集 ……………………………………………………………. 39 2.3.5 施加桨叶运动边界条件………………………………………………………………………….40
2.4 结构建模的实现……………………………………………………………………………………………….43 2.4.1 计算桨叶矩阵(SUBROUTINE STRUCT)…………………………………………………..43
参考文献………………………………………………………………………………………………………………… 50 3、气动模型………………………………………………………………………………………………………………….. 52
3.1 准定常气动模型……………………………………………………………………………………………….52 3.1.1 气流速度推导………………………………………………………………………………………..53 3.1.2 准定常气动载荷表达式………………………………………………………………………….60 3.1.3 有限元离散……………………………………………………………………………………………67 3.1.4 桨叶方程的有限元离散………………………………………………………………………….68 3.1.5 机身方程的有限元离散………………………………………………………………………….70 3.1.6 机身-桨叶矩阵………………………………………………………………………………………72 3.1.7 非线性力……………………………………………………………………………………………….73 3.1.8 机身气动力模型…………………………………………………………………………………….74
3.2 准定常气动模型的实现…………………………………………………………………………………….76 3.2.1 桨叶速度的实现…………………………………………………………………………………….76 3.2.2 线性气动力……………………………………………………………………………………………82 3.2.3 非线性气动力………………………………………………………………………………………..86 3.2.4 桨叶运动引起的虚功……………………………………………………………………………..89 3.2.5 机身运动引起的虚功……………………………………………………………………………..90 3.2.6 SUBROUTINE AEROMX 介绍……………………………………………………………………….95
I

3.3 非定常气动模型……………………………………………………………………………………………..101 3.3.1 附着流公式………………………………………………………………………………………….101 3.3.2 攻角变化引起的环量和脉冲升力………………………………………………………….103 3.3.3 攻角变化引起的环量和脉冲俯仰力矩 …………………………………………………… 104 3.3.4 变距角速率引起的环量和脉冲升力………………………………………………………105 3.3.5 变距角速率引起的环量和脉冲俯仰力矩……………………………………………….106 3.3.6 分离流公式………………………………………………………………………………………….106 3.3.7 动态失速公式………………………………………………………………………………………108
3.4 非定常气动模型的实现…………………………………………………………………………………..110 3.4.1 沉浮和变距角速率引起的环量升力 ………………………………………………………. 110 3.4.2 沉浮引起的脉冲升力……………………………………………………………………………. 116 3.4.3 变距角速率引起的脉冲升力…………………………………………………………………117 3.4.4 环量沉浮和变距速率引起的非定常俯仰力矩 ………………………………………… 118 3.4.5 脉冲沉浮引起的非定常俯仰力矩………………………………………………………….119 3.4.6 脉冲俯仰角速率引起的非定常俯仰力矩 ……………………………………………….. 119 3.4.7 非定常阻力………………………………………………………………………………………….120 3.4.8 对准定常气动载荷做非定常修正………………………………………………………….123 3.4.9 定常和非定常气流分离的实现……………………………………………………………..124 3.4.10 准定常后缘分离系数………………………………………………………………………….125 3.4.11 非定常后缘分离系数………………………………………………………………………….127 3.4.12 动态失速……………………………………………………………………………………………131
3.5 旋翼尾流模型…………………………………………………………………………………………………133 3.5.1 均匀和线性入流模型……………………………………………………………………………134 3.5.2 刚性和自由尾流模型……………………………………………………………………………134 3.5.3 旋翼尾流分析………………………………………………………………………………………135 3.5.4 旋翼尾流几何形状……………………………………………………………………………….136 3.5.5 尾流几何形状公式……………………………………………………………………………….137 3.5.6 刚性尾流模型………………………………………………………………………………………138 3.5.7 自由尾流模型………………………………………………………………………………………139 3.5.8 影响系数计算………………………………………………………………………………………140 3.5.9 诱导速度计算………………………………………………………………………………………140 3.5.10 针对高速飞行的自由尾流模型改进…………………………………………………….140
3.6 尾流模型的实现……………………………………………………………………………………………..145 3.6.1 尾流分析过程………………………………………………………………………………………146 3.6.2 尾流子程序………………………………………………………………………………………….147
3.7 动态入流模型…………………………………………………………………………………………………150
参考文献………………………………………………………………………………………………………………. 158 4. 配平分析………………………………………………………………………………………………………………….160 4.1 概述……………………………………………………………………………………………………………….160 4.2 配平方程………………………………………………………………………………………………………… 160 4.2.1 推力配平………………………………………………………………………………………………160 4.2.2 风洞配平………………………………………………………………………………………………163 4.2.3 桨叶响应方程……………………………………………………………………………………….163 4.2.4 桨叶响应方程的模态缩减 …………………………………………………………………….. 164
II

4.3 时间有限元离散………………………………………………………………………………………………165
4.4 耦合配平………………………………………………………………………………………………………..169 4.4.1 初始操纵估算………………………………………………………………………………………170 4.4.2 采用时间有限元法求解桨叶稳态周期响应……………………………………………171 4.4.3 桨叶载荷和展向气动环量计算……………………………………………………………..172 4.4.4 桨毂载荷及其谐波计算………………………………………………………………………..179 4.4.5 全机载荷计算………………………………………………………………………………………181 4.4.6 入流更新……………………………………………………………………………………………..181 4.4.7 Jacobian矩阵的计算和操纵更新…………………………………………………………182 4.4.8 改进的配平算法…………………………………………………………………………………..183 4.4.9 桨叶和全机响应的收敛………………………………………………………………………..184
4.5 配平分析的程序实现………………………………………………………………………………………185 4.5.1 SUBROUTINE TRIM的功能……………………………………………………………………..185 4.5.2 SUBROUTINE TRIM的输入……………………………………………………………………..186 4. 5.3 SUBROUTINE TRIM的输出……………………………………………………………………190 4.5.4 SUBROUTINE TRIM的性能……………………………………………………………………..191
参考文献………………………………………………………………………………………………………………. 200 5 无轴承旋翼的建模…………………………………………………………………………………………………….201
5.1 概述……………………………………………………………………………………………………………….201
5.2 分析模型………………………………………………………………………………………………………..202
5.3 无轴承旋翼桨毂运动学…………………………………………………………………………………..203 5.3.1 桨距拉杆和摆振销(Lag Pin)引起的运动约束…………………………………..204 5.3.2 夹持(Clevis)端处的位移相容条件…………………………………………………..208
5.4 有限元分析…………………………………………………………………………………………………….210 5.4.1 基于Hamilton原理的公式推导……………………………………………………………210 5.4.2 有限元建模………………………………………………………………………………………….212 5.4.3 施加运动约束………………………………………………………………………………………213 5.4.4 缓冲器(Snubber)的建模…………………………………………………………………..216
5.5 对原求解算法的修改………………………………………………………………………………………218 5.5.1 离心力计算………………………………………………………………………………………….218 5.5.2 配平求解……………………………………………………………………………………………..218
5.6 算法实现………………………………………………………………………………………………………..221
参考文献………………………………………………………………………………………………………………. 224 6 核心算法流程图………………………………………………………………………………………………………..225 6.1 顶层结构………………………………………………………………………………………………………..225 6.2 输入子系统结构……………………………………………………………………………………………..226 6.3 BLDVIB 结构……………………………………………………………………………………………………227 6.4 TRIM 结构……………………………………………………………………………………………………….228
III

符号表
a 升力线斜率 as 音速
ar 桨叶相对于惯性系的加速度矢量 Aj 脉冲响应函数系数
A 稳定性矩阵
bj 脉冲响应函数中的指数
c 桨叶弦长
c0 零攻角下的升力系数
c0ht 平尾在零攻角下的升力系数 c1 主桨叶翼型升力线斜率
c1ht 平尾升力线斜率
c1ht 尾桨叶翼型升力线斜率
Cc 弦向力系数
Cd 阻力系数
Cd0 零升(粘性)阻力系数
Cl 桨叶截面升力系数
Cmv 漩涡诱导的俯仰力矩系数
Cmac 桨叶截面对气动中心的俯仰力矩系数 Cn1 界定附着流的临界法向力系数
Cnc 环量法向力系数
Cni 非环量(脉冲)法向力系数
Cm 相对于 1/4 弦长处的俯仰力矩系数 Cnp 势流条件下的法向力系数
i

Cnv 漩涡诱导的法向力系数
Cnα 法向力(升力)曲线斜率， 1/rad
Cn 法向力系数
C′ 滞后的法向力系数 n
Cnmax 最大法向力系数 CP 漩涡诱导的压心
v
Cp 压力系数
CT 旋翼拉力系数
Cv 漩涡升力增量
Cb 桨叶阻尼矩阵
CbF 桨叶-机身阻尼矩阵 CFb 机身-桨叶阻尼矩阵 CFF 机身阻尼矩阵
Cb 桨叶模态阻尼矩阵
Df 附面层滞后引起的衰减函数
DF 机身阻力
Dp 前缘压强滞后引起的衰减函数 D 尾流畸变向量
ea 拉伸轴在弹性轴之前的弦向长度
ed 气动中心在弹性轴之后的弦向长度
eg 桨叶质心在弹性轴之前的弦向长度 E 弹性模量
EA 轴向拉伸刚度
EB , EB 截面刚度常数 12
ii

EC1 EC2
EI y , EI z
f
f
f0, f1
翘曲刚度
截面翘曲常数挥舞弯曲刚度，摆振弯曲刚度后缘分离点无量纲展向坐标， y + μ sinψ 俯仰力矩系数
桨叶轴向力
FA
Fx , Fy , Fz 桨叶截面 x，y，z 方向的剪力的合力
F H , F H , F H 不旋转坐标系中。沿 X，Y，Z 方向的旋翼桨毂剪力的合力 xyz
FI Fb
Fb G
GJ
h&
h
Hu
H
Hˆ φ
分布的惯性力矢量
桨叶载荷矢量
桨叶模态载荷矢量
剪切模量扭转刚度
沉浮速度
直升机重心到桨毂中心沿 Z 轴的垂向距离轴向力型函数矢量
弯曲型函数矢量
扭转型函数矢量
时间有限元中的型函数矩阵
桨叶未变形坐标系中的单位矢量
变形后的桨尖坐标系单位矢量
坐标系单位矢量
I2 , J2 , K2 未变形桨尖坐标系单位矢量
Ht ˆˆˆ
i, j,k
ˆˆˆ
i2 , j2 ,k2
ˆˆˆ iξ , jη , kζ
ˆˆˆ
iii

I xF 机身相对于滚转轴的等效质量惯性矩 I y , I z 桨叶截面关于 y，z 轴的惯性矩
I yF 机身相对于俯仰轴的等效质量惯性矩
ˆˆˆ
I,J,K 桨毂旋转系单位矢量
ˆˆˆ
IF , JF , KF 机体坐标系单位矢量
ˆˆˆ
IH , JH , KH 桨毂不旋转系单位矢量
ˆˆˆ
II ,JI ,KI 惯性系单位矢量
k 减缩频率=ωc 2U k0,k1,k2俯仰力矩拟合曲线系数
k A
ki
桨叶截面回转半径
非环量时间常数乘子
桨叶截面质量回转半径
km
km1 ,km2 关于挥舞和摆振方向的桨叶截面质量回转半径
K K b
KbF
K Fb
K FF KGt
K b L
li
非环量分量的衰减函数
桨叶刚度矩阵
桨叶-机身刚度矩阵机身-桨叶刚度矩阵机身刚度矩阵
广义载荷向量QG 的Jacobian矩阵桨叶模态刚度矩阵
桨叶截面升力
第 i 个梁单元长度
L , L , L 未变形坐标系下的分布的桨叶气动载荷 uvω
iv

Lu , Lv , Lω 变形坐标系下的分布的桨叶气动载荷 m 桨叶截面质量
mF 机身等效质量
m0 桨叶截面参考质量 M 马赫数
M x , M y , M z 桨叶在 x，y，z 方向上的合弯矩
M H ,M H ,M H 桨毂不旋转系下X，Y，Z方向上的力矩分量
XYZ
Mφ 桨叶截面关于变形后的弹性轴的俯仰力矩
Mb 桨叶质量矩阵
MbF 桨叶-机身质量矩阵
MFb 机身-桨叶质量矩阵
MFF 机身质量矩阵
Mb 桨叶模态质量矩阵 n 当前时间点
N 法向力 Nb 桨叶片数
Ncc 用于对稳定性矩阵取平均值从而得到常系数稳定性矩阵的计算点数目 Nt 旋翼转一周的时间单元数目
NG 梁模型中自由度数
pb 模态位移向量
q 无量纲俯仰速率=α&c U qb 全局位移向量
Q 配平分析中的广义载荷向量
r 桨叶径向位置
r 桨叶旋转坐标系中的桨叶位移矢量 R 主桨半径
v

Rtr s
S
S1,S2
St
Sht
S
t T T
Ti
Tp Tf Tv TSt
Tvl
T2 T
尾桨半径
时间单元或空间单元的局部坐标
用半弦长表示的翼型运动经过的无量纲距离
用于拟合分离点的曲线系数斯特鲁哈(Strouhal)数平尾面积
与 Floquet 瞬态矩阵有关的模态矩阵时间
旋翼拉力
动能
非环量时间常数=ca
前缘压强滞后的时间常数(半弦长)
附面层滞后的时间常数(半弦长)
漩涡衰减的时间常数(半弦长)
次要漩涡流出的时间常数(半弦长)
漩涡经过时间常数
从桨尖未变形坐标系到桨尖变形坐标系之间的变换矩阵
从桨叶未变形坐标系到桨叶变形坐标系之间的变换矩阵
从惯性系到桨毂旋转系之间的变换矩阵
从桨毂不旋转系到桨毂旋转系之间的变换矩阵
从桨毂不旋转系到桨叶未变形系之间的变换矩阵
从桨毂旋转系到桨叶未变形系之间的变换矩阵
从桨叶未变形系到桨尖未变形系之间的变换矩阵桨叶在 x 方向的位移
3/4 弦长处桨叶单元下洗速度
1/4 弦长处桨叶单元下洗速度
T
DU
HI
TRH T
T
UH
UR
TΔ u UP
U P1
vi

UT U
U v V
Vx ,Vy ,Vz Vr
Vr b
与弦线相切的桨叶截面速度桨叶单元速度= U2 +U2
rrrr
应变能
桨叶在 y 方向的位移直升机前飞速度
速度矢量Vr 的 x，y，z 分量总速度矢量
桨叶相对于桨毂的速度矢量
Vbx ,Vby ,Vbz Vb的x，y，z分量
Vr 机身(桨毂)运动引起的速度矢量
rrr r
f
Vfx ,Vfy ,Vfz Vf 的x，y，z分量
w W
Wb
Ws x
xac
xCG , yCG
xF
x, y, z X,Y
Xht
Xtr
Ztr X,Y,Z
桨叶在 z 方向的位移，下洗速度机身重量减去机身气动升力
功
自动倾斜器偏转
无量纲弦长
气动中心
桨毂中心到直升机重心的 X，Y 方向距离
机身在 X I 方向的运动桨叶未变形坐标系环量衰减函数
平尾到直升机重心的 X 方向距离尾桨到直升机重心的 X 方向距离尾桨到直升机重心的 Z 方向距离桨毂旋转坐标系
XF ,YF ,ZF 机体坐标系
TP
vii

XH,YH,ZH XI ,YI ,ZI xF
yF
YF
yG Y zF α α0
αd
αds αE αf αk αs
β
βp
Γ δT δU δW
δ (.) Δ(.) ε
桨毂坐标系
惯性坐标系
机身自由度向量
机身在YI 方向的运动
机身侧向力
模态状态向量系统状态向量机身在 ZI 方向的运动桨叶截面攻角零升攻角， rad
延迟后的攻角动态失速角。气流再附着角等效攻角
用于计算 f 的等效攻角
第 k 个稳定性模态的下降比旋翼轴纵向倾角(低头为正)
Prandtl-Glauert 压缩性修正系数 = 桨叶预锥角
漩涡强度，环量
动能变分
应变能变分
虚功
虚变分
(.)n −(.)n−1扰动
具有w R或v R相同阶数的参数 viii
1 − M 2

εxx
εxη ,εxζ
η ηr
θo
θ1
θ1c ,θ1s
θFP
θ.75
θtw θt
θ
Θ
κx,κy λ
λi
λT
Λ1
Λ2
Λ3 Λ
μ ξ,η,ζ
ξ
ξ
轴向应变
工程剪应变
弦向力恢复系数
桨叶弹性轴到 3/4 弦长处的距离
桨距操纵和预扭转产生的刚性桨距角
刚性桨距和弹性扭转得到的总桨距角
横向和纵向周期变距输入
航迹角
桨叶 75%半径处的总距角
桨叶线性预扭转角
尾桨总距
旋翼操纵
包含系统稳定性特征根的矩阵
线性入流模型中的纵向和横向系数
旋翼总的入流
旋翼诱导入流
翘曲函数
桨尖后掠角，前掠为正
桨尖下反角，下反为负
桨尖俯仰角，抬头为正
稳定性分析中的特征值矩阵
旋翼前进比
旋转桨叶变形后坐标系
时间单元的时间模态位移向量
不旋转系坐标
ix

ρ
ρs σ
σtr
σxx
σxη ,σxζ τv
φ
Φ
ω ω
ωf ωk
Ω
ψ ψ0
(.)′
(.)′′
(.)& 下标和上标
(.) A
(.)av
(.)C , (.)c , (.)c (.) f
大气密度
桨叶结构密度
旋翼实度
尾桨实度
轴向应力
剪应力
无量纲漩涡时间
脉冲响应函数或尾流年龄
弹性扭转
旋翼轴横向倾角(前行侧向下为正)
正则模态变换矩阵圆频率， rad/s 桨叶固有频率
机身绕惯性轴的角速度
第 k 阶稳定性模态的 Floquet 稳定性频率旋翼旋转速度
旋翼方位角
初始时刻(无量纲)
∂(.) ∂x ∂2(.) ∂x2 ∂(.) ∂t
气动量
(.) 的平均值与环量有关的项
考虑后缘分离效应的载荷分量
ˆ
φ φs
x

(.)I
(.)I , (.)i , (.)i (.)k
(.) p
(.) pl
(.)S (.)tt
[]T (.)o (.)b [.]bF
[ ]bλ (.) F
[.]Fb [ ]FR
(.)h&
(.)LG
(.)m
(.)q
(.)qs
(.)r [.]RR,(.)R
与惯性力有关的项
脉冲或非环量有关的项
柔性量有关的量
附着流(势流)分量
桨距拉杆有关量
结构有关量袖套相关量
矩阵转秩配平状态
与第 b 片桨叶有关桨叶-机身量桨叶-入流耦合矩阵机身量机身-桨叶量机身-旋翼耦合矩阵攻角或沉浮分量起落架俯仰力矩分量俯仰速率分量准定常分量再附着分量与旋翼有关
xi

(.)tr
[ ]T
[ ]RF [ ]λb
(.)1
(.)2
(.)nc , (.)ns
尾桨量
矩阵转秩旋翼-机身耦合矩阵入流-桨叶耦合矩阵桨叶坐标系原点桨尖坐标系原点
n 阶谐波的 cos 和 sin 分量
xii

1、软件介绍
1.1 手册组织结构
本理论手册分为 6 章，分别介绍软件各主要构成部分的理论基础，数学推导和算法实现。各章内容分别为:
第 1 章:简要介绍软件的组织结构和理论基础;
第 2 章:推导了旋翼结构数学模型，及其软件实现;
第 3 章:介绍了气动模型算法与软件实现;
第 4 章:介绍直升机耦合配平方法及软件实现;
第 5 章:推导了无轴承旋翼的运动方程及其软件实现。
第 6 章:介绍了算法流程。在介绍算法实现时，主要是指出分析理论与计算机语言之间的相互关系，以及如何集
成到软件中。此外，每一章自成体系，有其相应的图表和参考文献。 1.2 理论基础概述
1.2.1 结构模型
本软件采用了弹性旋翼直升机与刚性机身耦合的非线性模型来描述直升机结构(第 2 章)。软件最主要的特点是采用了可以准确模拟旋转桨叶运动和弹性特性，且可以方便地应用于先进旋翼构型的有限元方法。桨叶被模拟成柔性弹性梁，具有挥舞弯曲、摆振弯曲、弹性扭转和轴向拉伸运动自由度(2.1.2 节)采用耦合的非线性运动微分方程组来描述中等大变形的桨叶。这些方程是对 Hodges 和 Dowell[1]的工作改进得到的。一般来说，挥舞、摆振、轴向和扭转方程中通常包含了至少二阶几何项。非线性运动方程包含了对空间(径向)和时间坐标的微分。
软件采用现代结构分析基础的有限元方法来将径向变量从江阴运动方程中除去(2.3.1 节)。软件采用的有限元方法是基于 Hamilton 原理(2.2 节)。桨叶被离散成一系列具有 15 自由度的梁单元。单元间的挥舞、摆振弯曲的位移和转角的连续性，以及弹性扭转和轴向变形的位移连续性都被保持下来。每个单元有 3 个内节点，2 个用于描述轴向变形，1 个用于弹性扭转。在有限元推导中，弹性扭转采用准坐标(非欧拉坐标)来描述，该坐标隐含了对
1

梁的空间积分。采用这一坐标，最终的方程不包含任何积分-微分项，且全局矩阵是带状矩阵。轴向自由度反映了实际的弹性变形。尽管这样就需要计算空间积分，但是，它可以大大提高数值精度和稳定性，特别是对于配平分析。
将单元能量项的组集起来，然后施加边界条件，就得到采用节点坐标表示的桨叶非线性运动方程。因为，边界约束是对组集后的有限元方程施加的，所以有限元方法很容易适应不同桨叶的边界条件。而且摆振阻尼，变距驱动，以及桨叶铰接都可以通过改变相应单元的属性来引入。
1.2.2 气动模型
直升机旋翼前飞时的气动环境极其复杂，包括前行桨叶上的跨音速流动和激波，后行桨叶上的反流和失速，以及桨盘前后区域的斜向流动。桨叶的攻角和来流速度在时间和空间上做非定常变化。由于气流非常复杂，准确模拟桨叶上的非定常流场需要非常先进的分析方法。
旋翼气动模型可以分成两部分:局部叶素模型和全局尾流模型。对于旋翼综合分析软件来说，气动模型既要足够精确，能够准确预测各种流动(从附着流到分离流和动态失速流) 下的非定常气动力，又要计算效率高。
叶素气动模型
叶素气动模型是基于 Leishman-Beddoes[2]。它由 3 部分组成:线性附着流模型(3.3.1 节)，分离流模型(3.3.6 节)，动态失速模型(3.3.7 节)。该模型的一个重要特点是隐含考虑了压缩性效应。此外，该模型只需要很少几个经验系数(绝大多数可以从翼型静态数据中导出)。
附着流:在附着流公式中，假设非定常升力、阻力和俯仰力矩都是由环量和脉冲(非环量)分量组成。这些气动载荷通过脉冲响应法计算得到。计算时，对积分方程进行有限差分离散。该方法可以确定 3/4 弦长处下洗发生阶跃变化产生的气动载荷。环量载荷包括了近场流出尾流的影响。脉冲载荷是由于压强波的传播引起的。
分离流:采用 Kirchhoff 流动模型来模拟后缘流动分离引起的非线性气动载荷。该模型将非线性升力与气流后缘分离点在翼型上表面的位置联系起来。采用 Kirchhoff 模型，可以从给定马赫数下翼型静态升力数据中推断出分离点位置。在稳态条件下，分离点由翼型压强的动态分布和附面层响应所决定。为了模拟上述两种效应，在非定常升力推导中引入滞后。
2

非定常阻力和力矩也采用分离点概念来计算。
动态失速:动态失速特点是前缘分离和集中涡从前缘区域脱落。漩涡沿弦向顺流而下，极大地影响了翼型上的载荷分布。采用基于无量纲时间(用半弦长表示的翼型经过的距离) 来计算漩涡对流速率。通过观察额外升力和压心运动，就可以算出漩涡引起的俯仰力矩。当漩涡到达后缘时，模型假设升力增量迅速衰减。
上述非定常模型在很多翼型上被验证，流动条件范围从附着流一直到深失速[2-8]。
除了上述非定常气动模型外，软件还提供了准定常气动模型(3.1 节)。采用准定常模型时，气动载荷是基于翼型静态特性得到，并对倾斜流和反流效应进行了修正。此外，软件还提供了动态入流模型来近似捕捉非定常气动效应。
旋翼尾流模型
软件提供了简单的线性入流模型、非均匀刚性尾流模型、或自由尾流模型(3.5 节) 这样三种模型来计算桨盘上的入流分布。简单入流模型中，Drees 模型用于计算中速和高速前飞，White 和 Blake 模型用于计算低速前飞状态。在非均匀入流计算时，采用了 CAMRAD 中的 Landgrebe 刚性尾流模型，和 Scully 自由尾流模型。此外，还提供了适用于高速前飞状态的 Johnson 自由尾流模型[9](3.5.10)。自由尾流几何形状被分成三部分:1)近场尾流，2) 上卷尾流，3)远场尾流。近场尾流用一系列具有线性环量分布的径向面元模拟。上卷尾流由一个具有线性环量分布的内侧面元和一个模拟桨尖涡上卷的桨尖面元组成。远场尾流用一个线性分布的环量面元和一根集中的桨尖涡来模拟。桨尖涡强度与桨叶附着环量最大值成正比。自由尾流模型与气动弹性分析紧密结合在一起。两者的耦合是通过桨叶附着环量，桨叶运动和诱导入流分布之间的迭代交换实现的。在自由尾流分析中，尾流脱落效应被抑制，因为它们已经包含在叶素气动模型中。
1.2.3 分析方法
旋翼运动方程和直升机配平方程都具有非线性，且旋翼运动方程中含有时间变化的项 (2.2 节)。由于上述方程非常复杂，将其分析分成两部分:直升机配平，旋翼稳态响应。这两部分互不耦合，单独求解。然后通过一定的迭代算法来实现两者的耦合，即耦合配平(4.4 节)。
直升机配平
直升机配平包括求解操纵输入和直升机姿态。配平类型很多，总的来看，可以分成两
3

大类:自由飞配平和风洞配平。软件中，自由飞配平意味着推进配平，它假设主桨提供所有推力和拉力，发动机提供维持特定飞行状态所需的功率。配平就是求出满足直升机 6 个(3 个力，3 个力矩)平衡方程的解(4.2 节)。在给定总重和平飞条件下，配平解包括旋翼操纵量(总距、纵向和横向周期变距)，直升机姿态(旋翼轴纵向和横向倾角)，以及尾桨总距(4.2.1)。
风洞配平是模拟风洞实验状态。常用的方法是给定总距，旋翼轴倾角和前飞速度，然后计算周期变距角，使得纵向和横向周期挥舞角均为零(4.2.2)。
桨叶稳态响应
计算桨叶响应就是要得到在给定的配平操纵下，桨叶转动一周的变形后的位置(4.4.2)。前飞时的桨叶运动方程组是耦合的，具有非线性和周期性。在稳态飞行条件下，桨叶响应具有周期性，周期为旋翼转动一周的时间。在软件中，采用时间和空间有限元法求解桨叶稳态响应。通过空间离散将桨叶偏微分运动方程转化为一组时间为自变量的微分方程。为减少计算时间，采用耦合的旋转桨叶振型将上述方程转化为数个(6 到 8 个)正则模态空间方程 (4.2.4)。采用时间有限元方法求解上述非线性周期系数方程组(4.4.2)。该方法是基于 Hamilton 原理，最终得到一组非线性代数方程。将旋翼转动一周的周期划分成若干时间单元，在每个单元中，假设响应具有多项式分布(4.3)。通过将单元特性矩阵组装，响应的周期性通过将首单元和末单元连起来实现。时间有限元法计算效率高，鲁棒性好，结果能够准确捕捉高阶谐波响应。桨叶和桨毂载荷通过力的叠加法得到(4.4.4)。沿展长对气动力和惯性力积分，得到桨根处的载荷，然后将每片桨叶载荷叠加，得到桨毂载荷(4.4.4).
软件中，直升机配平和旋翼稳态响应是通过耦合的迭代过程(改进的牛顿法)同时求解的。在迭代过程中，桨距操纵设定和直升机姿态被不断更新，反过来又影响桨叶动力学响应。收敛解同时满足桨叶运动方程和直升机平衡方程。为了确保计算效率和快速收敛，分析中计算量大的部分被放置在计算内循环之外。自由尾流形状计算量很大，因此在外循环中进行。
为启动内循环计算，首先采用线性入流模型(3.5.1 节)，直到达到接近配平状态为止。然后再配平的内循环中，启动附着环量计算，然后每隔几次迭代后重复进行。在外循环中，计算尾流形状，以及将诱导速度分布与桨叶附着环量联系起来的相关系数(3.5.9 节)。由于尾流形状对配平操纵的微小变化不敏感，外循环重复次数较少。
参考文献
1. Hodges, D. H., and Dowell, E. H., ”Nonlinear Equations of Motion for the Elastic Bending
4

and Torsion of Twisted Nonuniform Rotor Blades”， NASA TN D-7818, 1974.
2. Leishman, J. G., and Beddoes, T. S., “A Semi-Empirical Model for Dynamic Stall”, Journal of
the American Helicopter Society, Vol. 34, No. 3, 1989.
3. Beddoes, T. S. ”Representation of Airfoil Behavior”, Vertica, Vol. 7, No. 2, 1983.
4. Leishman, J. G. ”Validation of Approximate Indicial Aerodynamic Functions for Two-Dimensional Subsonic Flow”, Journal of Aircraft, Vol. 25, No. 10, Oct. 1988.
5. Leishman, J. G. ” Two-Dimensional Model for Airfoil Unsteady Drag Below Stall”, Journal of Aircraft, Vol. 25, No. 7, July 1988.
6. Torok, M. S., and Chopra, I. “A Coupled Rotor Aeroelastic Analysis Utilizing Non-Linear Aerodynamics and Refined Wake Modeling”, Vertica, Vol. 13, No. 2, 1989.
7. Torok, M. S., and Chopra, I. “Rotor Loads Predicting Utilizing a Coupled Aeroelastic Analysis with Refined Aerodynamic Modeling”, Journal of the American Helicopter Society, Vol. 36, No. 1, 1991.
8. Torok, M. S., and Chopra, I. “Hingeless Rotor Aeroelastic Stability with Refined Aerodynamic Modeling”, Journal of the American Helicopter Society, Vol. 36, No. 1, 1991.
5

2、结构模型
采用有限元方法对桨叶非线性运动方程进行空间离散。在软件中，将桨叶看成由各向同性材料制成的弹性梁。机身为刚性。下面各节介绍了桨叶单元的质量、阻尼、刚度矩阵、以及载荷向量的推导。上述矩阵(载荷向量)包含了孤立旋翼桨叶的应变能和动能、机身(桨毂)运动引起的应变能和动能，以及(运动相关和运动不相关的)气动载荷所做的功的贡献。气动载荷的贡献将在第 3 章介绍。在分析时，桨叶被离散成一系列具有 15 个自由度的梁单元。有限元推导是基于 Hamilton 原理。
本文的推导方法适用于无铰旋翼、铰接/万向铰旋翼、以及无轴承旋翼。无轴承旋翼的推导将在第 5 章介绍。
2.1 直升机模型
直升机被模拟成刚性机身与单个主桨相连，该主桨具有 Nb 片弹性桨叶。假设每片桨
叶都是一根弹性梁，能做挥舞弯曲、摆振弯曲、弹性扭转和轴向变形。假设桨叶具有中等变形，且应变较小。这里考虑了非均匀桨叶的预扭转、预锥角、桨叶重心和气动中心到弹性轴有弦向偏离。此外，桨叶外侧后缘还安装了简单后缘襟翼，用来模拟无自动倾斜器的智能旋翼。
直升机机身为刚性，具有 6 个自由度(3 个平动，3 个转动，即俯仰、滚转和偏航转动)。
2.1.1 直升机运动和坐标系
一个完整的直升机系统包括后缘襟翼、桨叶、机身多个部分，因此，在推导运动方程之前，首先需要定义桨叶和后缘襟翼运动的坐标系统。这里所有的坐标系都是右手笛卡尔坐标系。对于图 2.1 所示的直升机，定义如下坐标系:
ˆG ˆG ˆG 1、地面固定惯性系(下标“I”)。其单位向量为 I I , J I , K I 。它与地面固连，不随直
升机运动，坐标为( X G , Y G , Z G )。 III
2、惯性坐标系。为了方便，定义惯性坐标系(坐标为XI ,YI ,ZI )。它与地面固定惯 ˆˆˆ
性系平行，原点位于直升机重心，单位向量为II ,JI ,KI 。 6

图2.1 坐标系定义
3、直升机坐标系(下标“F”)。直升机的位置由其重心在空间的位置来定义。直升机包括了机身和旋翼。定义直升机坐标系(坐标为XF ,YF ,ZF )，原点固定在重心处，单位矢
ˆˆˆ
量为IF ,JF ,KF 。XF 轴沿机身纵轴，YF 轴在旋翼前行侧，ZF 轴平行于桨毂，指向上方。
4、桨毂固定不旋转坐标系(下标“H”)。该坐标系固定在旋翼桨毂上(XH ,YH ,ZH )，原点位于旋翼轴与桨叶弹性轴的交点。它与直升机坐标系(XF ,YF ,ZF )平行，坐标轴单
ˆˆˆ
位向量IH ,JH ,KH 的方向为:
ˆ
IH —垂直于旋翼桨轴线，指向直升机的尾部为正; ˆ
JH —垂直于旋翼桨轴线，指向直升机的前行侧为正; ˆ
KH —与旋翼桨轴方向一致，指向上为正。惯性系和桨毂固定不旋转系之间的转换矩阵为:
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫⎧ˆ⎫ ⎪I⎪⎡10α⎤⎪I⎪ ⎪I⎪⎪I⎪ ⎪H⎪ ⎪I⎪ ⎪H⎪⎪F⎪ ⎪⎪⎢ s⎥⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎢ ⎥⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪ ⎨J⎬=⎢0 1−φ⎥⎨J⎬=T⎨J⎬=⎨J⎬
(2.1)
其中，αs 是旋翼轴纵向倾角(低头为正)，φs 是旋翼轴横向倾角(前行侧向下为正)。注意，这里假设上述角度很小。
⎪H⎪ s⎪I⎪ HI⎪H⎪⎪F⎪ ⎪⎪⎢ ⎥⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ˆ⎪−αφ1⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪⎪ˆ⎪ ⎪KH ⎪ ⎣ s s ⎦⎪KI ⎪ ⎪KH ⎪ ⎪KF ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
7

令 T
T
，那么桨毂不旋转系和未变形系之间的变换矩阵为:
5、桨毂旋转坐标系。该坐标系( X , Y , Z )的原点与桨毂不旋转坐标系的原点重合， ˆ ˆˆˆ
以不变的角速度 ΩK 相对于桨毂不旋转坐标系旋转(图 2.2a)。坐标轴单位向量为 iR , jR , kR 。桨毂不旋转坐标系和桨毂旋转坐标系之间的转换矩阵为:
(2.2)
= T
UH URRH
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ ⎪I⎪ ⎡cosψ sinψ 0⎤⎪I ⎪ ⎪I ⎪
⎪⎪ ⎪H⎪ ⎪H⎪
⎪⎪⎢ ⎥⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎢ ⎥⎪ˆ ⎪ ⎪ˆ ⎪
⎨J⎬=⎢−sinψ cosψ 0⎥⎨J ⎬=T ⎨J ⎬
⎪⎪ ⎪H⎪ RH⎪H⎪ ⎪⎪⎢ ⎥⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ˆ⎪001⎪ˆ⎪⎪ˆ⎪ ⎪K⎪ ⎣ ⎦⎪KH⎪ ⎪KH⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
其中，ψ是方位角，ψ =Ωt。
6、桨叶未变形坐标系( x, y, z )。它与未变形桨叶相连，单位向量是 i , j, k ，它也随桨
ˆˆˆ 叶旋转，并可以看成是桨毂旋转坐标系绕 j 轴旋转一个桨叶预锥角 β p 得到(图 2.2a)。 x 轴
与桨叶未变形弹性轴的方向一致， y 轴位于旋转面内，指向前缘。桨叶预锥角相当于把桨叶坐标系绕(负) y 轴转动。桨毂固定不旋转坐标系和未变形坐标系之间的转换矩阵为:
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ ⎤⎪I⎪ ⎪I⎪ 0 sinβ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ˆ⎪ ⎨j⎬=⎢ 0 1 0 ⎥⎨J⎬=T ⎨J⎬
⎧ˆ⎫ ⎡
⎪i⎪ cosβ
⎪⎪⎢ p
⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪
⎪ˆ⎪ ⎢ ⎥⎪ˆ⎪
(2.3)
(2.4)
这个变换矩阵用在计算动能变分时求桨叶速度和加速度。在气动载荷计算时还要用该矩阵计算桨叶速度分量。
2.1.2 桨叶变形运动坐标系
准确模拟弹性桨叶需要允许桨叶具有中等大变形。尽管如此，假设应变仍然很小。根据上述假设，可以得到基于未变形的构型(拉格朗日应变张量)或基于变形后的构型(欧拉应变张量)下的非线性应变-位移关系。拉格朗日法通常更适合于弹性力学问题，因为未变形结构的几何形状是已知的。可是，被模拟成伯努利-欧拉梁的直升机桨叶却是一个例外。
⎪⎪ ⎪⎪ UR⎪⎪ ⎪⎪⎢ ⎥⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ˆ⎪ −sinβ 0 cosβ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪
k⎢pp⎥KK ⎪⎪⎣ ⎦⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭
⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
⎧ˆ⎫ ⎡
⎪i⎪ cosβ cosψ
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ ⎤⎪I ⎪ ⎪I ⎪
sinβ
⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪
cosβ sinψ p
⎪ H ⎪ ⎪ H ⎪
⎪⎪⎢ p
⎨j⎬=⎢ −sinψ cosψ 0 ⎥⎨J ⎬=T ⎨J ⎬
⎪ˆ⎪ ⎢ ⎥⎪ˆ ⎪ ⎪ˆ ⎪
⎪⎪ ⎪H⎪ UH⎪H⎪ ⎪⎪⎢ ⎥⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ˆ⎪ −sinβ cosψ −sinβ sinψ cosβ ⎪ˆ ⎪ ⎪ˆ ⎪
k⎢ppp⎥KK ⎪⎩⎪⎭⎣ ⎦⎪H⎪ ⎪H⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
8
p⎥⎪⎪ ⎪⎪
p⎥⎪⎪ ⎪⎪

(a)未变形桨叶坐标系
(b)变形后桨叶坐标及变形图 2.2 桨叶坐标系定义
9
变形
形
未
变形的弹性轴
未
变
后
未变形弹性轴
变
后的弹性轴

ea=弹性轴 cg=重心 ac=气动中心 Tc=拉伸中心
图 2.3 桨叶截面坐标系根据伯努利-欧拉假设，梁的横截面保持刚性且垂直于弹性轴。桨叶截面特性是关于截面主轴来定义的。因此，即使是在变形状态下，截面的几何形状和截面特性都是已知的。分析过程的下一步就是满足应力平衡。这必须在最终变形后的状态下进行。因此，最好能建立变形后的构型下的应力-应变关系。应变-位移关系是在变形后构型下推导的(欧拉法)，这样，应力和应变就能用相同的参考系。对于绝大多数弹性力学问题(采用拉格朗日法)，应力必须从变形后的坐标系转换到未变形坐标系，因为应变是在未变形系下定义的。在本文中，应
力和应变都是基于变形后的构型定义的，因此避免了上述难题。变形后的桨叶用桨叶变形坐标系(ξ,η,ζ )表示，其单位向量为iξ , jη ,kζ (图 2.2b)。
ˆˆˆ 如图2.3所示，η,ζ 轴与桨叶截面主轴对齐。未变形桨叶弹性轴上一点P在x,y,z方向产生 u, v, w 位移后到达 P ‘ 点(图 2.2b)。然后，P ‘ 点所在的桨叶截面绕变形后的弹性轴转动了θ1
角。总桨距θ1 等于
θ =θ +φ (2.5)
ˆ 10
其中， θ0 是桨距操纵和预扭转产生的刚性桨距角。一般来说，预扭转可以是径向位置的任意函数，即θ0 =θ0(r)。对于具有线性预扭转的桨叶，刚性桨距角可以写成:
(2.6)
⎛x⎞
θ =θ +θ ⎜ −0.75⎟+θ cosψ+θ sinψ 0 75 tw⎜ ⎟1c 1s
⎜⎟ ⎝R⎠
10

式中，θ 是 75%半径处的桨距角(包括总距)，θ 是桨叶线性预扭转角，θ 和θ 是周期
75 tw 变距操纵角。
总桨距θ1 还包含了弹性扭转φˆ ，
ˆ ∫ x ∂w ∂2v
式中， φ 是绕未变形弹性轴的弹性扭转角，而 φˆ 可以看成是绕变形后的弹性轴的弹性扭转角。这是中等变形引起的非线性运动学效应。对该效应的详细阐述可以参见文献 2.1 和 2.2。在推导应变能和动能变分时，阶数规则允许将 φˆ 简化为 φ 。但是，气动力与弹性扭转 φˆ 成正比，因此，在施加阶数规则时，并没有将这些项除去。为了抓住上述效应，在整个推导过程中，都采用了 φˆ 自由度(见文献[2.3])。这种方法隐含地反映了非线性运动扭转效应。采
用含义 φ 项的表达式来推导应变能和动能表达式，然后再转化为 φˆ 的表达式。本章后面会详细介绍具体过程。
φ=φ−0 ∂x∂x2dx
(2.7)
未变形桨叶坐标系和变形后桨叶坐标系之间的变换矩阵可以写成:
⎧⎫
⎪ˆ ⎪ ⎧ˆ⎫ ⎪iξ ⎪ ⎪i⎪
⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪
⎪ˆ ⎪ ⎪ˆ⎪
⎨jη⎬=TDU ⎨j⎬
(2.8)
下面介绍转换矩阵TDU 的推导。桨叶变形可以用一系列欧拉角来描述(图 2.4)。变形后桨叶和未变形桨叶坐标系之间的转换矩阵可以用欧拉角表示:
⎪⎪⎪⎪
1c 1s
⎪⎪⎪⎪
⎪ ˆ ⎪ ⎪ ˆ⎪
⎪ k ζ ⎪ ⎩⎪ k ⎭⎪ ⎪⎩ ⎪⎭
⎡ cos β cos ζ cos β sin ζ sin β ⎤ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢−sinθsinβcosζ cosθcosζ ⎥ ⎢⎥
⎢ cos β sin θ ⎥
TDU =⎢−cosθsinζ −sinζsinβsinθ ⎥ (2.9)
⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥
⎢−cosθsinβcosζ −sinθcosζ ⎥ ⎢ cos β cos θ ⎥
⎢+sinθ sinζ −sinζ sinβ cosθ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦
式中， ζ ， β ， θ 是欧拉角。它们可以用桨叶变形来表示:
11

图 2.4 用欧拉角表示的变形 1−v’2−w’2 v’
cosζ = 1−w’2 sinζ = 1−w’2
cosβ = 1−w’2 sinβ = w’ (2.10)
θ = θ1 将上述关系代入(2.9)式，然后简化，保留二阶项，就得到桨叶变形后和变形前位置的坐
标系变换矩阵:
⎡ v’2 w’2 ⎤ ⎢ 1− − v’ w’ ⎥ ⎢22 ⎥
⎢ ⎛ v’2⎞ ⎛ w’2⎞ ⎥ TDU =⎢−v’cosθ1 −w’sinθ1 ⎜1− ⎟cosθ1 −v’w’sinθ1 ⎜1− ⎟sinθ1 ⎥
(2.11)
⎢ ⎝2⎠ ⎝2⎠⎥ ⎢ ⎛ v’2⎞ ⎛ w’2⎞ ⎥
⎢ v’sinθ1 −w’cosθ1 −⎜1− ⎢22⎥
⎟sinθ1 −v’w’cosθ1 ⎜1− ⎣⎝⎠⎝⎠⎦
⎟cosθ1⎥
(2.11)式和文献[2.1]推导的结果相似。
上述所有变换矩阵都是针对正交坐标系的。因此，转秩和逆矩阵之间存在如下关系:
TT =T−1 (2.12) 其中，T可以是T ，T ，T ，T ，T 。
HI RH UR UH DU
12

2.1.3 无量纲化和阶数规则
本文所有推导以及计算都采用无量纲形式。除了提高分析的通用性以外，(计算时) 采用无量纲量有助于避免数值之间差异过大(比例)的问题。在推导公式时，对表 2.1 中的物理量采用参考量进行无量纲化。
表 2.1 对物理系数进行无量纲化物理量参考量
长度 R 时间 1Ω
质量/长度 m0 速度 ΩR
力矩 m Ω2R3 0
能量或功 m Ω2R3 0
采用上述无量纲化形式，在以下推导中只采用无量纲量。
在推导 Hamilton 原理时，必须忽略高阶小项来简化分析。在分析中，引入无量纲量 ε ，
ε 􏰀 1，高于二阶的小量大部分被忽略。只保留能量表达式中与弹性扭转有关的一些 3 阶小量。无量纲量幅值的阶数定义如下:
(2.13)
加速度
力 m Ω2R2
Ω2R 0
EA m0Ω2R2
=O(ε−2)
MxF ,MyF ,MzF =O(ε−1)
m0R m0R m0R
x , h , xCG , yCG , m , ∂ , ∂ = O(1)
R R R R m0 ∂ψ ∂x μ,cosψ,sinψ,θ0,θtw,θ75,θ1c,θ1s,c1 ,d2 =O(1)
aa , EIz , GJ =O(1)
EIy
m0Ω2 R4 m0Ω2 R4 m0Ω2 R4
13

IxF , IyF =O(1) m0R3 m0R3
v,w,φ,βp,kA,km1,km2 =O(ε) RRRRR
αs,φs =O(ε)
λ,ηc ,c0 ,d1 , f0 =O(ε)
Raaa
EB2 , EC2 =O(ε)
m0Ω2R5 m0Ω2R5
ed ,eg ,eA =O(ε3/2)
RRR
x& F , y& F , z& F , α& s , φ s = O ε
& ( 3/2)
EB EC () λ, 1 , 1 =Oε2
T m0Ω2R6 m0Ω2R6 u,d0 ,f1 =O(ε2)
(2.13)
Raa
其中，a是升力线斜率，m0 是单位长度桨叶参考质量。本文中，m0 定义为与实际(即非均匀)桨叶具有相同挥舞惯量的等价均匀桨叶的单位长度质量。采用上述假设，m0 可以写成:
3I 3∫ R mr2dr
m=β≈0 (2.14)
0R3 R3
当对能量表达式进行无量纲化时，必须确保系统的物理特性不被破坏。结构刚度矩阵和质量矩阵的对称性必须保证，反对称的阻尼矩阵应该反映科氏效应(Coriolis effect)相关的回转耦合(Gyroscopic Coupling)。
方位角可以看成是无量纲的时间，因此时间导数可以写成:
(.)=∂( )=∂( )∂ψ=Ω∂( ) ∂t ∂ψ∂t ∂ψ
(..)=∂2( )=∂2( )∂2ψ=Ω2 ∂2( ) ∂t2 ∂ψ2 ∂t2 ∂ψ2
2.2 基于 Hamilton 原理的推导
(2.15)
采用 Hamilton 变分原理来推导系统运动方程。对于保守系统，Hamilton 原理指出，系统在给定的初始时间t1和终了时间t2 之间的真实的运动就是使势能和动能之差的时间积分最小的那一个运动[2.4]。对于一个气动弹性系统，比如旋翼，存在非保守力，它们无法从势
14

函数中导出。因此，适用于非保守系统的广义 Hamilton 原理可以写成，
δΠ=∫t2 (δU−δT−δW)dt=0 (2.16)
t1
其中， δU 和 δT 分别是应变能和动能的虚变分， δW 是外力虚功。旋翼和机身都对上述虚
变分有贡献。旋翼的贡献可以写成所有桨叶的叠加，因此上述变分可以写成:
⎜b⎟ δU=δU+δU=⎜ δU⎟+δU
⎛N⎞
∑ ⎜⎟ ⎝b=1 ⎠
(2.17)
(2.18)
(2.19)
其中，下标 R 代表旋翼，下标 F 代表机身， Nb 是桨叶片数。注意，如果，桨距拉杆是弹性的话，那么第 b 片桨叶的应变能变分δUb 还包含了第 b 个桨距拉杆的贡献。下面各节介绍应变能变分的推导。桨叶虚功 δWb 的推导参见第 3 章气动模型。
2.2.1 桨叶能量表达式
能量以应变能和动能的形式储存在桨叶中。当桨叶产生弹性变形时，就存在应变能。应变能还可以存储于柔性的桨距拉杆和桨毂弹簧中。当桨叶以某一速度运动时，就存在动能。速度可以是桨叶运动、机身(桨毂)运动，或两者共同运动引起。
2.2.1.1 应变能，δUb 将每片桨叶看成是各向同性材料制成的细长的柔性梁。对于这样的结构，单轴应力假
b⎟F δT=δT +δT =⎜ δT⎟+δT
RF
⎜ ⎛N⎞
⎜
δW=δW +δW =⎜ δW⎟+δW
RF
RF
⎜
b⎟F
⎜b⎟
∑ ⎜⎟ ⎝b=1 ⎠
设(σyy =σyz =σzz =0)成立。应力和经典的工程应变之间的关系可以写成，
σxx =Eεxx
σxη =Gεxη
σxζ =Gεxζ
其中， εxx 是轴向应变， εxη 和 εxζ 是工程剪应变。
根据上述假设，第 b 片桨叶的应变能表达式可以写成， 15
(2.20) (2.21) (2.22)
b⎟F
⎛N⎞ ⎜b⎟
∑ ⎜⎟ ⎝b=1 ⎠

Ub =12∫R∫∫(σxxεxx +σxηεxη +σxζεxζ)dηdζdx 0A
(2.23)
应变能变分表达式为，
xη 12
⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂η⎠
1 ∫ R ∫∫ ( 1 ∫ R ∫∫ (
v ‘ 2
)
δUb =2 0 A Eε δε +Gε δε +Gε δε dηdζdx (2.25)
δUb =2 0 A σ δε +σ δε +σ δε dηdζdx
(2.24)
xx xx xη xη xζ xζ 将应力-应变关系代人应变能变分表达式，可得，
⎛ ∂λ⎞
⎜T⎟ˆ
ε =2ε =−⎜ζ+ ⎟φ′=−ζφ′
xx xx xη xη xζ xζ
)
其中，
w ‘ 2 2 2 ⎛ ‘ φ ‘ 2 ⎞⎟ ⎜
−λφ”+(η +ζ )⎜θφ’+ ⎟ ⎜⎟
ε =ε =u’+
xx11 T 0⎟
+
22 ⎜⎝2⎠
⎡ˆˆ⎤ −v” ηcos(θ +φ)−ζsin(θ +φ) ⎢0 0⎥ ⎣⎦
⎡ˆˆ⎤ −w”ηsin(θ +φ)+ζcos(θ +φ) ⎢0 0⎥ ⎣⎦
(2.26)
(2.27)
⎛ ∂λ⎞
⎜T⎟
ε =2ε =⎜η− ⎟φ′=ηˆφ′
(2.28) 其中，ε 和ε 是张量剪应变，ε 和ε 是工程剪应变，λ 是截面翘曲函数。应变分量的
xζ 13
⎟ ⎜⎟ ⎝ ∂ζ⎠
12 13 xη xζ T 显式表达式的细节可参见[2.1]。这些应变反映了梁由于中等变形产生的非线性。由于桨距角
θ0 还会引起其它一些项的存在。桨距角通常是弹性扭转、预扭转和桨距操纵输入之和。应变的变分表达式为，
(2.29)
(2.30) (2.31)
δε =δu′+v′δv′+w′δw′+(η2+ζ2)θ +φ′δφ′−λδφ′′
xx
0
T
⎡ˆˆ⎤
− ηcos(θ +φ)−ζsin(θ +φ)(δv′′+w′′δφ)
⎢0 0⎥ ⎣⎦
⎡ˆˆ⎤
− ηsin(θ +φ)+ζ cos(θ +φ)(δw′′+v′′δφ)
δεxη =−ζδφ′ δεxζ =ηˆδφ′
⎢0 0⎥ ⎣⎦
ˆ
采用上述应力-应变关系和应变-位移关系就可以确定应变能变分。当 φˆ 为小角度时，可以采用如下三角关系，
16
(′
)

(ˆ) ˆ ˆ ˆ
sin θ0 +φ =sinθ0 cosφ+cosθ0 sinφ≈sinθ0 +φcosθ0 (2.32)
(ˆ) ˆ ˆ ˆ
cos θ0 +φ = cosθ0 cosφ−sinθ0 sinφ ≈ cosθ0 −φsinθ0 (2.33)
在基本控制方程中，保留二阶小量，从而得到无量纲形式的应变能变分表达式。此外，在扭转方程中，还保留了一些三阶小量。采用以下关系，可以用变量 φˆ 来改写应变能变分 (见 2.7 式)，
ˆ
φ′=φ′−w′v′′ (2.34a)
ˆ
δφ′=δφ′−w′δv′′−v′′δw′ (2.34b)
轴向变形u可以用两个独立分量来表示:弹性轴向位移ue ，还有由于弯曲引起的轴向缩短产生的变形uF 。采用这种表示法(参见文献[2.5])，将以下表达式代入应变能表达式，
u=u −1∫x(v′2 +w′2)dx
(2.35a)
(2.35b) (2.35c)
e
2
0
u′=u′−1(v′2 +w′2)
e
u&=u&e −∫x(v′v&′+w′w&′)dx
2 0
δu = δue − ∫ x (v′δv′ + w′δw′)dx 0
(2.35d) δu′=δue′−v′δv′−w′δw′ (2.35e)
对于第 b 片桨叶，最终的无量纲形式的应变能变分表达式可以写成， δUb ∫1( ‘
m Ω2R3 = Uu’ δue +Uv’δv’+Uw’δw’+Uv”δv”+Uw”δw” 00e
(2.36)
其中，
ˆˆˆ) +Uˆδφ+Uˆ δφ′+Uˆ δφ′′ dx
φ φ′ φ′′
⎡ˆ⎤
⎢′ ′ˆ φ′2⎥ U′=EA⎢u+k2θ φ′+w′v′′+k2 ⎥
()
u⎢eA02⎥
e
⎣⎦ (2.37)
⎡ˆˆ⎤ −EAe ⎣v′′ cosθ0 −φsinθ0 +w′′ sinθ0 +φcosθ0 ⎦ A⎢( )( )⎥
17
A

U =v′′(EI cos2 θ +EI sin2 θ )+w′′(EI −EI )cosθ sinθ v′′ z 0 y 0 z y 0 0
′(ˆ)ˆ′ −EAeAue cosθ0 −φsinθ0 −φ′EB2θ0 cosθ0
ˆˆ
+w′′φ(EIz −EIy)cos2θ0 −v′′φ(EIz −EIy)sin2θ0
w′
′)ˆ ′′ +GJ+EBθ2 φ′w′+EAk2θw′u
(
U = GJ+EBθ 2 φ′v′′+EAk 2θ v′′u
A0e ′)ˆ ′′
10
(
w′′ y0z0 zy00
10
U =w′′(EI cos2 θ +EI sin2 θ )+v′′(EI −EI )cosθ sinθ
′(ˆ)ˆ′ −EAeAue sinθ0 +φcosθ0 −φ′EB2θ0 sinθ0
ˆˆ
+w′′φ(EIz −EIy)sin2θ0 +v′′φ(EIz −EIy)cos2θ0
U = w′′2 (EI −EI )sinθ cosθ +v′′w′′(EI −EI )cos2θ ˆzy00zy0
φ
−v′′2 (EI −EI )sinθ cosθ
zy00
(ˆ )′ˆ (′ˆ)′
U =GJ φ′+w′v′′ +EBθ 2φ′+EAk 2 θ +φ′ u
ˆ
10A −EB2θ0′(v′′cosθ0 +w′′sinθ0)
0
e
φ′
ˆ
U =ECφ′′+EC(w′′cosθ−v′′sinθ)
ˆ1200
φ′′ 截面特性定义如下:
EA = ∫∫A Edηdζ
EIy = ∫∫A Eζ2dηdζ
EAeA = ∫∫A Eηdηdζ EIz = ∫∫A Eη2dηdζ
∫∫ (2 ˆ2)
∫∫2 ∫∫2
2 ∫∫ (2 2)
EB = E(η2 +ζ2) dηdζ EB = Eη(η2 +ζ2) dηdζ
A0e
GJ= AGηˆ+ζ dηdζ EAkA = AEη+ζ dηdζ (2.38)
1
EC =∫∫ Eλ 2dηdζ EC =∫∫ Eζλ dηdζ
AA 1AT 2AT
其中， E 和 G 相对于 m0Ω 2 进行了无量纲化。桨叶的轴向(拉伸)刚度为 EA 。拉伸轴到弹性轴的距离为eA(在弹性轴前面为正)。EIy和EIz 分别是挥舞和摆振弯曲刚度，GJ是扭转刚度。在GJ表达式中，∧表示包括了截面翘曲效应。λT是反对称翘曲函数，假设λT ∝ηζ。翘曲函数定义了绕着截面的轴向翘曲位移分布。 EC1 是翘曲刚度， EC2 是另一个与梁截面翘曲有关的常数。 EC1 和 EC2 都与翘曲位移约束有关，因此它们对于开口截面的梁来说更
18
2

加重要。 k 是桨叶截面回转半径， EB 和 EB 是由于桨距角引起的其它截面常数。由于假 A12
设桨叶截面关于 η 轴对称，因此存在以下关系， ∫∫A Eζdηdζ = 0
∫∫A Eηζdηdζ = 0 ∫∫AEζ(η2 +ζ2)dηdζ=0
(2.39)
2.2.1.2 动能，δTb
第 b 片桨叶的动能变分 δTb 取决于桨叶速度。桨叶速度通常由两部分组成:1)桨叶相
对于桨毂的运动，2)桨毂本身的运动。上述关系可以写成如下数学表达式: rrr
V =Vb +Vf (2.40) rr
其中，Vb 是桨叶相对于桨毂的速度矢量，Vf 是机身运动引起的桨叶速度矢量。这里假设桨
毂与机身刚性连接。
桨叶运动引起的速度Vr b
未变形桨叶弹性轴上一点P(x,0,0)在变形后移到P'(x+u,v,w)点，然后桨叶截面绕 r
变形后的弹性轴(见图 2.2b)转动了 θ1 。变形桨叶上任意点的位置矢量 r ，可以在未变形坐标系下写成(x1,y1,z1)(参见文献[2.1],[2.2]):
其中，
ˆˆˆ r = x1i + y1 j + z1k
x1 = x+u−λTφ′−v′(y1 −v)−w′(z1 −w) y1 =v+(y1−v)
z1 =w+(z1−w)
(2.41)
(2.42)
(2.43)
r
(y1 −v)和(z1 −w)项代表了桨叶截面上任意点到弹性轴的距离。它们可以写成 (y1−v)=ηcos θ0 +φ −ζsin θ0 +φ =ηcos(θ1)−ζsin(θ1)
( ˆ) ( ˆ)
(z1−w)=ηsin θ0 +φ +ζcos θ0 +φ =ηsin(θ1)+ζcos(θ1)
( ˆ) ( ˆ)
v'(y1 −v)和w'(z1 −w)分别是由于摆振和挥舞偏转引起的径向缩短。将位置矢量对桨毂固
定不旋转坐标系求导，就可以得到桨叶上一点的速度，
19

其中，
r
∂r
Vb = ∂t =Vbxi +Vby j+Vbzk
桨叶速度还可以写成如下表达式:
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ ⎪i⎪ ⎪i⎪
r⎪⎪⎪⎪
dr ⎪⎪ d⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪ =[x&,y&,z&]⎨j⎬+[x,y,z] ⎨j⎬
(2.44) 前面(2.3)式给出了未变形桨叶坐标系和桨毂固定不旋转坐标系的变换关系，这就可以理
ˆˆˆ ˆˆˆ 解为什么在稳态飞行状态下，单位向量i, j,k与时间有关，而IH ,JH ,KH 与时间无关。因
dt 1 1 1⎪⎪ 1 1 1dt⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪⎩ k ⎪⎭ ⎪⎩ k ⎪⎭
此，在桨叶未变形系下，单位向量对时间的导数可以用变换矩阵 T UH
来表示，
⎧ˆ⎫
⎧ˆ⎫ ⎪I ⎪ ⎧ˆ⎫
⎪i⎪ ⎪H⎪ ⎪i⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪ d⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ˆ⎪ & ⎪ˆ ⎪ & T ⎪ˆ⎪ ⎨j⎬=T ⎨J ⎬=T T ⎨j⎬
(2.45)
(2.46)
(2.47)
dt⎪⎪ UH⎪H⎪ UHUH⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ ⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪⎩ k ⎪⎭ ⎪ K H ⎪ ⎪⎩ k ⎪⎭
通过代数处理后，就得到桨叶上任意点相对于桨毂的速度矢量，
⎪⎩ ⎪⎭
r
V b x = x& 1 − Ω y 1 c o s β p
Vby = y&1 +Ωx1 cosβp −Ωz1 sinβp V b z = z& 1 + Ω y 1 s i n β p
ˆˆˆ
r ˆ ˆ ˆ ˆ (ˆ ˆ ˆ) Vb =x&1i+y&1 j+z&1k+ΩKH × x1i+y1 j+z1k
(2.48) 将上述矢量方程展开，就得到和(2.46)式相同的表达式。如果预锥角 β p 很小的话，
sinβp ≈βp cosβp ≈1
桨叶上任意点对时间的导数可以写成:
&&&
x&1 =u&−λTφ′−(v&′+w′θ1)(y1 −v)−(w&′−v′θ1)(z1 −w)
&
y& 1 = v& − θ 1 ( z 1 − w )
&
z& 1 = w& + θ 1 ( y 1 − v )
(2.49)
( 2 . 5 0 )
(2.51)
&& &&&
&x& = u& & − λ φ ′ − ( v& & ′ + w ′ θ + 2 θ w& ′ ) ( y − v )
1T111 && &
−(w&&′−v′θ1 −2θ1v&′)(z1 −w)
&&
&y& = v& & − θ ( z − w )
111
&&
& z & = w& & + θ ( y − v )
111
20

下
洗
下
洗
变
变形
形
后
后
的
的
弹
弹
性
性
轴
轴
洗洗下
下
rr 图2.5机身运动引起的桨叶3/4弦长处速度，Vf =VF +ωf ×rF 。
上述表达式是采用阶数规则的结果，都保留了二阶小量。表达式中的一阶导数是用来得到桨叶速度，二阶导数在确定动能变分δT 时要用到。前面对δT 的推导和文献[2.1]类似，不过，这里将其扩展到刚性桨距随时间变化的情况(见文献[2.6])。这一扩展对于前飞状态施加周期变距操纵是必要的。
机身运动引起的速度
在采用 Hamilton 原理推导时，需要旋翼-机身耦合系统的总动能。首先推导地面上的
ˆˆˆ 人看到的桨叶上一点 P 的速度。如图 2.5 所示，前面定义了以下坐标轴:未变形系( i , j, k )，
ˆˆˆ ˆˆˆ
桨毂不旋转系( IH , JH , KH )，机身坐标系( IF , JF , KF )，固连在直升机重心上的惯性
ˆ ˆ ˆ ˆG ˆG ˆG
系( II , JI , KI )，地面固连惯性系( II , JI , KI )。2.1.1 节给出了这些坐标系之间的变换
ˆ ˆ ˆ ˆG ˆG ˆG
矩阵。从坐标轴( II , JI , KI )相对于( II , JI , KI )平动，且平动的速度矢量为，
(2.52)
(2.53)
rI ˆG ˆG ˆG r =x I +y J +z K
3FIFIFI 从机身坐标系原点(直升机重心)到桨毂不旋转系原点的矢量为，
rI ˆ ˆ ˆ r =x I +y J +hK
2 CGF CGF F 从桨毂不旋转系原点到未变形桨叶上 P 点的矢量为，
21
rr
未
未变
变形
形的
的
弹
弹性轴

rI ˆ ˆ ˆ r =xi+y j+zk 1111
其中， 2.2.1.2 节定义了 x1 , y1 , z1 。因此，桨叶上 P 点的速度矢量为，
其中，
3FIFIFI 在上述求导过程中，假设固连在地面惯性系的坐标轴( I I , J I , K I
其中，
r
rrr
(2.54)
(2.55)
(2.56a) (2.56b)
( 2 . 5 6 c )
)时间导数为零。其它
&I &I &I V =r +r +r
f123
rI &&& &ˆˆˆˆˆˆ r =x&i+y& j+z&k+xi+y j+zk
1111111
r&&& &I ˆ ˆ ˆ r =x I +y J +hK
2 CGF CGF F
r&I ˆG ˆG ˆG r = x& I + y& J + z& K
坐标系的单位向量的时间导数则不为零(即它们相对于地面惯性系的方位随时间变化)。在 2.56a-c 式中，采用了以下变换来将所有单位向量转换到地面固定系中:
e=TTe
i UH HI IG
I
(2.57) (2.58) (2.59) (2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
e&=TT+TT e (&&)
i UH HI UH HI eIF =THIeIG
G II
其中， e 是由相应下标对应的坐标系的三个轴。P 点速度的最终表达式为， r ˆG ˆG ˆG
I
&
e&IF =THIeIG
I
Vf =Vfx II +Vfy JI +Vfz KI
V x = − α& s h + x& F − α s z& 1 + α s φ s x 1 c o s ψ + x&1 cosψ− y1 cosψ−βp z&1 cosψ − x 1 s i n ψ − y& 1 s i n ψ + β p z 1 s i n ψ
&
V y = h φ s + y& F + φ s z& 1 + x 1 c o s ψ + y& 1 c o s ψ
−βpz1 cosψ+x&1 sinψ−y1 sinψ−βpz&1 sinψ &
V z = α& s x C G − φ s y C G + z& F + α& s x 1 c o s ψ
−φsx1 cosψ−αs y1 cosψ−φs y&1 cosψ−αsx1 sinψ
&
− φ s x 1 s i n ψ + φ s y 1 s i n ψ − α s y& 1 s i n ψ + z& 1
根据阶数规则，将阶数高于 ε2 的所有项从上述表达式中除去。速度的变分为: r ˆG ˆG ˆG
δV=δVxII +δVyJI +δVzKI 22
ˆG ˆG ˆG

其中，
δVx =(−α&sxCG−z&1−α&sx1cosψ+φsx1cosψ+αsy1cosψ
+φs y&1 cosψ+αsx1 sinψ−φs y1 sinψ+αs y&1 sinψ)δαs
+ ( φ s y C G − h − β p x 1 − α s x C G − z 1 − α s x 1 c o s ψ + φ s x 1 s i n ψ ) δ α& s +(α&s yCG +αs x1 cosψ+αs y&1 cosψ+α&s x1 sinψ−αs y1 sinψ)δφs +(αsφs cosψ−sinψ)δx1 +(cosψ−αsβp +αsφs sinψ)δx&1 −(cosψ+αsφs sinψ)δy1 +(αsφs cosψ−sinψ)δy&1
−(α&s −βp sinψ)δz1 −(αs +βp cosψ)δz&1 +δx&F
(& & ) &
δ V y = φ s x C G + φ s x 1 c o s ψ δ α s + ( z& 1 − φ s y C G − φ s x 1 c o s ψ
− φ s y& 1 c o s ψ + φ s x 1 s i n ψ + φ s y 1 s i n ψ δ φ s + h + β p x 1 + α s x C G − φ s y C G &)(
+z1 −αsx1 cosψ−φsx1 sinψ)δφs +cosψδx1 + βpφs +sinψ δx&1 &()
+cosψδy&1 + φs −βp cosψ δz1 −sinψδy1 + φs −βp sinψ δz&1 +δy&F (& ) ( )
δVz =(−α&s h−αsz&1 +αsφsx1 cosψ+x&1 cosψ−y1 cosψ − β p z& 1 c o s ψ − x 1 s i n ψ − y& 1 s i n ψ + β p z 1 s i n ψ ) δ α s
+ ( x C G − α s h + x 1 c o s ψ − y 1 s i n ψ ) ψ δ α& s
+ y1sinψ−hφs−φsz&1−x1cosψ−y&1cosψ+βpz1cosψ
(&) )&
− x& 1 s i n ψ + β p z& 1 s i n ψ δ φ s − ( h φ s + y C G + y 1 c o s ψ + x 1 s i n ψ ) δ φ s + α&s cosψ−φs cosψ−αs sinψ−φs sinψ δx1
(2.64)
注意，(2.64)式是先对速度分量变分，然后再施加阶数规则除去高于 ε2 的高阶小量得到的。没有机身(桨毂)运动的动能变分
(&)
+(βp +αs cosψ−φs sinψ)δx&1
+ −αs cosψ−φs cosψ−α&s sinψ+φs sinψ δy1 (&)
−(φs cosψ+αs sinψ)δy&1 +(βpφs cosψ+αsβp sinψ)δz1 + 1−αsβp cosψ+βpφs sinψ δz&1 +δz&F
()
第 b 片桨叶的动能可以写成， 1∫R∫∫ r r
Tb =2 0 AρsV⋅Vdηdζdx (2.65)
其中，Vr 是桨叶总的速度矢量， ρs 是桨叶质量密度。动能变分可以写成，
23

δTb = 0 A ρsV ⋅ δVdηdζdx (2.66) ∫R∫∫ r r
rr 当不考虑机身运动引起的速度分量时，桨叶总速度V 只是等于桨叶相对于桨毂的速度V(由
2.46 式给出)。对于这一类分析，动能变分得到很大简化。将(2.46)式中的速度表达式代人(2.66)式，然后分部积分，得到以下无量纲表达式:
δTb m0Ω2R3
T =−&x&+2y&+x−zβ x1 1 1 1 1p
= ∫ 1 ∫ ∫ ρ (T δ x + T δ y + T δ z ) d η d ζ d x
0A
( 2 . 6 7 )
b
其中，
T =y−&y&−2x&+2z&β y1 1 1 1 1p
s x1 1 y1 1 z1 1
(2.68) 利用(2.34)，(2.35)，(2.50)和(2.51)式，将无量纲动能变分表达式改写，并保留小于等
于ε2的量。在某些情况下，轴向和扭转方程中，保留重要的 3 阶项。利用(2.35a-e)式，将动能变分表达式用弹性变形ue 表示。
对于第 b 片桨叶，最终的动能变分表达式可以写成:
δT b
m0Ω2R3 其中，
T = − x β + z β 2 − 2 y& β − &z& z1 1p 1p 1p 1
∫1
= mTδu+Tδv+Tδw+Tδv′+Tδw′+Tδφ+T dx(2.69)
0
() ue e v w v′ w′ φ F
T =x+u+2v&−u&& ue e e
( && ) ˆ
Tv =eg cosθ0 +θ0 sinθ0 +v−φeg sinθ0
ˆ
&& &&
Tw =−xβp −θ0eg cosθ0 −2v&βp −w&&−φeg cosθ0
Tw′=−eg xsinθ0+φxcosθ0+2v&sinθ0 (ˆ)
&& −2w&βp +2v&′eg cosθ0 +2w&′eg sinθ0 −v&&+φeg sinθ0
−2u&e +2∫x(v′v&′+w′w&′)dξ 0
Tv′ =−eg xcosθ0 −φxsinθ0 +2v&sinθ0 (ˆ)
ˆ
2ˆ22
&&
Tˆ =−km φ−(km2 −km1 )cosθ0 sinθ0 −xβpeg cosθ0 φ
−veg sinθ0 +v′xeg sinθ0 −w′xeg cosθ0 +v&&eg sinθ0 ˆ( 2 2) 2&&
−φ km2 −km1 cos2θ0 −w&&eg cosθ0 −km θ0
TF =−(x+2v&)∫x(v′δv′+w′δw′)dξ 0
桨叶截面积分定义如下:
(2.70)
24

m=∫∫ρdηdζ mk 2 =∫∫ρζ2dηdζ As m1As
meg =∫∫ ρ ηdηdζ mk 2 =∫∫ ρ η2dηdζ As m2As
mk2=mk 2+mk 2 m m1 m2
(2.71)
桨叶单位长度质量 m 是相对于参考质量 m0 做的无量纲化。 eg 是桨叶重心到弹性轴的距离 (在弹性轴之前为正)。 k 2 和 k 2 分别是单位长度桨叶的挥舞和弦向和质量惯性矩。注
m1 m2 意，这些惯性矩是绕弹性轴的。因为假设翼型厚度方向与弹性轴无偏离，因此由于桨叶重心
偏离引起的额外的桨叶截面积分可以写成:
A ρs (y1 −v)dηdζ = meg cos θ0 +φ ∫∫ (ˆ)
Aρs(z1−w)dηdζ=meg sin θ0 +φ ∫∫ (ˆ)
且如下关系成立:
∫∫A ρsζdηdζ = 0 ∫∫A ρsηζdηdζ = 0
(2.72a)
(2.72b)
正如轴向缩短项TF (见(2.70)式)所示，动能变分δTb 会得到以下二重积分表达式:
(2.73a)
(2.73b)
∫1 ∫1 ⎡∫x ⎤
− mTFdx= m(x+2v&)⎢ (v′δv′+w′δw′)dξ⎥dx
00⎢0⎥ ⎣⎦
将上式分部积分，得到如下更恰当的表达式:
∫1 ∫1 ⎡∫1 ⎤
00⎢x⎥ ⎣ ⎦
=
其中，轴向离心力 FA 定义为: FA (x)= ∫ 1 mξdξ
x
− mTFdx= (v′δv′+w′δw′)⎢ m(x+2v&)dξ⎥dx
∫11⎡1⎤
∫∫ ⎣⎦
F (v′δv′+w′δw′)dx+ (v′δv′+w′δw′)⎢ 2mv&dξ⎥dx
A 00⎢x⎥
上式反映了挥舞和摆振方程中的“离心刚度”效应，以及非线性哥氏阻尼效应。反对称的哥
氏阻尼项的对应项可以从(2.70)式中，Tv 的表达式中看到。
包括机身(桨毂)运动的动能变分将包括机身运动的速度和速度变分表达式用于推导第 b 片桨叶的动能变分，
25

其中。
∫R(
+TxFδxF +TyFδyF +TzFδzF +Tαs δαs +Tφs δφs )dx
ˆ
δTb= 0 Teδu+Tδv+Tδw+Tφδφ+Tδv′+Tδw′
((
&&
u v w ˆ v′ w′
(2.74)
(2.75)
Tue =m x+2v&−u&&−&x&F cosψ−&y&F sinψ+hα&&s cosψ−hφs sinψ ( &&)
Tv=m((v+eg cosθ0)+2(βpw&−u&))
+2eg (v&′cosθ0 +w&′sinθ0)−v&&+eg φ+θ sinθ
&& ) +&x&F sinψ−&y&F cosψ−hα&&s sinψ−hφs cosψ
⎛⎛ˆ⎞ ⎜⎜ &&&(&&&&)⎟
Tw=m⎜−⎜βp(x+2v)+w+eg φ+θ cosθ⎟
0⎟ ⎝⎝⎠
⎜
−&z& −xα&& cosψ+xφ sinψ+2xα& sinψ+2xφ cosψ
2ˆ22
(
ˆ((2 2) 2&&
)
+φ km2 −km1 cosθ0 sinθ0 +kmθ0
Tˆ=mkφ+k−k cosθsinθ
φ
m2 m1
00
+(xcosψcosθ0 −hsinθ0 sinψ)α&&s &&)
+(−xsinψcosθ0 −hsinθ0 cosψ)φs
&& &&
−egα&&sxCG cosθ0 +egφs yCG cosθ0 +eg sinθ0xφs && && )
+eg sinθ0 yCGφs sinψ+eg xCGφs cosψsinθ0 ˆ
Tv′ =−megxφsinθ0 +meg cosθ0(x+2v&+&x&F cosψ
&& ) + & y & s i n ψ + & z & β − h α& & c o s ψ + h φ s i n ψ
FFpss
TxF =m(v&&sinψ+2v&cosψ−vsinψ−&x&F +hα&&s)
TyF =m −v&&cosψ+2v&sinψ+vcosψ−&y&F −hφs ( && )
( && && T =m−w&&−&z&−α&&xcosψ+φxsinψ−x α&&+y φ
zF Fs s CGsCGs
&) +2α&sxsinψ+2φsxcosψ+αsxcosψ−φsxsinψ
26
0
0 (ˆ )
&& &
Fssss
&&) −xCGα&&s + yCGφs
m
+eg x(w′cosθ0 −v′sinθ0)+egvsinθ0
+egβpxcosθ0 −eg (v&&sinθ0 −w&&cosθ0)
−e (&x& sinψsinθ −&y& cosψsinθ +&z& cosθ gF0F0F0
&& &&
0

(2 2 &&
Tαs =m−hα&&s−xCGα&&s+h&x&F+φsxCGyCG
−x w&&−x &z&−hxcosψ−βx2cosψ CGCGF p
& +hu&&cosψ−2α&&sxxCG cosψ+2φsxxCG cosψ
&&
−2hv&cosψ+φsxyCG cosψ+φsxyCG cosψ−xwcosψ
22&22 −xw&&cosψ−x&z& cosψ−α&&x cos ψ+2φx cos ψ
Fss −2hu&sinψ+2α&sxxCG sinψ−φsxxCG sinψ
&&
+φsxxCG sinψ+hvsinψ
2 &&2 )
−hv&&sinψ+2α&sx cosψsinψ+φsx cosψsinψ
&& &&
T =m(−h2φ+α&&x y −φy2 −h&y&+y w&&
φs s s CG CG s CG F CG
+y &z&−2hu&cosψ+hvcosψ−hv&&cosψ−xφsinψ
2&& 2 CG F s
&
+α&&s xyCG cosψ−2φs xyCG cosψ+hxsinψ
+βpx2 sinψ−hu&&sinψ+α&&sxxCG sinψ+2hv&sinψ &&
−2α&sxyCG sinψ−2φsxyCG sinψ+xwsinψ + x w& & s i n ψ + x & z & s i n ψ + α& & x 2 c o s ψ s i n ψ
矩)。虚功δWb 的表达式可以写成:
∫R(A A A Aˆ) δWb = Luδu+Lvδv+Lwδw+Mˆδφdx 0φ
(2.76)
Fs
&2 22) −2φsx cosψsinψ−2α&sx sin ψ
2.2.1.3 虚功，δWb 桨叶上的气动力做虚功。由于气动载荷，使得每个自由度都有一个对应的外力(或力
其中， LA , LA , LA 分别是 x, y, z 方向上的分布的气动载荷。 M A 是绕未变形弹性轴的 uvw ˆ
气动俯仰力矩。很多气动力项都是与桨叶运动有关的，因此会对单元刚度、阻尼和质量矩阵产生贡献。第 3 章详细介绍了气动力和力矩的计算方法。
2.2.2 机身能量表达式
2.2.2.1 应变能，δUF 机身为刚性，因此应变能源自起落架。起落架应变能为，
U =1⎡Kx2+Ky2+Kz2+Kα2+Kφ2⎤ LG ⎢xF yF zF αs φs⎥ 2⎣⎦
应变能变分为:
(2.77)
φ
27

δU =⎡Kxδx+Kyδy+Kzδz+Kαδα+Kφδφ⎤(2.78) LG⎢xFF yFF zFF αss φss⎥ ⎣⎦
2.2.2.2 动能，δTF 机身运动处理桨叶动能表达式有贡献外，机身动能对系统总动能也有贡献。
系统总动能可以表示为桨叶动能Tb 和机身动能TF 之和:
⎛N⎞
⎜b⎟
T =⎜∑T ⎟+T
(2.79)
b⎟F ⎜⎟
⎜
⎝b=1 ⎠
机身动能表达式为:
身动能的变分可以写成:
⎡ &&⎤ δTF=⎢mFx&Fδx&F +mFy&Fδy&F +mFz&Fδz&F +I α&sδα&s +I φsδφs⎥(2.81)
经过分部积分后，动能变分可以写成:
1⎡2 2 2 2 &2⎤ TF= ⎢mFx&F+mFy&F+mFz&F+Iα&s+Iφs⎥
(2.80) 其中，mF 是机身等效质量，Iφ 和Iα 分别是机身绕重心的等效滚转和俯仰质量惯性矩。机
2⎣
ss
αφ
⎦
⎣
αφ
⎦
F⎢FFF FFF FFF ss ss⎥
2.2.1.3 虚功，δWF
机身上的气动力的外力虚功表达式将在第 3 章详细介绍。
2.3 桨叶运动方程
对于第 b 片桨叶，(2.16)式中的能量变分表达式可以写成如下离散形式:
采用如下符号:
能量变分还可写成
δΠ = b
F ⎢ (δU −δT−δW)⎥ dψ=0
(2.83)
(2.84)
⎣
αφ
⎦
Ψ⎡N ⎤
∫∑ Ψ⎢⎥
I ⎣ i=1
Δi =δUi −δTi −δWi
Ψ⎡N⎤
δΠ = F ⎢ Δ⎥ dψ=0
b
i
∫∑ Ψ⎢⎥
iii
⎦b
(2.85) 其中，下标 i 表示第 i 个桨叶单元，N 是桨叶总的空间有限单元数目。对能量变分表达式采
I ⎣ i=1 ⎦b 用空间有限元法就得到第 b 片桨叶的离散的运动方程。
28
ss
⎡
δ T = m & x & δ x + m & y & δ y + m & z & δ z + I α& & δ α + I φ δ φ ( 2 . 8 2 )
ss
ss
&& ⎤

2.3.1 空间有限元离散
其中单元节点位移向量为
⎪⎪ ⎪⎪
图 2.6 用于模拟桨叶的梁单元
桨叶被离散成一些梁单元(图 2.6)。每个梁单元有 15 个自由度(文献[2.3])。这些自由度分布在 5 个节点上(2 个边界节点，3 个内节点)。每个单元的边界节点都有 6 个自由度，
ˆ 分别是u,v,v’,w,w’,φ。两个内节点用于描述轴向(弹性)变形u(为了表示方便，轴向弹
性位移的下标 e 在此被省略)。还有 1 个内节点用来描述弹性扭转φˆ 。相邻单元之间位移连续，且挥舞和摆振弯曲的斜率也连续，弹性扭转和轴向拉伸的位移连续。这里采用的梁单元可确保每个单元内部的弯矩和扭矩呈线性变化，轴向力呈二次变化。用节点位移向量qi 通过多项式插值来表示梁单元内的位移分布。对于第 i 个梁单元，桨叶变形可以写成:
(2.86)
(2.87)
(2.88)
⎧⎫⎡⎤ ⎪u(s)⎪ H 0 0 0
⎢u⎥ ⎪v(s)⎪ ⎢0 H 0 0⎥
⎪⎪
u(s)=⎪ ⎪=⎢ ⎥q ⎨⎬⎢⎥ ⎪w(s)⎪ 0 0 H 0 i
⎪⎪⎢⎥
i
⎪⎪⎢⎥ ⎪ˆ⎪000H ⎪φ(s)⎪ ˆ
⎢φ⎥ ⎪⎩⎪⎭⎣ ⎦
T⎡ ′′′′ˆˆˆ⎤ q =u,u,u,u,v,v ,v,v ,w,w ,w,w ,φ,φ,φ
⎢123411221112123⎥ ⎣⎦
(2.86)式中的插值多项式如下:
⎧H ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪−4.5s3 +9s2 −5.5s+1⎪ ⎪ u1⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪
⎪H ⎪ ⎪ 13.5s3 −22.5s2 +9s ⎪ HT=⎪ u2⎪=⎪ ⎪
u
⎪H ⎪ ⎪−13.5s3 +18s2 −4.5s⎪ ⎪ u3⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪
⎨⎬⎨ ⎬
⎪H ⎪ ⎪ 4.5s3−4.5s2+s ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪
⎪⎩ u4⎪⎭ ⎪⎩
⎪⎭
29

⎪⎩ φ3⎪⎭ 其中，s=xi li ，li是第i个单元长度。
得到，
⎩2⎭ 将上式求逆，可得:
⎧⎫ ⎪w⎪
⎧⎫ ⎪ 2s3 −3s2 +1 ⎪
⎧H ⎫
⎪⎪⎪ ⎪
⎪1⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪32⎪ ⎪H⎪ ⎪li(s−2s+s)⎪
HT =⎪ 2⎪=⎪ ⎪
⎨⎬⎨ ⎬
(2.89)
(2.90)
对于挥舞和摆振弯曲，插值函数选自 Hermite 多项式，它可以确保位移和转角的连续性。插值函数的推导非常简单。
例如，考虑挥舞弯曲变。如图 2.6 所示，每个单元有 2 个弯曲节点。每个节点具有弯曲和转角 2 个自由度，因此每个单元有 4 个挥舞弯曲自由度。挥舞弯曲位移w可以用如下 3 次多项式表示:
w=α1 +α2x+α3×2 +α4×3 (2.91) 其中，x是单元局部距离，x=0到li 。将位移和转角写成单元节点自由度的函数(图2.6)
⎪H⎪⎪−2s3+3s2 ⎪ ⎪3⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪H⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪⎪ ⎪
⎪⎩ 4⎪⎭ l(s3−s2) ⎪i⎪
⎪⎩
⎪⎭
⎧⎫
⎪H ⎪ ⎧ 2 ⎫ ⎪ ˆ ⎪ ⎪2s −3s+1⎪ ⎪ φ1⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪⎪⎪ HT=⎪H⎪=⎪−4s2+4s⎪
ˆ⎨ˆ⎬⎨⎬ φ⎪φ2⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪2⎪ ⎪H ⎪ ⎪ 2s −s ⎪ ⎪ ˆ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭
w(x=0)=α =w 11
w′(x=0)=α =w′ 21
w(x=l)=α +αl+αl2 +αl3 =w 12342
(2.92)
(2.93)
w′(x=l)=α2 +2α3l+3α4l2=w2′ 上式可以写成矩阵形式:
1 ⎡ ⎤⎧⎫ ⎪ ⎪ 1 0 0 0 ⎪α⎪
⎪⎪⎢ ⎥⎪1⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪w′⎪ ⎢0 1 0 0⎥⎪α⎪ ⎪ 1 ⎪=⎢ ⎥⎪ 2⎪ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬
⎪w⎪1ll2 l3⎪α⎪ ⎪2⎪ ⎢ ⎥⎪3⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎪ ⎪ ⎢0 1 2l 3l2⎥⎪α⎪ ⎪ ′⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w ⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎩ 4 ⎪⎭
30

⎪w⎪ ⎧α⎫ ⎡ ⎤ 1
⎪⎪1000⎪⎪ ⎪1⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪α⎪ ⎢ 0 1 0 0 ⎥⎪w′⎪ ⎪ 2⎪=⎢ ⎥⎪1⎪ ⎨⎬⎢ ⎥⎨⎬
(2.94)
(2.95)
(2.96)
这里 s = xi li 是无量纲单元局部长度。将上述和(2.95)式比较，就得到挥舞弯曲所采用的
Hermite 型函数。在上述推导中，将 w 用 v 代替，就可以得到摆振弯曲的型函数。它与挥舞
弯曲型函数完全相同。
弹性扭转和轴向位移采用了 Lagrangian 多项式，因为能够保证位移连续性。推导方法
与挥舞弯曲型函数类似。每个单元有 3 个扭转节点。每个扭转节点仅有 1 个自由度。因此单元内的弹性扭转可以表示为:
⎪α ⎪ −3/l2 −2/l 3/l2 −1/l ⎪w ⎪ ⎪3⎪⎢ ⎥⎪2⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎪α ⎪ ⎢ 2/l3 ⎪⎪
⎪⎩ 4 ⎪⎭ ⎣
位移可以展开写成如下形式:
w=2s−3s+1w+l s−2s+s w (3 2 )((3 2 ))′
′
+(−2s3 +3s2)w + l (s3 −s2) w ()
然后将位移 w 用型函数表示: w=Hw+Hw′+Hw+Hw′
1/l2 −2/l3
1/l2 ⎥⎪ ⎪
1i1
11213242
2i2
⎧⎫
⎪′⎪
⎦⎪w⎪ ⎩2⎭
ˆ2 φ=α1 +α2s+α3s
(2.97) 注意，这里采用无量纲的单元长度 s = xi li 。将扭转写成三个单元节点自由度的函数(图
2.6)，得到
ˆˆ φ(s=0)=α =φ
11 ˆˆ
φ(s=1)=α1 +α2 +α3 =φ2
(2.98)
(2.99)
⎛ 1⎞ α α
ˆ⎜ ⎟ 2 3 ˆ
φ⎜s= ⎟=α1+ + =φ3 ⎜⎟
⎝ 2⎠ 2 4 写成矩阵形式可得:
将上式求逆，得到:
⎧ˆ⎫ ⎪φ ⎪
⎡1 0 0⎤⎧α⎫ ⎪1⎪ ⎪⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ 1⎪
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎨φ⎬=111⎨α⎬
⎪2⎪ ⎢ ⎥⎪2⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ˆ⎪ 1 1/2 1/4⎪α⎪
φ ⎪3⎪
⎪3⎪ ⎪⎩ ⎪⎭
⎣ ⎦⎩⎭
31

⎧ˆ⎫ ⎧α ⎫ ⎡ 1 0 0 ⎤⎪φ ⎪
⎪⎪ ⎪1⎪ ⎪ 1⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎢ ⎥⎪ˆ⎪
⎨α⎬=⎢−3 −1 4⎥⎨φ⎬
(2.100)
(2.101)
(2.102)
数的推导和上面几乎完全相同。唯一区别在于轴向位移有 2 个内节点，而弹性扭转只有 1 个。
2.3.2 空间有限元方程
通过推导由于桨叶运动的变分δqi 引起的离散的能量变分表达式，就可以得到离散的桨
叶运动方程。 (2.83)式给出的离散的能量表达式可以用桨叶单元节点量和机身自由度来表示。在
(2.83)式中，对于第 b 片桨叶的第 i 个单元，
Δi =δUi −δTi −δWi (2.103)
其中，δU 、δT 和 δW 分别是由于桨叶运动变分 δqi 引起的应变能变分、动能变分和外力虚
功。对于桨叶运动方程，机身自由度没有变分(即δxF =0)。因为机身自由度没有变分，所以(2.74)式中的第 b 片桨叶的动能变分可以简化成:
桨叶能量变分可以写成以桨叶运动qi ，机身运动xF ，操纵输入θi ，入流λ，方位角ψ为自变量的函数:
⎪2⎪ ⎪2⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪α⎪ 2 2 −4⎪ˆ⎪ ⎪⎩3⎪⎭ ⎣ ⎦⎪φ3⎪
现在可以展开得到扭转表达式了，
⎪⎩ ⎪⎭
ˆ(2)ˆ(2)ˆ(2)ˆ φ= 2s −3s+1 φ + −4s +4s φ + 2s −s φ
ˆˆˆˆ
φ=H φ+H φ+H φ ˆ1ˆ2ˆ3
∫R(
123
弹性扭转φˆ 可以写成如下型函数的表达式:
φ1 φ2 φ3 将上式和(2.101)式对比，就可以得到弹性扭转所用的 Lagrangian 型函数。轴向位移型函
ˆ)
δTb= 0 Tδu+Tδv+Tδw+Tδv′+Tδw′+Tφδφdx (2.104)
u v w v′ w′ ˆ
(δU ) =δU (δq,θ,ψ,q,q2) ibiiiiib
(δTi) =δTi(δqi,θi,ψ,qi,q&i,x&F,&x&F,qix&F,qi&x&F) bb
b
(2.105)
(δW) =δW(δq,θ,ψ,q,q&,q2,qq&,x ,x& ,q&&,λ)
ibiiiiiiiiFFi
32

在上式中，qi2 表示与桨叶运动的二阶非线性项，qi x&F 表示包含了一项桨叶运动和一项机身
速度的二阶双线性项。(2.105)式中其它自变量的定义与之相似。机身对总能量的变分的贡献与桨叶运动无关。机身能量仅与机身运动有关。
δU 和 δW 的表达式包含非线性项。动能变分 δT 不含非线性项。注意，如果考虑机身 (桨毂)运动时，δT 会含有二阶双线性项。
采用适当的型函数，单元能量变分Δi 可以写成如下形式: Δ=δqT(Mq&&+Cq&+Kq+M x&&+C x&+K x−F)(2.106)
i i b b b bFF bFF bFF bi
其中，(Mb ) 、(Cb ) 、(Kb ) 、(Fb ) 分别是(桨叶)单元质量、阻尼、刚度矩阵，以及载 iiii
荷向量。(MbF ) 、(CbF ) 、(KbF ) 分别是桨叶-机身单元质量、阻尼、刚度矩阵。 iii
(Mb ) 、(Cb ) 、(Kb ) 矩阵是从线性项得到。能量表达式中的非线性项都放到能量方 iii
程的右边(力)，然后采用一阶泰勒级数展开进行线性化。这样，所有非线性项都包括在(Fb ) i
中。因此，力向量(Fb ) 可以写成: i
Fi =(F0)+(FNL) (2.107) ii
其中，(F0 ) 和(FNL ) 分别是单元力向量的常数部分和非线性部分。单元力向量的非线性部 ii
分采用一阶泰勒级数展开进行线化:
i (F )=(F ) +∂(FNL)q NL i NL i(q0)i ∂q i
i
(FNL) →(F0) i (q0)i i
i 部分是通过解析的方法，对非线性力矢量对单元位移向量qi 的每一项求导得到的。这样就
得到位移 Jacobian 矩阵。有限元矩阵是径向位置(空间)的函数，而且还是方位角(时间)的函数。换句话说，
就是Mi =Mi(r)，Ci =Ci(r,ψ)，Ki =Ki(r,ψ)，Fi =Fi(r,ψ)。径向变化是桨叶旋转造成的，而随方位角的变化是前飞时施加周期变距操纵和气动力造成的。这样就必须计算
(2.108) (2.109)
在上面两式中，为了方便，将下标 b 除去。在(2.109)式中，泰勒级数展开式中的常数项并入到(F0 ) 中。非线性力的线化(导数)
33

桨盘上每个径向位置和方位角所对应的单元矩阵。
2.3.3 单元结构矩阵和载荷向量
2.3.3.1 桨叶矩阵和载荷向量单元质量、刚度和阻尼矩阵可以分块以反映来自于轴向位移、挥舞弯曲、摆振弯曲和弹
性扭转的贡献。线性质量、刚度、阻尼矩阵可以写成:
b i
⎢[M ] [M ] [M ] ⎡M ⎤⎥
⎡[M ] [M ] [M ] ⎡M ⎤⎤
⎢ uu uv
uw ⎣ uφ⎦⎥
⎢ ⎡⎤⎥
⎢[M ] [M ] [M ] ⎣M ⎦⎥ [M]=⎢ vu vv vw vφ⎥
(2.110)
(2.111)
(2.112)
⎢ wu wv ⎢⎥
ww ⎣ wφ⎦⎥ ⎢⎡M ⎤ ⎡M ⎤ ⎡M ⎤ ⎡M ⎤⎥
⎢⎣ φu⎦ ⎣ φv⎦ ⎣ φw⎦ ⎣ φφ⎦⎥ ⎣⎦
⎡[K ] [K ] [K ] ⎡K ⎤⎤
⎢ uu uv
uw ⎣ uφ⎦⎥
⎢ ⎡⎤⎥
⎢[K ] [K ] [K ] ⎣K ⎦⎥ [K]=⎢ vu vv vw vφ⎥
b i
⎢[K ] [K ] [K ] ⎡K ⎤⎥
⎢ wu wv ⎢⎥
ww ⎣ wφ⎦⎥ ⎢⎡K ⎤ ⎡K ⎤ ⎡K ⎤ ⎡K ⎤⎥
⎢⎣φu⎦ ⎣φv⎦ ⎣φw⎦ ⎣φφ⎦⎥ ⎣⎦
⎡[C ] [C ] [C ] ⎢ uu uv uw
⎡C ⎤⎤ ⎣uφ⎦⎥
⎢
⎢[C ] [C ] [C ]
⎡⎤⎥ vφ ⎥
⎣C ⎦⎥ ⎢[C ] [C ] [C ] ⎡C ⎤⎥
[C]=⎢ vu vv vw
b i
⎢ wu wv ⎢⎥
ww ⎣ wφ⎦⎥ ⎢⎡C ⎤ ⎡C ⎤ ⎡C ⎤ ⎡C ⎤⎥
⎢⎣φu⎦ ⎣φv⎦ ⎣φw⎦ ⎣φφ⎦⎥ ⎣⎦
单元结构刚度和质量矩阵具有对称性(例如[Kuv ]=[Kvu ]等等)。线性质量矩阵中，各项定义如下:
34

[K ]=∫1EAH′TH′ds
1 φˆ φˆ
[K ]=−∫1EAe cosθH′TH′′ds
uv
[K ]=−∫1EAe sinθH′TH′′ds
uw
0 0
⎡K ⎤=∫1EAk2θ′H′TH′ds A0uˆ
[M ]=∫1mHTHds
uu
[M ]=∫1mHTHds
A0u A0u
⎣uφ⎦ 0 φ
[K ]=∫1(EI−EI)sinθcosθH′′TH′′ds
zy00 g0ˆ
0 0
uu
vv
[M ]=∫1mHTHds
ww
⎡M ⎤=∫1mk2HTHds 0mˆˆ ⎣φφ⎦ φφ
⎡M ⎤=−∫1mesinθHTHds 0g0ˆ
⎣ vφ⎦ φ
⎡M ⎤=∫1mecosθHTHds 0g0ˆ
⎣ wφ⎦ φ
[Muv ]= 0 [Muw]=0 [Mvw]=0
线性刚度矩阵中，各项定义如下:
0
uu
[K ]=∫1FH′TH′ds+∫1(EI sin2θ+EI cos2θ)H′′TH′′ds
ww
A
z0y0
A
uu
0 00
0
[K ]=∫1FH′TH′ds+∫1(EIsin2θ+EIcos2θ)H′′TH′′ds
00
vv
−∫1mΩ2HT Hds
y0z0
⎡⎤∫1 2(2 2) T ∫1( ′2)T
⎣K ⎦= mΩ k −k cos2θHφHφds+ GJ+EBθ HφHφds
φφ
m2m1 0ˆˆ 00
0
10
ˆˆ
+ ∫ 1 EC H ′′T H ′′ds
vw
⎡K ⎤=∫1mΩ2esinθHTHds−∫1xmΩ2esinθH′THds
0
⎣vφ⎦0 φ0 φ
−∫1EBθ′cosθH′′TH′ds−∫1EC sinθH′′TH′′ds
(2.114)
2 0 φˆ
⎡K ⎤=∫1xmΩ2ecosθH′THds−∫1EBθ′sinθH′′TH′ds
20 0 φˆ 00
g0ˆ
⎣wφ⎦0 φ0 φ
0
+∫1EC cosθH′′TH′′ds
2 0 φˆ 线性阻尼矩阵中，各项定义如下:
35
g0ˆ
200ˆ
(2.113)

[C ]=−∫12mΩHTHds
0
uv
[C ]=∫12me Ωcosθ H′T Hds−∫12me Ωcosθ HT H′ds
[C
p
g0
[Cww]=0
⎡C ⎤=⎡C ⎤=0
⎣ wφ⎦ ⎣ φw⎦ ⎡C ⎤=0
Fi =(F0)+(FNL) ii
常数力向量中，各项定义如下:
0
(2.116)
{F } =∫1mΩ2xHTds
u0 {F } =
u
u g0
g0 ]=−∫12mΩβ HT Hds−∫12me Ωsinθ HT H′ds
00
[Cvu ]=−[Cuv ] [Cwv ]= −[Cvw ] [Cuu ]= 0
⎡C ⎤=⎡C ⎤=0 ⎣uφ⎦ ⎣φu⎦
⎡C ⎤=⎡C ⎤=0 ⎣vφ⎦ ⎣φv⎦
⎣ φφ⎦
单元力向量 Fi 是由外力虚功 δW 和动能变分 δT 得到。动能变分中得到的力项是因为桨
叶上的惯性力(例如离心力)引起的。它和单元矩阵一样，也包括线性和非线性项。(2.107) 式中，单元力向量可以写成，
vv vw
00
∫1 && ∫1 m(Ω2e cosθ +θ e sinθ )HT ds− g00g0
mΩ2e cosθ xH′T ds g0
v0
{F}=− mΩ2(β x+θe sinθ)HTds− mΩ2e sinθxH′Tds (2.117)
w0
00 ∫1 && ∫1
g0
pc 0g 0 00
∫1
{F}=− mk2θ+mΩ2(k2 −k2)sinθcosθHTds m0 m2m100ˆ
0 pcg 0φˆ 非线性力向量中，各项定义如下:
&&
w00φ −∫1mΩ2β e cosθxHTds
⎛ˆ⎞
⎜ˆ ˆ 2φ′22′⎟T
∫1
{F } =− EA⎜e v′′φsinθ −w′′φcosθ +k +k θ w′v′⎟H ds(2.118) A00AA0u
NL ⎜( ) ⎟ u0⎜ 2⎟ ⎝⎠
(2.115)
36

∫1(ˆ ˆ)
{F } =− (EI −EI )v′′φsin2θ −(EI −EI )w′′φcos2θ H′′Tds
zy0zy0
v NL
− EAe u φ′sinθ H′′Tds− GJφ′w′+EAk2θ w′u H′′Tds
0
∫1 ′ˆ ∫1(ˆ ′ ′)
Ae0 00
A0e 1⎛ x ⎞ 1⎛ 1 ⎞
+ ⎜2m (v′v&′+w′w&′)dξ⎟Hds− ⎜2v′ mv&dξ⎟H′ds ⎟⎟
∫⎜∫⎟T∫⎜∫⎟T 0⎝0 ⎠0⎝x⎠
∫1( ˆ ˆ)
{F } =− (EI −EI )cos2θ v′′φ+(EI −EI )sin2θ w′′φ H′′Tds
00
zy zy
w NL
+ EAe u φ′cosθ H′′Tds− GJφ′v′′+EAk2θ v′′u H′Tds
0
∫1 ′ˆ ∫1(ˆ ′ ′)
Ae0 00
A0e
1⎛ 1 ⎞
− ⎜2w′ mv&dξ⎟H′ds ⎟
∫⎜∫⎟ 0⎝x⎠
T
{F } =−∫1((EI −EI )w′′sinθ cosθ +(EI −EI )v′′w′′cos2θ )H Tds
其中，
zy00zy0ˆ φ
φ NL
+ (EI −EI )v′′2 sinθ cosθ H T ds− EAk2φ′u +GJ w′v′′ H′T ds
0
∫1 ∫1(ˆ′ )
φˆ 当计算参考位置 q0 处的值时，上面的非线性项和常数力项 F0 合并在一起(见(2.109)式)。
zy 00φˆ 00
Aee
泰勒级数近似中的偏导数项就是位移 Jacobian 矩阵。 2.3.3.2 桨叶-机身耦合矩阵
机身运动引起的桨叶动能(见(2.74)式)会影响桨叶动力学特性。将单元型函数代人能量表达式(2.75 式)就得到桨叶-机身耦合矩阵。
桨叶-机身质量矩阵为: ⎡MMMMM⎤
⎢ uxF uyF uzF uαs uφs ⎥ ⎢MMMMM⎥
⎢M M M M M⎥ ⎣ˆˆˆˆˆ⎦
MuxF =∫1mcosψHTdx 0u
MuyF =∫1mcosψHTdx 0u
MuzF =0
Muα =−∫1mhcosψHTdx
⎢ vxF vyF
[MbF ]= ⎢⎥
⎥ ⎢ss⎥
vzF vαs vφs ⎢MwxF MwyF MwzF Mwα Mwφ ⎥
(2.119)
⎢ φxF φyF
φzF φαs φφs
⎥
s0u Muφ =∫1mhsinψHTdx
M
vxF
=−∫1m(sinψHT +e cosθ cosψH′T )dx
0
s0u
37
g0
(2.120)

其中
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
=∫1m(cosψHT −e cosθ sinψH′T)dx
φφs 0 桨叶-机身阻尼矩阵为:
φ
vyF vzF vαs vφs wxF wyF wzF wαs wφs
g0 =−∫1mβecosθH′Tdx
桨叶-机身刚度矩阵[KbF ]=0。 2.3.3.3 高斯积分
0
0
pg0 =∫1m(hsinψHT+ehcosθcosψH′T)dx
g0 =∫1m(hcosψHT−ehcosθsinψH′T)dx
0 0
g0 =−∫1me sinθ cosψH′Tdx
g0
=−∫1me sinθ sinψH′Tdx
0 0
g0 =∫1mHTdx−∫xmβe sinθH′Tdx
00
0
CG g0
φ =−∫1me cosψsinθ HTdx
0
φyF ˆg0ˆ
=+∫1me cosθHTdx 0
(2.120) φ
⎡000 0 0⎤ ⎢⎥
φ φ
pg0
=∫1m (xcosψ+x )H +he sinθ cosψH′ dx
(TT) CG g0
0
=−∫1m((xsinψ+y )HT +he sinθ sinψH′T)dx
=∫1me sinψsinθ HTdx ˆg0ˆ
φxF ˆg0ˆ
0
φzF
ˆ g 0 CG 0 0 ˆ
=∫1me (hsinθ sinψ−x cosθ −xcosψcosθ )HTdx φαs 0
=−∫1me (hsinθ cosψ+y cosθ +xsinψcosθ )HTdx ˆ g 0 CG 0 0 ˆ
⎢000 0 0⎥
[C ]=⎢ ⎥ (2.121)
bF ⎢000C C⎥
⎢ wα wφ ss
⎥
⎢000 0 0⎥ ⎢⎥ ⎣⎦
Cwαs =−∫012mxsinψHTdx Cwφs =−∫012mxcosψHTdx
(2.122)
计算单元矩阵和载荷向量时，需要对无量纲单元局部长度ds (0≤s≤1)积分。这里采
用高斯积分法。它将积分转变为如下的叠加形式:
38

1 NGAUSS
∫0 F(s)ds= ∑ F(sj)wj (2.123)
j=1
其中， s j 是第 j 个积分点的局部单元位置， w j 是该积分点的权值。NGAUSS 是在 0 ≤ s ≤ 1
上总的积分点数目。一般来说，在计算所有的结构矩阵积分时，采用了 6 点高斯积分(即 NGAUSS=6)。
2.3.4 单元矩阵(和载荷向量)的组集
将单元矩阵组集起来，就得到用节点位移表示的结构总体非线性运动方程。在组集时，
必须确保相邻单元节点间自由度的相容性。
通过将 N 个空间梁单元的单元矩阵组集起来，就得到以下总的能量变分表达式:
δ Π = ∫ ψ F δ q T ( M q& & + C q& + K q + M &x& + C x& + K x − F ) d ψ = 0 ( 2 . 1 2 4 )
b b b bFF bFF bFF b 其中，整体节点位移向量q和桨叶在空间域的总体矩阵Mb，Cb，Kb 定义如下:
ψI
∑N q=q i
i=1
(2.125)
(2.126)
(2.127)
(2.128)
(2.129)
(2.130)
(2.131)
M b = ∑N ( M b )
C b = ∑N ( C b )
i i=1
i i=1
K b = ∑N ( K b )
i i=1
F b = ∑N ( F b ) i i=1
空间域内，桨叶-机身矩全局阵 MbF ，CbF ， KbF 定义如下: M b F = ∑N ( M b F )
C b F = ∑N ( C b F )
i i=1
i i=1
39

N
KbF = (K )
∑ i=1
(2.132) 上述表达式中，符号叠加就代表了组集过程。以桨叶质量矩阵 Mb 组装为例，组集过程如下:
其中，N 是桨叶有限单元总数，[Mb ] 是第 i 个单元的质量矩阵。由于存在与轴向缩短有关 i
的所有二重积分项(见(2.73a-b)式)因此破坏了全局阻尼和刚度矩阵的带状结构。由于虚位移 δq 可以是任意值，因此(2.124)式中的被积函数必须等于零。这样就得到
桨叶运动方程:
Mbq&&+Cbq&+Kbq+MbF x&&F +CbF x&F +KbF xF =Fb (2.133)
2.3.5 施加桨叶运动边界条件
图 2.7 显示了桨叶有限元和全局自由度的编号方式。图 2.6 和 2.5 节介绍了单元局部自
由度。图 2.7 还显示了如何对铰接式和无铰式旋翼施加运动边界条件。对于无铰式旋翼，假设桨叶在根部固支。这意味着桨根处的响应u,v,v’,w,w’,φ均为零。
对于铰接式旋翼，在摆振铰处，对 v ‘ 的约束不存在，在挥舞铰处，对 w ‘ 的约束不存在。在单元矩阵的组集过程中施加几何边界条件。
无轴承旋翼的边界条件与旋翼的构型和设计有关。它的边界条件可以和无铰式旋翼完全相同，也可能会非常复杂。复杂的设计需要考虑各种运动约束的组合。无轴承旋翼的边界条件会专门介绍。
bF
i
40
ˆ

5DOF=0
简支约束挥舞铰
(a)桨叶从 2%R 处开始的无铰式旋翼
(b)挥舞铰位于 2%R 处，且没有摆振铰的铰接式旋翼图 2.7 全局自由度和有限元模型描述
41

4DOF=0
简支约束挥舞和摆振铰
5DOF=0
(c)挥舞和摆振重合，且位于 2%R 处的铰接式旋翼摆振铰
简支约束挥舞铰
(d)挥舞铰位于 2%R 处，摆振铰位于 5%R 处的铰接式旋翼图 2.7(续)全局自由度和有限元模型描述
42

2.4 结构建模的实现
2.4.1 计算桨叶矩阵(SUBROUTINE STRUCT)
前面章节介绍了结构方面的理论推导，包括单元质量、阻尼、刚度矩阵，以及载荷向量。由于惯性力(例如离心力)引起的结构对载荷向量的贡献也推导了。上述矩阵被组集起来，得到全局离散化的运动方程。在软件中，结构对单元矩阵的贡献是在subroutine struct中完成的(图 2.8)。下面各节介绍了:
SUBROUTINESTRUCT的功能
SUBROUTINE STRUCT 在何时和在哪里被调用
SUBROUTINE STRUCT 的输入和输出
SUBROUTINE STRUCT 的性能和特定任务
2.4.1.1 SUBROUTINE STRUCT 的功能该子程序计算结构(由于惯性力)对桨叶单元载荷向量、单元质量阵、单元刚阵、单元
阻尼阵的贡献{EQ}。当进行稳定性分析时，该子程序还计算机身结构(旋翼)对桨叶-机身、机身-桨叶、机身矩阵的贡献。程序中计算了线性和非线性项。应变能变分 δU 中出现的结构非线性是通过计算位移 Jacobian 矩阵来评估的。
2.4.1.2 调用 SUBROUTINE STRUCT
该子程序是在循环内被反复调用。循环次数等于空间单元数。在计算响应时，它还被时间循环所调用，该循环的次数等于时间单元数。
1)
SUBROUTINE STRUCT 在 4 个地方被调用: 被 SUBROUTINE BLDVIB 调用
标记:INDRNS = -1 功能:计算关于未变形桨叶位置({EU}={0})的单元质量阵[EM]，刚度阵[EK]。这些矩阵用来计算旋转桨叶在真空条件下，相对于初始未变形桨叶的固有频率和振型。得到的频率和振型用来构建稳态响应计算所需的模态运动方程。
2)被 SUBROUTINE ASBGBM 调用(在 SUBROUTINE TRIM 中) 标记:INDRNS = 1
功能:计算相对于变形后的桨叶({EU}≠{0})的单元质量阵[EM]，阻尼阵[EC]、刚度阵[EK]、位移 Jacobian 阵[DFX]、载荷向量[EQ]。这些矩阵(和向量)用于计算耦合配
43

机身重心偏离量
δ3参数
单元弹性和惯性特性单元位移向量方位角
单元数
单元长度
高斯点和权重单元离心力标志:INDNL，INDRNS
INDFUS
预锥角径向缩短参数
COMMON /RINPUT/ COMMON /STRUC/
COMMON /AEROD/ COMMON /FUSE/
输出
参数表
COMMON /TRIMV/ COMMON /PBRNG/
SUBROUTINE STRUCT
输出量
[EM],[EK],[EC], [DFX],{EQ}, [EMA],[ECA], [TM],[TC],[TK], [UM],[DFXC],[DFXCD] [TCSD],[TKSD]
线性扭转或用户定义的扭转分布
总距和周期变距输入
(a)物理变量
参数表
COMMON /PERT/ COMMON /CFUNC/ COMMON /RADSHR/
用户定义SUBROUTINE (如GZTWST，TWISTX)
SUBROUTINE STRUCT
(b)数据流路径
图 2.7 SUBROUTINE STRUCT 的输入和输出
平迭代过程中的稳态响应计算。耦合配平采用时间和空间有限元法计算收敛的稳态周期
响应{EU}trim 。
3)被 SUBROUTINE STAB 调用
标记:INDRNS = -2
功能:计算相对于桨叶配平(变形)状态({EU}={EU}trim )下的单元质量阵[EM]
刚度阵[EK]。这些矩阵用于计算旋转桨叶在真空条件下，相对于配平(变形)状态的桨
叶的固有频率和振型。得到的频率和振型用来构建稳定性分析所需的模态运动方程。 4)被 SUBROUTINE ASBGM2 调用(在 SUBROUTINE STAB 中)
标记:INDRNS = 2
44

功能:计算相对于桨叶配平(变形)状态({EU}={EU}trim )下的单元质量阵[EM]，
阻尼阵[EC]、刚度阵[EK]、位移 Jacobian 阵[DFX]。这些矩阵用于线化稳定性分析。注意，在线化稳定性分析中，没有用到载荷向量[EQ]。
注意:当 INDRNS=2 且 INDFUS=1 时，桨叶-机身、机身-桨叶、机身矩阵也被计算(稳定性分析)。
2.4.1.3 SUBROUTINE STRUCT 的输入通过参数表给的输入
GQP GQW EU
SHI
= 高斯积分采样点(单元局部轴) = 高斯积分权值
= 单元位移向量，
= 方位角，ψ
TLAM GU GUD INDEG ELV
= 先进桨叶的空间有限元转换矩阵 = 全局位移向量
= 全局速度向量 = 连接矩阵
= 包含所有单元长度的数组
TT ””ˆˆˆ {EU} =q =[u,u,u,u,v,v,v,v,w,w,w,w,φ,φ,φ]
i 123412121212123
NGAUSS = 空间高斯积分点数目 NEDOF = 空间单元自由度数
XBI = 单元左端点 x 坐标
EL = 单元长度，l
L = 单元数目(桨尖单元=1)
AXFI = 单元右端点总的轴向力
INDRNS = -1 计算真空频率和振型(关于未变形桨叶)
-2 计算真空频率和振型(关于配平状态) 1 响应计算
2 稳定性计算
INDNL = 0，忽略所有非线性项 1，考虑所有非线性项
45

通过 Common Block 的输入
COMMON /STRUC/
COMMON /AEROD/ : 预锥角，BTP= β p
COMMON /RADSHR/ : 径向缩短效应参数
COMMON /TRIMV/ COMMON /CFUNC/
COMMON /PBRNG/
COMMON COMMON COMMON
: 周期变距操纵输入 TH1C 和 TH1S
: 总距输入 TH75 以及线性扭转斜率 THTW
: 铰接式旋翼用于 δ3 效应的参数
/PERT/
/RINPUT/ : 机身重心偏离量，HBAR，XCG，YCG /FUSE/ : 表示是否考虑机身运动的标记 INDFUS
: 每个单元所有的弹性和惯性特性(即 EIY，EIZ，GJ)
: 用于表示稳定性分析的标记 IPERT
2.4.1.4 SUBROUTINE STRUCT 的输出通过参数表给的输出
EK = 单元刚度阵(Kb )i
EC = 单元阻尼阵(Cb )i
EM =单元质量阵(Mb)i
EQ =单元载荷向量(Fb)i
DFX = 单元位移 Jacobian 矩阵，DFX= ∂ (FNL )i ∂qi
EMAS ECAS TMS TCS TKS TPS
UMS DFXC
=耦合的桨叶-机身质量矩阵(MbF )i =耦合的桨叶-机身阻尼矩阵(CbF )i =耦合的机身-桨叶质量矩阵(MFb )i
=耦合的机身-桨叶阻尼矩阵(CFb )i =耦合的机身-桨叶刚度矩阵(KFb )i
=机身阻尼矩阵 C FF =机身质量矩阵 M FF
= 非线性二重积分刚度矩阵(所有单元) 46

DFXCD TCSD TKSD
= 非线性二重积分阻尼矩阵(所有单元) = 非线性二重积分机身-桨叶阻尼矩阵
= 非线性二重积分机身-桨叶刚度矩阵
2.4.1.5 SUBROUTINE STRUCT 的性能和特定任务 1)对矩阵和载荷向量初始化。
2)如果是计算响应或稳定性，INDRNS=1或2，计算输入方位角ψ对于的sinψ和cosψ。 &&
3)计算刚性桨距惯量 θ0 。
4)计算弹性常数的组合。 5)计算单元右端点位置的平方。 6)计算后掠连接参数。
如果是计算响应或稳定性，INDRNS=1 或 2，且包括非线性项，INDNL=1:计算和存储与轴向缩短有关的非线性二重积分所需的项(2.118 式)。
如果是第一个单元(L=1)且单元数 MSELT>1，计算和存储非线性二重积分所需的项(2.118 式)。
7)对轴向缩短项所需的矩阵进行初始化。进入对空间单元的循环: DO 1300 N= 1，MSELT
8)获取单元位移和速度向量。进入空间高斯积分点循环: DO5731 N= 1，NGAUSS
9)计算单元高斯积分点出的型函数的值。 10)计算高斯积分点处的偏角。 11)计算二重积分表达式(2.118 式)所需的乘积。 5731 CONTINUE
1300 CONTINUE
计算当前(第 L 个)单元所需的非线性缩短项。 12)非线性矩阵初始化。
对当前(第 L 个)单元，进入空间高斯积分点循环
DO 5832 N=1，NGAUSS
13)(根据第 N 个高斯点位置)定义“部分”单元的缩短的长度。对于“部分”单元，进入空间高斯积分点循环。
47

DO 5833 N1=1，NGAUSS 14)计算单元高斯点处的型函数值。 15)计算高斯点处偏角。 16)计算二重积分表达式(2.118 式)所需的乘积。 5833 CONTINUE
5832 CONTINUE
结束轴向缩短项的初步计算。
开始第 L 个单元的矩阵和载荷向量计算。进入空间高斯积分点循环
DO 5000 N=1，NGAUSS 17)计算单元内沿桨叶展向的高斯积分点位置。 18)计算高斯点处所有的型函数值(2.88-2.90 式)。 19)计算非线性项的偏角。 20)计算高斯点处的刚性扭转。
如果是线性扭转，直接显式计算扭转(2.6式)。
如果是小羚羊(Gazelle)桨叶，采用子函数 SUBROUTINE GZTWST 计算扭
转。
如果是ITR-BMR桨叶，采用子函数SUBROUTINETWISTX计算扭转。
如果是具有δ3 效应的铰接式桨叶，计算包括耦合效应的扭转。
21)计算包含刚性扭转的三角函数。 22)计算包含三角函数和弹性系数的函数。 23)计算非线性项的乘积。
24)计算高斯点处总的轴向力 FA 和轴向位移斜率 u ‘ 。加上离心力、径向气动力、哥氏
力(2.37 式)对轴向力的贡献。 25)如果没有采用轴向位移节点(用于稳定性分析)，计算径向缩短项。这是为了正确计算哥氏阻尼力所必须的。
线性载荷向量和矩阵:
进入单元轴向和弯曲自由度(行)循环
DO 600 I=1,4
48

26)如果计算响应，计算载荷向量(轴向和弯曲项，2.117 式)。进入进入单元轴向和弯曲自由度(列)循环
DO 800 J=1,4
27)计算刚度矩阵(轴向和弯曲项，2.114 式) 28)如果计算响应或稳定性，计算阻尼矩阵(轴向和弯曲项，2.115 式) 29)计算质量矩阵(轴向和弯曲项，2.113 式)
800 CONTINUE
进入单元扭转自由度(列)循环
DO600 J= 1,3 30)计算刚度矩阵(耦合的轴向-扭转和弯-扭项，2.114 式) 31)计算质量矩阵(耦合的轴向-扭转和弯-扭项，2.113 式) 600 CONTINUE
进入单元扭转自由度(行)循环
DO 1200 I = 1,3 32)如果计算响应，计算载荷向量(扭转项，2.117 式) DO 1200 J = 1,3
进入单元扭转自由度(列)循环
33)计算刚度矩阵(扭转项，2.114 式)
34)计算质量矩阵(扭转项，2.113 式)
1200 CONTINUE 非线性载荷向量和矩阵(如果不忽略，INDNL≠0，且不是关于初始未变形状态的真空频率和振型，INDRNS≠-1):
35)计算载荷向量非线性部分所需的 δU 和 δT 中的非线性项。进入单元轴向、弯曲、扭转自由度(行)循环
DO 2000 I = 1，4 36)如果计算响应，计算非线性载荷向量(轴向、弯曲、扭转项，2.118 式)。 2000 CONTINUE
37)计算位移 Jacobian 矩阵[DFX]所需的非线性项，见 2.108 式，且有
49

[DFX]=∂(FNL)i ∂qi
进入单元轴向、弯曲自由度(行)循环 DO 2200 I = 1，4 进入单元轴向、弯曲自由度(列)循环 DO 2100 J = 1，4
38)计算位移 Jacobian 矩阵[DFX ]”(轴向和弯曲项)。
2100 CONTINUE
进入单元扭转自由度(列)循环 DO 2200 J = 1，3
39)计算位移 Jacobian 矩阵[DFX ]”(耦合的轴向-扭转和弯-扭项)
2200 CONTINUE 40)如果是稳定性分析(INDRNS=2)且考虑机身(INDFUS=1)，那么计算桨叶-机身矩阵(2.119-2.122 式)，机身-桨叶矩阵(2.147–2.152 式)，机身矩阵(2.141–2.146 式)。 5000 CONTINUE
结束程序，返回调用。
参考文献
[2.1] Hodges, D.H. and Dowell, E.H., “Nonlinear Equations of Motion for the Elastic Bending and Torsion of Twisted Nonuniform Blades,” NASA TND-7818, Dec. 1974.
[2.2] Hodges, D.H., Ormiston, R.A., and Peters, D.A., “On the Nonlinear Geometry of Euler-Bernoulli Beams,” NASA TP-1566, April 1980.
[2.3] Chopra, I. and Sivaneri, N.T., “Aeroelastic Stability of Rotor Blades Using Finite Element Analysis,” NASA CR-166389, Aug. 1982.
[2.4] Lanczos, C., The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications, Inc., New York, N.Y., 1970.
[2.5] Kaza, K.R. and Kvaternik, R.G., “Nonlinear Aeroelastic Equations for Combined Flapwise Bending, Chordwise Bending, Torsionm and Extension of Twisted, Nonuniform Rotor Blades in Forward Flight,” NASA TM 74059, Aug. 1977.
[2.6] Lim, J.W., “Aeroelastic Optimization of a Helicopter Rotor,” UMAERO Report No. 88-6, Also, Doctoral Dissertation. Dept. of Aerospace Engineering, University of Maryland, 1988.
50

[2.7] Bir, G.S., “Gust Response of Helicopters,” Doctoral Dissertation. Dept. of Aerospace Engineering, University of Maryland, 1985.
[2.8] Jang, J., “Ground and Air Resonance of Bearingless Rotors in Hover and Forward Flight,” UMAERO Report No. 88-30, Also, Doctoral Dissertation. Dept. of Aerospace Engineering, University of Maryland, 1988.
51

3、气动模型
旋翼响应与每片桨叶上的气动力直接相关，因此，为了满足更好地满足不断增加的对直升机动态响应预测准确度的要求，就需要精确的旋翼气动模型。本软件的目的就是提供一套具有足够精度的综合分析工具来预测旋翼载荷、响应和稳定性，并为设计新一代直升机提供帮助。选择分析方法时，必须具有高效的特点，使得计算成本尽可能低。近年来，研究人员开发了很多理论和半经验气动模型，用来预测旋翼飞行所面对的复杂的气动环境。这些分析方法范围很广，从简单的线性准定常分析到复杂的全 Navier-Stokes 计算流体动力学 (Computational Fluid Dynamics，CFD)分析。此外，研究人员还开发了一些用来捕捉 3 维的旋翼尾迹结构瞬态特性的模型。这些模型从简单线性入流模型到复杂的需要迭代求解的自由尾迹模型。这些新的分析方法的不足之处在于计算量大。
本软件的一个目标就是将先进的气动模型与动力学分析方法结合起来，从而提高预测能力。
软件采用的叶素气动模型包括:准定常模型、线性附着流模型、非线性分离流模型、 Leishman 和 Beddoes 提出的动态失速模型[1]。尾迹模型包括 Drees 线性入流模型[2]、 CAMRAD 中采用的刚性和自由尾流模型[3]、Johoson 提出的自由尾流模型[4]， Bagai-Leishman 提出的自由尾流模型。
软件采用的气动模型可以分为以下几类:准定常气动模型、线性附着流非定常气动模型、非线性分离流模型、动态失速模型、尾流模型。3.1 节介绍了准定常气动模型的推导，3.2 节介绍了准定常气动模型的软件实现。3.3 节介绍了进行气动计算的 SUBROUTINE AEROMX 的细节。3.4 节介绍了软件采用非定常气动模型、非线性分离流模型和动态失速模型。3.5 节介绍了软件采用的尾流模型。
3.1 准定常气动模型
准定常气动分析假设桨叶气动载荷只是桨叶截面瞬时攻角的函数。此外，翼型截面的升力、阻力、俯仰力矩完全基于静态数据。
准定常气动分析得到有限单元的质量、阻尼和刚度矩阵，以及作用在桨叶和机身上的气动载荷引起的载荷向量。计算这些矩阵就需要确定在变形坐标系下，截面上来流速度矢量。
3.1.1 节推导了变形后坐标系下的气流速度。3.1.2 节给出了气动载荷的推导。3.1.3 节介
绍了采用 Hamilton 原理来得到离散的桨叶有限元运动方程、机身运动方程和动态入流方程。 52

图 3.1 风速的水平和垂向分量
3.1.4 节介绍了通过有限元离散获得桨叶气动力矩阵的方法。3.1.5 节介绍了非线性气动力项
的处理。3.1.6 节介绍了机身气动力计算。
桨叶运动方程推导采用了 Hamilton 原理。为了应用 Hamilton 原理，将外力虚功定义为
作用在系统上的外力的函数。这些外力就是作用在桨叶上的气动载荷。它们是桨叶截面上来流大小和方向的函数。
3.1.1 气流速度推导
桨叶任意截面上入流速度包括三部分:风速 Vw 、桨叶速度 Vb 、机身运动引起的速度
Vr 。在旋转的未变形坐标系下，到旋翼轴距离为x的桨叶截面的合速度矢量可以写成， f
rrrr
V=−Vw +Vb +Vf (3.1)
rr
其中，风速 Vw 包括直升机前飞速度和旋翼入流的贡献， Vb 是旋转引起的桨叶相对于桨毂
r
不旋转系的速度，Vf 是机身运动引起的桨叶速度。风速
如图 3.1，风速的表达式可以写成，
r
ˆˆ Vw =(μΩR)IH −(λΩR)kH
(3.2) 其中，旋翼前进比μ =V cosαs ΩR，V是直升机前飞速度，αs是旋翼轴纵向倾角，λ是
ˆˆˆ 旋翼无量纲入流比，ΩR是旋翼桨尖速度。单位矢量(IH ,JH ,kH )是桨毂不旋转系单位矢
rr
量。旋翼入流 λ 由两部分组成， λ=μtanαs +λi
(3.3)
53

其中，μ tanαs 是前飞速度垂直于桨毂平面的分量，λi 是需要升力引起的无量纲旋翼诱导入流。当旋翼轴纵向倾角较小时，
λ≈μαs +λi (3.4)
需要指出的是，(3.2)式中的速度分量是不旋转系表达式。在计算桨叶截面气动力时，还需要通过两次坐标变换将其转化到未变形的旋转坐标系(图 2.2b)。第一次变换是从桨毂不旋转系到桨毂旋转系，表达式如下，
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ ⎪I⎪ ⎪IH ⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪
⎨J⎬=TRH⎨JH⎬ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10) (3.11) (3.12)
⎪K⎪ ⎪KH ⎪ ⎩⎭⎩⎭
其中，
第二次变换是从无预锥角的旋转系到有预锥角 β p 的未变形系，表达式为
⎡cosψ sinψ 0⎤ T = ⎢−sinψ cosψ 0⎥
RH⎢ ⎥ ⎢0 01⎥
⎣⎦
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ I
i
⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪ ˆ⎪
j=TJ ⎨⎬ UR⎨⎬
⎪ ˆ⎪ ⎪ ˆ ⎪ ⎩k⎭ ⎪K⎪
⎩⎭ ⎡cosβp
其中，
r
Vw=Vwxi+Vwy j+Vwzk 其中，Vwx 、Vwy 、Vwz 是风速分量，表达式为，
Vwx =μΩRcosψ cosβp −λΩRsinβp Vwy =−μΩRsinψ
Vwz =−μΩRcosψsinβp −λΩRcosβp
0 sinβp⎤ T=⎢010⎥
UR⎢ ⎥ ⎢−sinβ 0 cosβ ⎥
⎣pp⎦
将 3.5 式和 3.7 式代人 3.2 式，就得到风速表达式为，
ˆˆˆ
54

假设预锥角很小，因此有
sinβp ≈βp cosβp ≈1
将 3.13 式和 3.14 式代人 3.10~3.12 式，得到桨叶未变形系下的风速最终表达式， Vwx = μΩR cosψ − λΩRβ p
Vwy =−μΩRsinψ
Vwz =−μΩRcosψβp −λΩR
桨叶速度
桨叶截面相对于未变形的旋转系的速度表达式可以写成:
(3.13) (3.14)
(3.15) (3.16) (3.17)
(3.18)
(3.19)
r& r r& 点的位置矢量。该点相对于未变形坐标系的速度为 r 。 r 和 r 表达式包含了桨叶运动项，它
r
其中，
rrrr
r
&
V =r+Ω×r b
ˆˆˆ r=x1i+y1j+z1k
r
r r&=x&1i+y&1j+z&1k
ˆˆˆ ˆ
(3.20) (3.21)
Ω = ΩK
其中，x1 , y1 , z1 和 x&1 , y&1 , z&1 的定义参见 2.2.1.2 节，r 是桨毂中心到旋转变形坐标系中( ξ ,η , ζ )
ˆˆˆ 们是对桨叶截面上任意点(η,ζ )来计算的(2.2.1.2节介绍了i, j,k的推导)。Ω是旋转坐
标系的角速度，它采用如下变换，得到未变形桨叶坐标系下的表达式:
⎧ˆ⎫ ⎧ˆ⎫ I
将 3.22 式代人 3.21 式，得到， r
i
⎪⎪ ⎪ˆ⎪ ⎪ ˆ⎪
j=TJ ⎨⎬ UR⎨⎬
(3.22)
(3.23)
⎪ ˆ⎪ ⎪ ˆ ⎪ ⎩k⎭ ⎪K⎪
⎩⎭
ˆˆ Ω=Ωsinβpi +Ωcosβpk
将 3.19，3.20，3.23 式代人 3.18 式，得到， 55
r
&&&

其中，
r
ˆˆˆ
Vb =Vbxi+Vby j+Vbzk
(3.24)
Vbx =x&1−Ωy1cosβp
Vby =y&1+Ωx1cosβp−Ωz1sinβp Vbz =z&1+Ωy1sinβp
将 x1 , y1 , z1 和 x&1 , y&1 , z&1 的表达式(2.2.1.2 节)代入上述表达式中，就得到桨叶速度分量表达式:
(3.25)
& ⎡ˆ(&)
Vbx =⎢⎣u&−λTφ′− v&′+w′θ1 (ηcosθ1−ζsinθ1)
−(ω&′−v′θ )(ηsinθ +ζ cosθ )⎤−Ω(v+ηcosθ −ζ sinθ )cosβ &⎦
111 11p Vby =v&−θ1(ηsinθ1+ζcosθ1)
&
⎡ˆ′′ ′ ⎤ +Ω⎣x+u−λTφ −v (ηcosθ1 −ζ sinθ1)−w (ηsinθ1 +ζ )cosβp ⎦
−Ω(w+ηsinθ1 +ζ cosθ1)sinβp &
Vbz =ω&+θ1(ηcosθ1−ζsinθ1)+Ω(v+ηcosθ1−ζsinθ1)sinβp 其中，
ˆ θ1 =θ0 +φ
u&=u&e −12∫x(v′v&′+w′w&′)dξ 0
(3.26) 准定常气动模型中，旋翼桨叶气动载荷采用片条理论，根据桨叶截面 3/4 弦长处攻角来计算。
这就要计算 3/4 弦长处(η = η ， ζ = 0 )的来流速度分量。因此 3.25 式可以简化为: Vbx =u&− v&′+w′θ1 ηr cosθ1 − w&′−v′θ1 ηr sinθ1 −Ω(v+ηr cosθ1)
&
V =v&−θηsinθ+Ω[x+u−v′ηcosθ−w′ηsinθ−(w+ηsinθ)β⎤
(3.27)
(&)(&)
by1r1 r1r1r1p
⎦
&
V = w& + θ η c o s θ + Ω β ( v + η c o s θ )
bz 1r1pr1
在推导 3.27 式时，采用了 3.13 式和 3.14 式的小角度假设。机身运动引起的桨叶速度
稳定性分析时，软件提供了包括机身刚体运动的选项。机身运动引起桨叶的额外速度。
本版软件中，假设旋翼轴刚性。机身刚体运动所引起的桨叶速度(在变形后桨叶 3/4 弦长处 56

的P 点)可以写成， ηr
(3.28) 该点相对于直升机重心的位置矢量为rF(图2.5)。VF 是机身重心在惯性系中运动速度，wf
(3.29) (3.30) (3.31)
(3.32)
rr
r
Vf =VF +wf ×rF r
r
是机身轴绕惯性系转动的角速度。3.28 式中，各项可以写成， r(ˆˆˆ)(ˆˆˆˆ)
rF = xCGIF +yCGJF +hKF + (x+u)i+vj+wk+ηr jη
r
VF =x&FII +y&FJI +z&FKI
ˆˆˆ &ˆˆ
wf =−φsII −α&sJI
将 3.29、3.30、3.31 式代入 3.28 式可得，
r(ˆ ˆ ˆ)(&ˆ ˆ) Vf = x&FII +y&FJI +z&FKI + −φsII −α&sJI ×
⎡ˆˆˆˆˆˆˆ⎤ ⎣(x+u)i+vj+wk+ηr jη +xCGIF +yCGJF +hKF⎦
3.32 式给出的机身引起的桨叶速度可通过以下转换矩阵(参见 2.1.2 节)转化到桨叶未变形 ˆˆˆ
(3.33)
(3.34)
(3.35)
⎩k⎭
通过上述变换后，根据 2.1.3 节的阶数规则，所有阶数高于 ε 2 的项都被去掉了。假设预锥角
系(i, j,k)中，
⎧ˆ⎫ i
⎧ˆ⎫ I
⎪ˆ⎪ j=TTT
⎪I⎪ ⎪ˆ⎪
⎨ ⎬ ⎪ˆ⎪ ⎩k⎭
⎧ˆ⎫ i
UR RH HI
J
⎨ I ⎬
⎪ˆ⎪ j=TT
⎪F⎪ ⎪ˆ⎪
⎨ ⎬ ⎪ˆ⎪ ⎩k⎭
UR RH
J
⎨ F ⎬
⎧ˆ⎫ i
⎩⎭ ⎧ˆ⎫
⎪ˆ⎪
⎨ j ⎬ = TDU
⎪iξ⎪ ⎪ˆ⎪
⎨jη⎬ ⎪ˆ⎪ ⎪ˆ⎪
⎪kζ ⎪ ⎩⎭
很小(sinβp ≈βp，sinβp ≈1)。将3.33~3.35式代入3.32式得到:
r
ˆˆˆ
Vf =Vfxi+Vfy j+Vfzk
(3.36)
I
⎪ˆ⎪ ⎪KF ⎪
⎪ˆ⎪ ⎪KI ⎪
⎩⎭ ⎧ˆ⎫
57

其中，
其中，
Vfx =(x&F−hα&s)cosψ+y&F+hφs sinψ (&)
Vfy =−(x&F−hα&s)sinψ+y&F+hφs cosψ (&)
&& Vfz =z&F −φsxsinψ+α&sxcosψ+xcgα&s −ycgφs
合速度
3.1 式中，径向位置 x 处的桨叶合速度可以用未变形系单位矢量来表示:
r
ˆˆˆ
V=Uxi+Uy j+Uzk
= Vbx −Vwx +Vfx i + Vby −Vwy +Vfy j+ Vbz −Vwz +Vfz k
(3.37)
( )ˆ( )ˆ( )ˆ Ux =u&− v&′+w′θ1 ηr cosθ1 − w&′−v′θ1 ηr sinθ1 −Ω(v+ηr cosθ1)
(&)(&)
−μΩRcosψ +λΩRβp +(x&F −hα&s )cosψ cosβp + y&F +hφs sinψ cosβp
(&)
()
&
U =v&−θηsinθ+Ωx+u−v′ηcosθ−ω′ηsinθ−(ω+ηsinθ)β
y1r1r1r1r1p +μΩRsinψ −(x&F −hα&s )sinψ + y&F +hφs cosψ
(&) U = ω& + θ η c o s θ + Ω β ( v + η c o s θ )
&
z1r1pr1 &&
+μΩRβp cosψ+λΩR+z&F −φsxsinψ+α&sxcosψ+xcgα&s −ycgφs rr
其中，带有下划线的项是桨叶和来流相对于桨毂的速度( Vb 和 Vw )。其它项则是机身运动
引起的速度。
有了变形后桨叶的合速度和攻角，就可以计算截面气动载荷。因此，要将未变形系下
的速度分量转换到变形系下，
其中，
⎧UR ⎫ ⎧Ux ⎫ ⎪U⎪=T⎪U⎪
⎨T⎬ DU⎨y⎬
(3.38)
⎪U ⎪ ⎪U ⎪ ⎩P⎭ ⎩z⎭
58

⎡ v′2 ω′2 ⎤ ⎢ 1− − v′ ω′ ⎥ ⎢22 ⎥
⎢ ⎛ v′2 ⎞
TDU =⎢−(v′cosθ1 +ω′sinθ1) ⎜1− ⎟cosθ1 −v′ω′sinθ1
⎛ ω′2 ⎞⎥ sinθ1⎜1− ⎟⎥
⎢ ⎝ 2⎠
⎝ 2⎠⎥
⎢ ⎛ v′2 ⎞
⎛ ω′2 ⎞⎥ cosθ1 ⎜1− ⎟⎥
⎢ v′sinθ1 −ω′cosθ1 −⎜1− ⎟sinθ1 −v′ω′cosθ1
⎢22⎥
⎣ ⎝⎠ ⎝⎠⎦ 上式中，θ1 是总桨距角，可以写成，
ˆ θ1 =θ0 +φ
(3.39)
ˆ
其中，θ0 是刚性桨距(包括桨叶预扭转，总距和周期变距输入)，φ 是弹性扭转。将 cosθ1
ˆ 和sinθ1展开，且假设φ很小，可得:
cosθ1 =cos θ0 +φ ( ˆ)
ˆˆ =cosθ0 cosφ−sinθ0 sinφ
ˆ ≈cosθ0 −φsinθ0
sinθ1 =sin θ0 +φ ( ˆ)
ˆˆ = sinθ0 cosφ + cosθ0 sinφ
ˆ ≈sinθ0 +φcosθ0
将3.40式代入转换矩阵TDU ，得到 ⎡ v′2 ω′2
(3.40)
⎤ ⎢1−2−2 v′ ω′⎥
⎢⎥
⎢′′ˆ′′ v′ ˆ′′ ω′ˆ⎥
(
)(
)
(
)
T = −(ν cosθ +ω sinθ )+φ(v sinθ −ω cosθ ) 1− 2 cosθ −φsinθ −vω sinθ sinθ 1− 2 +φcosθ
DU⎢0 0 0 0
2
00
00
2
0
⎥
⎢ ˆ v′ ˆ ω′ˆ⎥
(
⎢0000 ⎥
) ⎣⎦
ν′sinθ −ω′cosθ +φ(v′cosθ +ω′sinθ ) − 1− 2 sinθ −v′ω′cosθ −φcosθ cosθ 1− 2 −φsinθ
0
2
采用 2.1.3 节中的阶数规则，将T 中高于ε 2 阶数的项去掉。 DU
采用 3.38 式将速度转换到变形系后，变形系中桨叶合速度可以写成:
2
其中，
r
ˆˆˆ
V =URiξ +UT jη +UPkζ
(3.41)
59
(
)
0000

R =u&−v+v′(x+μsinψ)−μcosψ 1−βpω′ +λ βp +ω′ U ()()
ΩR
−ηrcosθ0(1+v&′)+ηrsinθ0 φ−ω&′
(ˆ ) +v′v&+ω′ω&+1μcosψ(v′2 +ω′2)
(3.42)
2
+(x&F −α&sh)cosψ + y&F +φsh sinψ
(&) UT ( ˆ
ΩR=cosθ0 v&+u−ωβp +φ(λ+ω&)+v′v
+(x+μsinψ)1− 2 +μcosψ v′+φ β +ω′ (v′) (ˆ( )))
2p +sinθ0 ω&+λ+v βp +ω′ −φv&
(()ˆ
(3.43)
−(x+μsinψ) v′ω′+φ +μcosψ ω′+β −φv′
( ˆ) ( ˆ))
p
−(x&F −α&sh)sinψ cosθ0 + y&F +φsh cosψ cosθ0
(&)
+sinθ0 z&F −φsxsinψ+α&sxcosψ+xcgα&s −ycgφs
(&&) ΩR =cosθ0 ω&+λ+βpv+vω′+μcosψ βp +ω′−φv′
UP ( (ˆ) −(x+μsinψ) v′ω′+φ +sinθ0 −(v&+μ)−vv′+ωβp
( ˆ)) (
−φ(ω&+λ)−μcosψ v′+φ β +ω′ −(x+μsinψ)1− 2
ˆ (ˆ())(v′))
p
2
(3.44)
(& ˆ &)
+ηr θ +φ+ω′+β 0p
&)) +cosθ0 z&F−φsxsinψ+xα&scosψ+xcgα&s−ycgφs
+sinθ0 ((x& −α& h)sinψ −(y& +φh cosψ
其它项则是机身运动引起的速度。
3.1.2 准定常气动载荷表达式
Fs
F
(&&) 和前面一样，在上述表达式中，带有下划线的项是桨叶和来流相对于桨毂的速度(Vr 和Vr )。
一旦桨叶变形后坐标系下的来流速度确定后，就可以采用二维片条理论确定桨叶上的
气动载荷。
旋转变形后坐标系中的桨叶气动载荷可以直接写成:
(L) =1ρV2cC
C
(3.45)
bw
2
l
60

以写成:
(D) =1ρV2cC
C
d
(3.46)
C
2
(M) =1ρV2c2C
(3.47) 其中，上划线表示力和力矩是在变形后坐标系，下标 C 表示是环量力(非环量后面用下标 NC 表示)。V 是来流速度，Cl , Cd , Cm 分别是截面升力、阻力和俯仰力矩系数。气动系数可
2
C =c +cα l01
m
C =d +d α+dα2 d012
C=f+fα=c +fα m 0 1 mac 1
(3.48)
(3.49)
(3.50)
其中，c0是零攻角升力系数，c1是升力线斜率，d0是粘性阻力系数，f0或cmac 是绕气动中
心的零攻角俯仰力矩系数，d1 、d2 和 f 是额外的阻力和力矩系数。上述表达式只在不可压
附着流条件下适用。压缩性效应是通过对升力线斜率进行修正实现的，
c =c1M=0
1
(3.51)
β 其中， β 是 Prandtl-Glauert 系数:
β= 1−M2
Prandtl-Glauert 修正系数只适用于低马赫数( M ≤ 0.9 )的情况，这正是旋翼工作范围[5]。
如图 3.2 所示，桨叶截面上对于弹性轴的法向力、弦向力、轴向力和力矩表达式为:
(Lw) =(L) cosα+(D) sinα CCC
(Lv) =(L) sinα−(D) cosα CCC
(Lu ) =−(D) sinΛ CC
CCC C 绕变形后的弹性轴的弯矩，Λ 是速度的桨叶上的径向速度分量U R 引起的轴向偏角，ed 是气
动中心在弹性轴之后的距离。
(3.53)
(3.54)
(3.55)
(3.56)
CCC
其中，(Lu ) ，(Lv ) ，(Lw ) 是沿桨叶变形后的弹性轴(ξ,η,ζ )的外载荷，(Mφ ) 是
(3.52)
(M φ ) = (M ac ) − e (Lω ) d
ˆ
61
ˆ

(a)变形后坐标系
(b)未变形坐标系
图 3.2 桨叶截面气动力注意，所有的力、力矩、速度都采用 2.1.3 节的规则进行了无量纲化。二维截面的升
力 L 和阻力 D 都除以 m Ω2 R2 来无量纲化。二维截面的力矩 M 则除以 m Ω2 R3 来无量纲化。 00
无量纲合速度V 是将合速度V 除以桨尖速度 ΩR 得到的。这里引入无量纲量——洛克数 γ =ρacR4 I ，以及桨叶惯性矩I =m R3 3。这样3.45~3.47式中的L，D，M可以写
bb0 成如下无量纲形式:
() γV2
L C = 6a Cl
() γV2
D C = 6a Cd
(Mac) =γV2cCm C 6aR
类似地，可以得到变形后坐标系下的无量纲气动力和力矩:
( ) γV2
Lω C = 6a (Cl cosα+Cd sinα)
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60)
62

( ) γV2
Lv C = 6a (Cl sinα−Cd cosα)
( ) γV2
Lu C = 6a (−Cd sinΛ)
(Mφ) =γV2 ⎛cC ⎞−(e (Lω)) ˆ 6a⎜Rm⎟ d
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64) (3.65)
(3.66) (3.67) (3.68)
(3.69) (3.70) (3.71)
C⎝⎠C
将 3.48~3.50 式中 Cl 、 Cd 和 Cm 表达式代入 3.57~3.63 式，并采用如下假设:
最后得到:
sinα ≈α cosα ≈1
V ≈UT α≈−UP /UT sinΛ≈UR /UT
C
(Lw) = γ (cU2 −(c +d )U U +d U U )
0T10TP1PP (Lv)=γ(−dU2−(cU −dU )U +(c−d)U2)
C
6a 6a
0T0P1PT12P (Lu ) = γ (−d0URUT )
C 6a
(Mφ)=γ⎛c(c (U2+U2)−fUU)⎞−(e(Lω))
(3.72) 采用如下正交坐标变换(T−1 =TT )将上述载荷从变形后坐标系转化到未变形坐标系，
ˆ⎜mTP1TP⎟d C6a⎝Rac ⎠C
DU DU
⎧(Lu ) ⎫ ⎪uC⎪⎪C⎪
⎧(LA ) ⎫ ⎪⎪T⎪⎪
)⎬ DU ⎨()⎬
⎨(LA =(T ) Lv
(3.73)
(3.74)
v ⎩wC⎭⎩C⎭
⎪C⎪⎪C⎪
⎪(LA ) ⎪ ⎪ Lw ⎪
(M A ) ≈ (M φ ) ˆˆ
()
此外还有，
φCC
63

当考虑反流和马赫数扰动的影响时，上述环量升力和力矩表达式就需要修改。下面进行介绍。
反流
前飞时，后行桨叶内侧部分会出现反流。这是由于前飞速度分量变得很大，并超过了
旋转引起的速度分量造成的。反流导致翼型的气动中心从x 移到c −x 处。因此，对于反 ac R ac
流情况(UT < 0)，前面的推导需要做以下修正: c eR =e +R (3.75) (3.76) (3.77) (3.78) (3.79) (3.80) (3.81) dd 2 c ηR =x −R −e r ac 4 d 式中，下标 R 表示反流状态。注意，在反流区，UT 是负值。马赫数扰动作用在桨叶上的升力是翼型攻角和局部马赫数的函数: 升力扰动可以写成其中， Cl =Cl (α,M) ΔC = ∂Cl Δα + ∂Cl ΔM l ∂α ∂M α = −UP UT Δα=UPΔUT −UTΔUP U2 T M=MtipV≈M UT V tip ΩR tip 式中的Prandtl-Glauert模型，将Cl 对攻角α和马赫数M求导，可得: ∂Cl = c1 |M =0 ΔM =M ΔV ≈M ΔUT tip ΩR tip ΩR (3.82) 上面表达式中，符号Δ是一个类似于求导的算子，它给出作用量的扰动值。假设采用 3.51 ∂α 1−M2 64 (3.83) ∂Cl =−1c | α 1−M2 ∂M 21M=0 采用上述表达式来推出升力和力矩表达式，就得到 3.69 和 3.70 式的修正形式: (Lw) = γ (cU2 −(c +d )U U +dU2+c M U (U2 +U2)) (3.84) (3.85) (Lv ) = γ (−d U2 −(c −d )U U +(c −d )U2 −c M U (U2 +U2 ))(3.86) C 6a 6a 0 T 1 0 T P 1 P 2 tip T TP C 0 T 0 1 T P 1 2 P 2 tip P TP 其中， c =−1α 1−M2c | (3.87) 2 2 1M=0 上述表达式中，带下划线的项显示了马赫数扰动的影响。马赫数扰动会影响桨叶力(Lw )和 (Lv ) ，因为这些项与升力Cl 直接相关。(Lu ) 没有变化是因为它与升力无关。由于俯仰 CC ˆ 力矩(M φ ) 与(Lw )相关，因此它也会间接变化。 C 如果从实验数据中可以找到翼型升力系数随马赫数的变化，且可以写成现成的表格形式，那么就可以利用查表法，通过差分近似直接计算 ∂ Cl ∂M 。非环量气动载荷作用在桨叶上的气动载荷可以分成两类:环量和非环量。前文介绍了环量部分的推导这里介绍非环量载荷(也叫做表观力或虚力)的推导。由于桨叶截面处于运动中，因此气动力除了环量部分外，还有非环量部分。对于作沉浮h和俯仰α运动的翼型，非环量升力和俯仰力矩可以表示成[6]: A22 L = ρ π b h − a b α& & + ρ π b U α& () (&& ) ω NC h = L2 + L3 (3.88) (3.89) (3.90) (3.91) (3.92) (3.93) (MA) =abL−⎛1−a⎞bL−ρπb4α&& h2⎜h⎟3 ⎝2⎠8 U =ΩR(x+μsinψ) ahb=ed +c 4 && h = − w& & && && && ˆ α& & = θ 1 = θ 0 + φ ˆ 其中， φ NC 65 & &&ˆ α& =θ1 =θ0 +φ (3.94) b = 2c ( 3 . 9 5 ) 式中，U 是切向来流速度， ahb 是翼型中点到弹性轴的距离(在后方为正)， h&&是沉浮加速度(向下为正)， α&& 是俯仰角加速度(抬头为正)， α& 是俯仰角速度， b 是翼型半弦长。非环量升力的 L2 分量作用在弦长中点， L3 分量作用在弦长 3/4 处。此外，还假设非环量气动载荷直接作用在变形后的桨叶截面上。将 3.90~3.95 式代入 3.88 和 3.89 式，得到 1 ⎛ ⎛c ⎞&& &⎞ LA = ρπc2 −w&&+ +e θ +ΩR(x+μsinψ)θ () (3.96) (3.97) (3.98) (3.99) (3.100) (3.101) (3.102) (3.103) w4⎜⎜4d⎟1 1⎟ NC ⎝⎝⎠ ⎠ ( 1 ⎛⎛c ⎞ ⎛c ⎞2 M A ) = ρ π c 2 ⎜ ⎜ + e d ⎟ w& & − ⎜ + e d ⎟ ˆ φ NC 4 ⎝⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ 2 ⎛c⎞ cθ⎞ −ΩR⎜2+ed ⎟(x+μsinψ)θ− 32 ⎟ ⎝⎠⎠ && &1 对非环量气动载荷无量纲化，得到， (LA) c &&c ω γπ⎛w+e&& &⎞ NC= R −+4 dθ+(x+μsinψ)θ mΩ2R 12a⎜ R R 1 1⎟ 0⎝⎠ (MA)cc c2 φ γ π ⎛ + e w& & ⎛ + e ⎞ NC = R 4 d − 4 d θ ˆ && mΩ2R2 12a⎜ R R ⎜ R ⎟ 1 0⎝⎝⎠ c+e c2 1 ⎞ 2d &&& − R (x+μsinψ)θ1−R2 32θ1⎟ ⎠ 上述载荷再与环量部分相加，得到作用在桨叶截面上的总的气动载荷: LA =(LA)+(LA) ω ωC ωNC LA =(LA) vvC LA =(LA) uuC BMA =(MA) +(MA) ˆ ˆ ˆ φ φC φNC 上述载荷与桨叶运动、机身运动、桨距操纵、诱导入流 λi 和前飞速度 μ 有关。 66 3.1.3 有限元离散采用 Hamilton 原理推导有限元方程时，需要用到气动力的虚功表达式。对于用旋翼- 机身模型表示的直升机来说，虚功表达式可以写成: Nb δW =∑(δW )m +δW m=1 其中，(δWb )m 是作用在第 m 片桨叶上的虚功，δWF 是机身上的虚功。作用在第 m 片桨叶上的虚功可以写成 δW = b 其中， LA , LA , LA 是作用在桨叶未变形坐标系上的分布气动载荷， M A 是绕未变形弹性轴的 uvw ˆ 截面气动俯仰力矩。上标A表示气动载荷，用于与第4章中的惯性载荷(上标I)加以区分。机身上的外力虚功可以写成: 0 bF (3.104) (3.105) LAδu+LAδv+LAδw+MAδφ dx ∫R( ˆ) 0 uvωˆ φ δW =∫R(FAδx +FAδy +FAδz −MAδα −MAδφ )dx (3.106) 其中，FA,FA,FA是机身上的气动力，MA ,MA分别是绕直升机重心的气动俯仰和滚转力矩。力矩项前面的负号含义如下:软件中规定αs 低头为正，φs 为前行侧桨盘向下为正。在计算力矩叉乘时，αs 和φs 的正方向与上述定义相反，这是为了遵守矢量相乘中的右手定则。机身上的气动力通常有两个来源。第一个来源是主桨。主桨上每片桨叶的气动载荷通过桨毂传到机身。另外，作用在机身上的气动力也对外力虚功有贡献。例如，机身上的气动力包括机身阻力、机身升力、平尾升力。本版软件忽略了机身上的气动力对系统动力学特性的影响。不过，在配平分析中包括了所有外力。第 4 章配平分析中，就考虑了机身气动力的影响。 xFyFzFαsφs ss F x y z αs φs 为了简化有限元离散的介绍，定义以下向量: LA =⎢LA LA LA LA⎥T ⎣uvwˆ⎦ (3.107) (3.108) (3.109) (3.110) φ ⎢ ˆ⎥T u=⎣u v w φ⎦ FA =⎢FA FA FA MA MA⎥T F ⎣x y z αs φs⎦ x=⎢x y z α φ⎥T F⎣FFFss⎦ 67 φ λ=⎢λ λ λ ⎥T (3.111) ⎣ 0 1c 1s ⎦ 其中，LA和FFA分别是作用在桨叶和机身上的气动力向量，u、xF 和λ分别是桨叶、机身和入流自由度。采用 3.107~3.110 式，3.105 和 3.106 式分别给出的桨叶和机身上的虚功可以写成如下符号形式: 气动力可以写成: δW =∫RδuTLAdr (3.112) (3.113) b δW =∫RδxTFAdr 0 F0FF LA =γ⎡(LA)+(LA)+(LA) +(LA)+(LA) +(LA) ⎤ (3.114) 6⎣0 q xF λ q2 qxF⎥ (3.115) 桨叶项和双线性桨叶-机身项。机身载荷FA 代表了桨叶气动载荷对总的机身载荷的贡献。机 Fb 身载荷FA 是机身上的直接气动载荷对总的机身载荷的贡献，在本版软件中被忽略。 FF 3.1.4 桨叶方程的有限元离散 3.114 式中的线性项可以写成: ( L A ) + ( L A ) + ( L A ) = A u + A u ′ + A u& + A u& & + A x + A x& + A λ ( 3 . 1 1 6 ) (3.117) (3.118) (3.119) ⎦ 其中，下标0,q,x ,λ,q2分别代表常数项、桨叶线性项，机身线性项，线性入流项，非线性 F FA =FA +FA F Fb FF u u′ u& u&& xF F x&F F λ 位移向量u被离散成空间型函数Hs 和节点自由度q的函数: q xF λ u = Hsq u′ = Hs 'q u& = Hsq& 其中，空间型函数矩阵定义如下: 68 节点自由度向量定义如下: ⎡Hu 0 0 0⎤ ⎢0H00⎥ H=⎢ ⎥ s⎢00H0⎥ (3.120) ⎢000H⎥ ⎢φ⎥ ⎣ˆ⎦ ⎢ ˆˆˆ⎥ qT=⎣u u u u v v' v v' w w' w w' φ φ φ⎦(3.121) 123411221122123 2.3.1 节给出了各种空间型函数的具体表达式。下面就可以得到桨叶虚功的离散表达式: δWb = ∑ i=1 [δW ]i b (3.122) Ne 下面就是推导每个单元的虚功表达式。首先将 2.117~3.119 式代人 3.116 式。然后将 3.116 式代人 3.114 式。接下去再将 3.114 式代人 3.112 式。经过上述三步后，得到第 i 个桨叶单元的虚功方程: 其中， [δW]=δqT(⎡MA⎤q&&+⎡CA⎤q&+⎡KA⎤q+⎡CA ⎤x& +⎡KA ⎤x b i ⎣ b ⎦i ⎣ b ⎦i ⎣ b ⎦i ⎣ bF ⎦i F ⎣ bF ⎦i A⎡A⎤⎡A⎤⎡A⎤⎞ F (3.123) (3.124) (3.126) (3.127) (3.128) (3.129) (3.130) (3.131) (3.132) +⎡K ⎤ λ+ (Q ) + (Q ) + (Q ) ⎟ds ⎣⎦i ⎣0⎦⎢q⎥⎢qx⎥ bλ bi⎣b2⎦i⎣bF i⎠ ⎡MA⎤ =γl∫1HTAHds ⎣b⎦i 6i0 s u&&s ⎡CA ⎤=γl∫1HTA ds ⎣bF⎦i 6i0 s x&F ⎡KA ⎤=γl∫1HTA ds ⎣bF⎦i 6i0 s xF ⎡KA ⎤=γl∫1HTAds ⎣bλ⎦i 6i0 s λ F ⎦ ⎣ ⎦ γ ∫1 ⎡KA⎤= l HTAH+HTAH ds ⎡CA ⎤ = l H T A H ds b i 6 i 0 s u& s (3.125) γ ∫1( ⎣b⎦i6i0sus su′s ′) ⎡(QA)⎤ =γl∫1HT (LA)ds s ⎣b0⎦i 6i0 0 ⎡(QA) ⎤ =γl∫1HT (LA) ds s2 ⎢q⎥0q ⎣ b 2⎦i 6i ⎡⎣ ( Q A ) ⎤⎦ = γ l ∫ 1 H T ( L A ) d s s ⎢bFqx⎥i 6i0 qx F F 在上述表达式中， γ 是洛克数， l 是第 i 个单元的长度。载荷向量的常数项 ⎡(Q A ) ⎤ 用于 i ⎣ b 0⎦i 69 响应分析。载荷向量的非线性项 ⎡(Q A ) ⎤ 和 ⎡(Q A ) ⎤ 被在配平点进行线化(3.2 节)，它可以写成如下符号形式: 其中， ⎡ cosψ −βpαs ⎢ sinψ+βφ −sinψ cosψ −βp cosψ −αs 0 −β sinψ+φ 0 ⎤ FL ⎪FA ⎪ ⎧Lu ⎫ ⎪y⎪ ⎪A⎪ ⎪FA⎪=T⎪Lv⎪ ⎨z ⎬ FL⎨LA⎬ (3.133) (3.134) ⎪MA ⎪ ⎪ω⎪ ⎪αs⎪ ⎪MA⎪ A ⎩φ⎭ ⎪M ⎪ ⎩ ⎭ ˆ φ s FA =T LA F FL ⎢ q ⎥ ⎢ qx ⎥ ⎣b2⎦i⎣bF i F 正如前文所述，桨叶气动力 LA 会通过主桨桨毂传递到机身。桨叶力对机身气动力的贡献可以写成: 然后并入到刚度和阻尼项中。 3.1.5 机身方程的有限元离散 ⎧FA⎫ xA ⎥ ⎢psps⎥ (T )= ⎢ βp +αs cosψ −φs sinψ −αs sinψ −φs cosψ 1−αsβp cosψ +φsβp sinψ 0 ⎥ FL ⎢−x β +(w+h)cosψ +vβ sinψ (−ω−h)sinψ −(x+μ)β sinψ vsinψ −(x+u)cosψ −hβ cosψ −x (1−β wω)sinψ +v′cosψ⎥ ⎢cgpp p pcgp⎥ ⎢⎥ ⎢βp cosψv+βpycg −(h+w)sinψ (−ω−h)cosψ−(μ+x)βp vcosψ+ycg +(u+x−βph)sinψ (1−βpwω)cosψ−v′sinψ⎥ ⎣⎦ 是机身-桨叶转换矩阵，它反映了桨叶力对机身的影响。矩阵T 的推导在未变形桨叶坐标系中，桨叶气动力可以表示为: ˆˆˆ LAi +LA j+LAk uvω (3.135) (3.136) 根据 3.34 式，3.135 式中桨叶力的分量可以用桨毂不旋转坐标系表示: ⎧FA⎫ ⎧LA ⎫ ⎪x⎪ ⎪u⎪ FA =TT LA ⎨y⎬ UH⎨v⎬ ⎪FA⎪ ⎪LA ⎪ ⎩z⎭ ⎩ω⎭ 桨叶运动引起的机身力可以用 3.136 式转换到机身坐标系中， 70 ⎦ F A = LA cosψ − LA sinψ − β LA cosψ xFuvpw F A = LA sinψ + LA cosψ − β LA sinψ yFuvpw FA =LAβ +LA zFupw (3.137) 下标 F 表示方程是在机身坐标系，然后将上述表达式转换到惯性系。注意，稳定性分析是在惯性系中进行，因此，所有与稳定性有关的导数最后都必须转换到惯性系中。采用 2.1.1 节中定义的转换矩阵T 来得到惯性系下的机身力: HI FA =LAcosψ−LAsinψ−βLAcosψ−(βL+L)α FA =LAsinψ+LAcosψ−βLAsinψ+(βL+L)φ yIuvpwpuws FA =LAβ+LA+(LAcosψ−LAsinψ−βLAcosψ)α zIupwuvpws xIu v pw puws AAA −(L sinψ +L cosψ −β L sinψ)φ (3.138) 式中，带下划线的项来自机身坐标系到惯性系的变换。下标 I 表示机身力是在惯性系。为了方便，下面将下标省去。 uvpws 变形后旋转桨叶坐标系中，气动力矩为 Aˆ M ˆ iξ (3.139) (3.140) (3.141) 桨叶引起的机身力矩来源有两个:1)桨叶力矩，2)桨叶力 LA , LA , LA 和直升机重心到桨叶上力的作用点 P 的力臂 r (图 2.5)。总力矩表达式为: φ 采用 3.35 式，将上式中的力矩转换到变形后坐标系: ⎧MA⎫ ⎧MA⎫⎧MA⎫ φu ⎪φ⎪φ ⎪ˆ⎪ˆ⎪ˆ⎪ ⎪MA⎪=TT⎪0⎪=⎪v′MA⎪ ⎨ ˆ ⎬ DU ⎨ ⎬ ⎨ ˆ ⎬ ⎪φv⎪ ⎪0⎪⎪φ⎪ M A wωM A ⎪φˆw⎪ ⎪⎩⎪⎭⎪ φˆ⎪ ⎩⎭⎩⎭ 直升机重心到桨叶上力的作用点的位置矢量可以写成: r 其中， ˆˆˆˆˆˆ rF =(x+u)i+vj+wk+xcgIH +ycgJH +hKH ˆ ˆ ˆr(ˆ ˆ ˆ) MAi+MA j+MA k+r × LAi+LA j+LAk (3.142) 将 3.140 和 3.141 式代人 3.142，然后利用 3.34 式给出的变换关系，就得到机身力矩为: ˆˆˆF φu φv φw uvw ˆˆ MAI +MAJ φsH αsH (3.143) 71 uvw MA =⎡(−w−h)sinψ+β cosψv+y β ⎤LA φs⎣ p cgp⎦u +⎡(−w−h)cosψ−(u+x)β cosψ⎤LA ⎣p⎦v +⎡vcosψ+(u+x−β h)sinψ+y ⎤LA ⎣ p cg⎦w +⎡(1−β wω)cosψ−v′sinψ⎤MA pˆ ⎣⎦φ MA =⎡(w+h)cosψ+vβ sinψ−x β ⎤LA φs⎣ p cgp⎦u +⎡(−−h−(x+u)β )sinψ⎤LA ⎣p⎦v +⎡vsinψ−(u+x+β h)cosψ−x ⎤LA ⎣ p cg⎦w + ⎡(1− β wω)sinψ + v′cosψ ⎤ M A pˆ ⎣⎦φ (3.144) (3.145) 3.145 式中的机身力矩是在机身坐标系。这里并没有将力矩转换到惯性系，因为偏航力矩 ˆˆ ( KH 分量)很小，所以被忽略。可是，力的分量( Lw KH )却很大，因此必须进行转换。将3.138、3.144、3.145式写成矩阵形式，就得到3.133式中的T 矩阵。 3.1.6 机身-桨叶矩阵 T 矩阵包含常数项，桨叶线性项和机身线性项， TFL = (TFL )0 + (TFL )q + (TFL )xF 将 3.114 和 3.146 式代人 3.134 式，可得: FL 其中， FA =(FA ) +(FA ) +(FA ) +(FA ) +(FA ) +(FA ) Fb Fb 0 Fb q Fb xF Fb λ Fb q2 Fb qxF FA =(FA ) FF FF0 (FA)=(T )(LA) Fb 0 FL 0 0 (FA)=(T )(LA)+(T )(LA) Fbq FL0 q FLq 0 (FA ) =(T )(LA) +(T )(LA) Fb q2 FL 0 q2 FL q q (FA) =(T)(LA)+(T)(LA) Fb qxF FL q xF FL 0 qxF (FA ) =(T )(LA) +(T ) (LA) Fb xF FL 0 xF FL xF 0 72 FL (3.146) (3.147) (3.148) (3.149) (3.150) (3.151) (3.152) (3.153) (FA)=(T )(LA) Fb λ FL 0 λ 线性项(FA )可以写成(3.2节)， Fb q ( F A ) = B u + B u& + B ′ u ′ + B λ + B x + B x& Fbq u u& u λ xFF x&FF 将 3.147 式代人 3.113 式，然后将机身虚功离散化，得到 Ne 其中，另有， (3.154) (3.155) (3.156) (3.157) (3.158) (3.159) (3.160) (3.161) (3.162) (3.163) (3.164) (3.165) ∑ i=1 δWF= [δW] F i [ δ W ] = δ x T ( ⎡ C A ⎤ q& + ⎡ K A ⎤ q + ⎡ K A ⎤ λ + ⎡ C A ⎤ x& F i F ⎣ Fb⎦i ⎣ Fb⎦i ⎣ Fλ⎦i ⎣ FF⎦i F A⎡A⎤⎡A⎤⎡A⎤⎞ +⎡K ⎤ x + (Q ) + (Q ) + (Q ) ⎟ ⎣⎦i ⎣0⎦⎣0⎦⎢qx⎥ FF F Fb i Fb q ⎣ Fb 2 F ⎦ i⎠ ⎡CA ⎤=γl∫1BHds ⎣Fb⎦i 6i0u&s ⎡ C A ⎤ = γ l ∫ 1 B x& d s ⎣FF⎦i 6i0 F ⎡KA ⎤=γl∫1Bxds ⎣FF⎦i 6i0 F ⎡KA ⎤=γl∫1Bds ⎣Fλ⎦i 6i0λ γ ∫1( ⎣Fb⎦i6i0us u′s ′) ⎡KA⎤=l BH+BHds ⎡(QA )⎤=γl∫1(FA)ds Fb ⎣Fb0⎦i6i0 0 ⎡(QA )⎤=γl∫1(FA)ds ⎣Fb2⎦i6i Fbq2 ⎢q⎥0 F ⎡⎣ ( Q A ) ⎤⎦ = γ l ∫ 1 ( F A ) d s ⎢Fbqx⎥i 6i0 Fbqx F 注意，机身自由度只在稳定性分析中被考虑。此外，稳定性分析只处理直升机配平条件下的 ⎤⎦ 如果只考虑线性项，就得到质量、阻尼、刚度矩阵。对于第 i 个桨叶单元，力向量 Q 可以写成， ⎤ 。载荷矩阵非线性项 ⎡(Q A ) 则相对于配平状态进行线化，然后得到对刚度和阻尼的贡献(3.2 节)。 3.1.7 非线性力 ⎤ 和 ⎡(Q A ) Fbi ⎣Fb2⎦i⎣Fb i 扰动。因此，忽略载荷矩阵常数项 ⎡(Q A ) ⎣ 0⎦ ⎢ q⎥⎢ qx⎥ 73 F [Q] =[Q0 ] +[QNL ] (3.166) iii 其中，Q0 和QNL 分别是单元力向量的常数部分和非线性部分。采用一阶 Taylor 级数对非线性气动力项进行线化， [Q ] =[Q ] | +∂[QNL]i q+∂[QNL]i x +∂[QNL]i q&+∂[QNL]i x& NLi NLiq0 ∂q ∂xF ∂q& ∂x&F 线化是关于直升机配平状态进行的。3.2 节给出了非线性刚度和阻尼矩阵。 3.1.8 机身气动力模型 (3.167) σa⎡θ()θ λ⎤ CT = tr tr ⎢ 75tr 1+μ2 − tωtr μ2 − tr ⎥ tr 2⎣3 8 2⎦ 假设尾桨均匀入流。入流表达式可以写成: (3.168) F 处理主桨以外，直升机上的气动力和力矩来源还包括尾桨、平尾和垂尾，机身本身(即机身阻力和俯仰力矩)。下面介绍上述额外的力是如何模拟的。尾桨也是采用叶素理论来模拟。忽略周期挥舞，且只考虑总距输入。最终表达式将尾桨总距和尾桨推力联系起来。假设尾桨桨叶刚性，采用线性扭转，采用各向同性材料，以及对称翼型。基于上述假设，尾桨拉力系数可以写成: λ = CTtr (3.169) 前飞时，采用 Newton-Raphson 算法通过迭代求解尾桨入流和拉力。当算出尾桨拉力系数后， tr 对其无量纲化，可得: μ2 +λ 2 tr T tr ⎛Ω ⎞2⎛γ ⎞⎛N ⎞⎛R ⎞4 =C ⎜ tr⎟⎜ ⎟⎜ b⎟⎜ tr⎟ (3.170) Ttr ⎝Ω⎠⎝3a⎠⎝σ⎠⎝R⎠ m0Ω2R2 在耦合配平过程中，上述表达式还被用于计算尾桨产生的侧向力、偏航力矩、滚转力矩(见第4章)。平尾对于直升机前飞配平状态的确定非常重要。对稳定性来说，平尾会影响直升机机体纵向模态。软件中，将平尾模拟成具有弯度的倒过来的升力面。平尾上的升力(向下为正) 可以写成: L =1ρV2S (c +c α ) (3.171) ht 2 ht 0ht 1ht ht 74 无量纲化后得到 Lht mΩ2R2 =γμ2⎛Sht ⎞⎛Nb⎞(c +cα) 6a ⎜πR2⎟⎜σ⎟ 0ht 1ht ht (3.172) ( 3 . 1 7 3 ) ⎝ ⎠⎝ ⎠ 这里假设平尾平行于机身纵轴，因此，平尾攻角αht 可以写成: 0 α h t = α s + z& F + l h t α& s μΩR μΩR 平尾位于全机重心后方lht 处。因此平尾产生的俯仰力矩(抬头为正)为: Mht =lhtLht 平尾升力(及其对全机重心的俯仰力矩)也对机身上的虚功有贡献。这里忽略了平尾的阻力和气动俯仰力矩。垂尾的影响也未考虑。机体上的压力分布产生阻力、俯仰力矩、滚转力矩和侧向力。软件中，这些里采用以下模型: D =1ρV2f 2 (3.174a) (3.174b) (3.174c) (3.174d) (3.174e) (3.174f) (3.174g) (3.174h) Y =1ρV2πR2C F 2 yF M =1ρV2πR3C xF 2 mxF M =1ρV2πR3C yF 2 myF (3.174) F 无量纲化后，可得: D F= ⎛γN⎞⎛ f ⎞⎛μ2⎞ b m Ω2R2 0 ⎜3σa⎟⎜πR2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ Y F= ⎛γN⎞⎛μ2⎞ b C m Ω2R2 0 ⎜3σa⎟⎜2⎟ ⎝⎠⎝⎠ yF M m Ω2R3 ⎛γN⎞⎛μ2⎞ b xF = 0 C 2 3=⎜ b⎟⎜ ⎟CmyF ⎜3σa⎟⎜2⎟ ⎝⎠⎝⎠ mxF ⎛γN ⎞⎛μ2 ⎞ m0Ω R ⎝3σa⎠⎝ 2 ⎠ MyF 75 3.2 准定常气动模型的实现从前面各节介绍可以看出，即使是最简单的准定常气动模型都有非常复杂的表达式。旋翼桨叶(挥舞、摆振、扭转和轴向)运动和机身运动在整个动力学系统中引起了复杂的与运动有关的非线性力。软件采用了一种有效的方法来处理这一复杂问题。准定常气动模型的代码是在 SUBROUTINE AEROMX 中。该子程序计算气动质量、阻尼和刚度矩阵，以及力向量。3.3 节详细介绍了 AEROMX。下面几个小节与理论部分是并行的。它们主要说明了如何将理论转化为代码。 3.2.1 桨叶速度的实现软件中，无量纲速度分量 U R , UT , U P 分别被称为 UR、UT、UP。这些速度分量的长的 ΩR ΩR ΩR 表达式并没有被直接写成 AEROMX 中的代码。实际上，它们被分解成常数项、线性项和非线性项，以方便处理。根据对桨叶位移q、机身位移xF 和入流λ的依赖关系，线性项被集中起来。非线性项是由于桨叶运动q2 、机身位移x2F 、入流λ2 、桨叶-机身项qxF 、桨叶- 入流项 qλ 引起的。在前面小节对理论的介绍中，对桨叶、机身、入流自由度定义如下: ⎢ ′ ′ ′ ′ˆˆˆ⎥T qTe =⎣u1 u2 u3 u4 v1 v1 x =⎢x y z α φ⎥T v2 v2 ω1 ω1 ω2 ω2 φ1 φ2 φ3⎦ (3.175) (3.176) (3.177) F⎣FFFss⎦ λ=⎢λ λ λ ⎥T ⎣ 0 1c 1s ⎦ 前面曾指出，桨叶速度UP 、UT 、UR 可以写成常数项、线性项和非线性项的叠加。例如，UT 一般可以写成: UT =TC+(TU u+TV v+K+TLS λ1s)+(TN1vw'+K+TNL3 λ φ 1s 其中，TC是常数项，TU,TV,TLS是与线性位移项有关的系数，TN1 ,K,TNL3是与非线性位移项有关的系数。表 3.1 给出了速度分量U P 、UT 、U R 中各个系数在程序中的标示符。 76 ˆ) 表 3.1 速度分量表达式中的相关系数在程序中的标示符变量/项 UT UP UR 常数项线性项 u v w φ ˆ v′ w' v& w& w& ' αs x&F y&F z&F α& s φ&s λo & ˆ φ ν&′ λ 1c λ 1s 非线性项 vw' ˆ v&φ vv′ w&φ ˆ v′φ w'φ v′v′ v′w' αsφ ˆ λoφ ˆ λ1cφ ˆ λ1sφ ˆ ˆ ˆ TC PC RC TU PU RU TV PV RV TW PW RW TP PP RP TVP PVP RVP TWP PWP RWP TVD PVD RVD TWD PWD RWD TPD PPD RPD TVDP PVDP RVDP TWDP PWDP RWDP TAS PAS RAS TXFD PXFD RXFD TYFD PYFD RYFD TZFD PZFD RZFD TASD PASD RASD TPSD PPSD RPSD TLO PLO RLO TLC PLC RLC TLS PLS RLS TN1 PN1 0 TN2 PN2 0 TN3 PN3 0 TN4 PN4 0 TN5 PN5 0 TN6 PN6 0 TN7 PN7 0 TN8 PN8 0 TNF1 PNF1 0 TNL1 PNL1 0 TNL2 PNL2 0 TNL3 PNL3 0 77 表 3.1 中的系数来自 3.44 式，它们表达式如下: 出现在UT 中的系数: 常数项 TC=(λi +μβp cosψ)sinθ+(x+μsinψ)cosθ 线性项 TU=cosθ TV=βpsinθ TW= −βp cosθ TP=−(x+μsinψ)sinθ+(λi +μβp cosψ)cosθ TVP = μ cosψ cosθ TWP = μ cosψ sinθ TVD = cosθ TWD = sinθ TPD = 0 TVDP = 0 TWDP = 0 TAS = μ sinθ TXFD = −sinψ cosθ TYFD = cosψ cosθ TZFD = sinθ TASD = hcosθ sinψ + xcosψ sinθ + XCG sinθ TPSD=hcosθcosψ−xsinψsinθ−YCG sinθ TLO = sinθ TLC = xsinθ cosψ TLS = xsinθ sinψ 非线性项 78 TN1=sinθ TN2=−sinθ TN3=cosθ TN4=cosθ TN5 = −μ cosψ sinθ TN 6 = μ cosψ cosθ TN7 = − 1 (x + μ sinψ )cosθ 2 TN8 = −(x + μ sinψ )sinθ TNF1 = μ cosθ TNL1=cosθ TNL2 = x cosθ cosψ TNL3 = x cosθ cosψ 出现在UP 中的系数: 常数项 PC= λi +μβp cosψ cosθ−(x+μsinψ)sinθ+ηr θ+βp +μcosψθtw ()(&) 线性项 PU =−sinθ PV =βp cosθ PW =βp sinθ PP=−(x+μsinψ)cosθ−(λi +μβp cosψ)sinθ PVP = −μ cosψ sinθ PWP = μ cosψ cosθ +ηr PVD = −sinθ PWD = cosθ PPD =ηr PVDP = 0 PWDP = 0 PAS = μ cosθ PXFD = sinθ sinψ PYFD = −sinθ cosψ PZFD = cosθ PASD = −hsinθ sinψ + xcosψ cosθ + XCG cosθ PPSD = −hsinθ cosψ − xsinψ cosθ −YCG cosθ 79 PLO = cosθ PLC = x cosθ cosψ PLS = x cosθ sinψ 非线性项 PN1=cosθ PN2=−cosθ PN3=−sinθ PN4=−sinθ PN5 = −μ cosψ cosθ PN6 = −μ cosψ sinθ PN7= 1(x+μsinψ)sinθ 2 PN8 = −(x + μ sinψ )cosθ PNF1=−μsinθ PNL1=−sinθ PNL2 = −xsinθ cosψ PNL3 = −xsinθ sinψ 出现在UR 中的系数: 常数项 RC=−μcosψ+λiβp −ηr cosθ 线性项 RU = 0 RV = −1 RW = 0 RP=ηr sinθ RVP = x + μ sinψ RWP = μβ p cosψ + λi RVD = 0 RWD = 0 RPD = 0 RVDP = −ηr cosθ RWDP=−ηr sinθ RLO = βp RLC = β p x cosψ RLS = β p x sinψ 80 这里忽略了UR 中的非线性项。桨叶速度及其乘积写成常数项、线性项和非线性项的迭加: U =TC+[LIN +LIN +LIN ]+[NL +NL +NL ] T TB TF TL TB TBF TBL UP = PC +[LINPB + LINPF + LINPL ]+[NLPB + NLPBF + NLPBL ] UR = RC +[LINRB + LINRF + LINRL ] 在程序中，桨叶运动的线性和非线性配平值定义如下: LINTB =SUMT NLTB =SUMTN LINPB =SUMP NLPB =SUMPN (3.178) LINRB = SUMR 其中，“LIN”和“NL”分别表示线性和非线性项。在下标中，第 1 个字母代表速度矢量的方向，其它字母表示桨叶项(B)或桨叶-机身项(BF)或桨叶-入流项(BL)。例如， LINTB 表示速度分量UT 中，由于桨叶运动(B)引起的线性项(LIN)。用于载荷计算的速度乘积 3.69~3.72 式中，气动载荷计算时，需要用到速度乘积项。采用前面UP 、UT 、UR 的表达式，速度乘积可以这样处理(这里采用了第 2 章介绍的阶数规则。所有阶数高于ε 2 的项都被去掉): U2 =constant+linear+nonlinear T =TC2 +2TC[LIN +LIN +LIN ] TB TF TL +2TC[NL +NL +NL ]+LIN2 +(LIN2 ) +LIN2 TB TBF TBL TB TF ε2 TL +2⎡LIN (LIN ) +LIN LIN +(LIN ) LIN ⎤ ⎣TB TFε TB TL TFε TL⎦ ˆ =TT0+TT1u+TT2v+TT3ω+TT4φ+KetcK(IN CODE) (3.180) 81 (3.179) U2 =constant+linear+nonlinear P =PC2 +2PC[LIN +LIN +LIN ] PB PF PL +2PC[NL +NL +NL ]+LIN2 +(LIN2 ) +LIN2 PB PBF PBL PB PF ε2 PL +2⎡LIN (LIN ) +LIN LIN +(LIN ) LIN ⎤ ⎣PB PFε PB PL PFε PL⎦ ˆ = PP0 + PP1u + PP2v + PP3ω + PP4φ +KetcK(IN CODE) UTUP =constant+linear+nonlinear =PC.TC+PC[LINTB +LINTF +LINTL] +TC[LINPB + LINPF + LINPL ] + PC[NLTB + NLTBF + NLTBL ]+TC[NLPB + NLPBF + NLPBL ] +⎡LIN +(LIN ) +LIN ⎤×⎡LIN +(LIN ) +LIN ⎤ ˆ (3.181) (3.182) ⎣ TB TF ε TL⎦ ⎣ =TP0+TP1u+TP2v+TP3ω+TP4φ+KetcK(IN CODE) URUT = cons tan t + linear + nonlinear =RC.TC+RC[LINTB +LINTF +LINTL] +TC[LINRB +LINRF +LINRL] +RC[NLTB +NLTBF +NLTBL] +⎡LIN +(LIN ) +LIN ⎤×⎡LIN +(LIN ) +LIN ⎤ ⎣ TB TF ε TL⎦ ⎣ =RT0+RT1u+RT2v+RT3ω+RT4φ+KetcK(IN CODE) ˆ 在速度乘积表达式中，下标 ε 和 ε 2 表示只保留了阶数小于和等于该阶数的项。 3.2.2 线性气动力线性气动力矩阵是桨叶运动q、机身运动xF 和入流λ项引起的。未变形系中，常数和线性气动力: 利用 3.69~3.72 式，就可以得到变形系下的常数和线性气动力项。这些力通过如下变换被转换到未变形系: ⎧Lu ⎫ ⎧Lu ⎫ u⎪⎪⎪⎪ PB PF ε PL⎦ RB RF ε PL⎦ (3.183) A ⎧L ⎫ ⎪A⎪ −1⎪ ⎪ T ⎪ ⎪ ⎨Lv⎬=TDU ⎨Lv⎬=TDU ⎨Lv⎬ ⎪A⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩Lω ⎭ ⎪Lω ⎪ ⎪Lω ⎪ MA =Mφ ˆˆ ⎩⎭ ⎩⎭ (3.184) 第 2 章推导的转换矩阵 TT 可以写成如下形式的常数项、线性项和非线性项的迭加: φ DU TT =(TT ) +(TT ) +(TT ) (3.185) DU DU 0 DU q DU q2 82 其中， T ⎡10 0⎤ ⎢⎥ (T ) =⎢0 cosθ −sinθ⎥ DU o ⎢0 sinθ cosθ⎥ ⎣⎦ ⎡ 0 −v′cosθ −ω′sinθ v′sinθ −ω′cosθ ⎤ T⎢ˆˆ⎥ (T ) = v′ −φsinθ −φcosθ DU q ⎢ ⎥ ⎢ˆˆ⎥ ⎣ω′ φcosθ −φsinθ ⎦ ⎡1(′)ˆ′ˆ′⎤ T 2 − v 2 +w'2 φ(v sinθ −w'cosθ) φ(v cosθ +w'sinθ) ⎢2⎥ (T ) DUq 2 2 12 12 =⎢ 0 − v′ cosθ−v′ω′sinθ − v′ cosθ−v′w'sinθ⎥ ⎢ 0 −1 w'2 sinθ 1 w'2 cosθ ⎥ ⎢⎥ ⎣22⎦ 力和力矩的常数项: 3.184 式中的桨叶力包括了常数项、线性项和非线性项。桨叶力的常数部分可以写成: ⎧LA ⎫ ⎧Lu ⎫ (3.186) u⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨v⎬( ⎪LA⎪ o⎪ ⎪ LA=TT Lv )⎨⎬ ⎪Lw⎪ 桨叶、机身和入流项会引起力和力矩的线性项。桨叶运动引起: φqq 它可以写成如下矩阵形式: ⎨v⎬( )⎨⎬( o⎪ ⎪ )⎨⎬ DU ⎩ ⎭o ⎩ w⎭o (M A ) = (M φ ) φoo 力和力矩的线性项: ˆˆ ⎧LA ⎫ ⎧Lu ⎫ u⎪⎪⎪⎪ ⎧Lu ⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ LA=TT Lv+TT Lv ⎪LA⎪ ⎩ w⎭ DU q DU q⎪ ⎪ (M A ) = (M φ ) ˆˆ (3.187) ( 3 . 1 8 8 ) ⎪Lw⎪ ⎩ ⎭q ⎪Lw⎪ ⎩ ⎭o 其中， ( L A ) = γ ( A u u + A u ′ u ′ + A u& u& + A u& & u& & ) q6 ⎢ ˆ⎥T u=⎣u v ω φ⎦ ˆT u′=⎢u′ v′ ω′ φ′⎥ ⎣⎦ 83 上式中， Au&& 是非环量项引起的。机身运动引起: φ xF xF 这可以写成如下矩阵形式: &T ⎢ ˆ⎥ u&=⎢u& v& ω& φ⎥ ⎣⎦ && T ⎢ ˆ⎥ u& & = ⎢ u& & v& & w& & φ ⎥ (3.189) ⎣⎦ ⎧LA ⎫ ⎧Lu ⎫ u⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ LA =TT Lv ⎨v⎬ ( DU )⎨⎬ ⎩⎭ ⎪A⎪ o⎪⎪ ⎩Lw ⎭xF ⎪Lw ⎪xF (MA) =(Mφ) ˆˆ (3.190) (3.191) (3.192) (LA) =γ(A x +A x& ) 其中，入流引起: x =⎢x y z α φ⎥T F⎣FFFss⎦ ⎧LA ⎫ ⎧Lu ⎫ u⎪⎪ xF 6 xF F x&F F ⎪⎪ ⎪⎪ LA =TT Lv ⎨v⎬( ⎪LA⎪ o⎪ ⎪ DU )⎨⎬ ⎩ w⎭λ (M A ) = (M φ ) ⎪Lw⎪ ⎩ ⎭λ 这可以写成如下矩阵形式: ˆˆ (3.193) (3.194) φλλ (LA) =γ Aλλ λ6 其中， λ=⎢λ λ ⎣ o 1c λ ⎥T 1s ⎦ (3.195) 在上述 3 个表达式中，下标 q, xF , λ 分别表示由于桨叶、机身和入流引起的线性项，力向量 LA 定义如下: 84 ⎪v⎪ (LA )= ⎨⎬ ⎪ L Aw ⎪ (3.196) (3.197) (3.198) (3.199) (3.200) (3.201) (3.202) (3.203) ⎧ L uA ⎫ ⎪LA ⎪ ⎪M A ⎪ φ ⎩ˆ⎭ 所有线性力可以组合起来: (LA)=(LA)+(LA) +(LA) L q xF λ =γ(Au+Au′+Au&+Au&&+Ax+Ax&+Aλ) u u′ u& u&& xF F x&F F λ 在软件中，线性气动力矩阵定义如下: 6 ⎡ U1 U2 U4 U6 ⎤ ⎢ V1 V2 V4 V6 ⎥ A=⎢ ⎥ u ⎢W1 W2 W4 W6⎥ ⎢AM1 AM2 AM4 AM6⎥ ⎣⎦ ⎡0 U3 U5 0⎤ ⎢0 V3 V5 0⎥ Au′=⎢ ⎥ ⎢0 W3 W5 0⎥ ⎢0 AM3 AM5 0⎥ ⎣⎦ ⎡0 U8 U10 U12⎤ ⎢0 V8 V10 V12⎥ A=⎢ ⎥ u& ⎢0 W8 W10 W12⎥ ⎢0 AM8 AM10 AM12⎥ ⎣⎦ ⎡000 0⎤ ⎢000 0⎥ A=⎢ ⎥ u&& ⎢0 0 −CARG CARGE⎥ ⎢0 0 CARGE −CARGE ⎥ ⎣⎦ ⎡0 0 0 UF4 0⎤ ⎢0 0 0 VF4 0⎥ A=⎢ ⎥ xF ⎢0 0 0 WF4 0⎥ ⎢0 0 0 AMF4 0⎥ ⎣⎦ ⎡ UF6 UF7 UF8 UF9 UF10 ⎤ VF10 ⎥ ⎢AMF6 AMF7 AMF8 AMF9 AMF10⎥ ⎢ VF6 VF7 VF8 VF9 A=⎢ ⎥ x&F ⎢ WF6 WF7 WF8 WF9 WF10 ⎥ ⎣⎦ 85 u = Hsq u′ = H′q s u& = H s q& 线性气动载荷矩阵可以用型函数表示为: 桨叶项相关的非线性力: ⎡ UL1 ⎢ VL1 UL2 UL3 ⎤ VL2 VL3 ⎥ Aλ =⎢ ⎢ WL1 ⎥ WL2 WL3 ⎥ (3.204) (3.205) (3.206) (3.207) ⎢AML1 AML2 AML3⎥ ⎣⎦ 对应于 u 和 u′ 的型函数矩阵定义如下(矩阵中每个元素的表达式见第 2 章)。 ⎡Hu(s)0 0 0⎤ ⎢ 0 H(s) 0 0 ⎥ H=⎢ ⎥ s ⎢ 0 0 H(s) 0 ⎥ ⎢0 0 0H(s)⎥ ⎢ φˆ⎥ ⎣⎦ ⎡H′(s)0 0 0⎤ ⎢u⎥ H′=⎢0H′(s)00⎥ s⎢0 0H′(s)0⎥ ⎢0 0 0H′(s)⎥ ⎢ φˆ⎥ ⎣⎦ (LA)=γ(AHq+A′H′q+AHq&+AHq&&+A x +A x& +Aλ) L 6 u s u s u& s u&& s xF F x&F F λ (3.208) 程序中，首先计算单元线性矩阵。然后再根据用户的需求加上非线性矩阵。 3.2.3 非线性气动力非线性气动力矩阵来源于虚功表达式中的桨叶-桨叶项(q2 )，机身-桨叶项(qxF )，以及入流桨叶项( λq )。非线性力: 非线性力源于桨叶、机身和入流项。 (LA) =(LA) +(LA) +(LA) +(LA) +(LA) (3.209) NL q2 x2 F λ2 qxF qλ 86 ⎧LA ⎫ ⎧Lu ⎫ ⎧Lu ⎫ ⎧Lu ⎫ ⎪u⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎨⎬ ⎪A⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ (3.210) LA =(TT )⎪Lv⎪ +(TT )⎪Lv⎪+(TT ) ⎪Lv⎪ ⎨v⎬ DU o⎨ ⎬ DU q⎨ ⎬ DU q2 ⎩Lw ⎭q2 ⎩Lw ⎭q ⎪⎪ ⎩Lw ⎭q ⎩Lw ⎭o (MA) =(M ) ˆ2 ˆ2 2 ⎪⎪ ⎪⎪ Φq Φq 机身项相关的非线性力: ⎧LA ⎫ ⎧Lu ⎫ ⎪u⎪ ⎪⎪ LA =(TT )⎪Lv⎪ ⎨v⎬ DUo⎨⎬ ⎪LA ⎪ ⎪Lw ⎪ (3.211) (3.212) ⎪⎪ ⎩w⎭x2 ⎩ ⎭x 2 (MA) =(M ) ˆ2 ˆ2 Φ xF Φ xF 入流项相关的非线性力: FF ⎧LA ⎫ ⎧Lu ⎫ ⎪u⎪ ⎪⎪ LA =(TT )⎪Lv⎪ ⎨v⎬ DUo⎨⎬ ⎪A⎪⎪⎪ ⎩Lw ⎭λ2 ⎩Lw ⎭λ (MA) =(M ) ˆ2 ˆ2 ⎪⎪ 2 Φλ Φλ 双线性项相关的非线性力: 双线性项源于桨叶-入流(λq)和桨叶-机身(qxF )耦合项。 ⎧LA⎫ ⎪u⎪ ⎧Lu ⎫ ⎪⎪ ⎧Lu ⎫ ⎪⎪ LA ⎨v⎬ =(TT)⎪Lv⎪ DUo⎨⎬ +(TT)⎪Lv⎪ DU q⎨ ⎬ ⎪LA⎪ ⎩w⎭ ⎪Lw ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎧LA⎫ ⎧Lu ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎭qxF ˆ qx ˆ qx ⎪Lw ⎪ ⎩ ⎭xF qxF (MA) =(M ) ΦF ΦF qλ 非线性力的线化: 采用一阶泰勒级数展开对非线性力进行线化。 (3.213) ⎧Lu ⎫ ⎪u⎪ LA ⎨v⎬ =(TT )⎪Lv⎪ +(TT )⎪Lv⎪ DU o⎨ ⎬ DU q⎨ ⎬ ⎪LA⎪ ⎩w⎭ ⎪Lw ⎪ ⎪Lw ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎭qλ ⎩ ⎭λ (MA) =(M ) ˆ qλ ˆ qλ ΦΦ 87 (L) =(L) +∂(L) Δq+∂(L) Δq&+∂(L) Δx+∂(L) Δx&+∂(L) Δλ NL NLo ∂q NL ∂q& NL ∂x NL F ∂x& NL F ∂λ NL AAAAAAA = ( L ) A eeFF + ( A ) u + ( A ) u ′ + ( A ) u& + ( A ) x + ( A ) x& + ( A ) λ u NL u′ NL u& NL xF NL F x&F NL F λ NL + ( A ) H q + ( A ) H ′ q + ( A ) H q& + ( A ) x + ( A ) x& + ( A ) λ u NL s u′ NL s u& NL s xF NL F x&F NL F λ NL A NL o NL o = ( L ) 程序中，对配平状态下的非线性力的编码如下: (3.214) (3.215) (3.216) (3.217) (3.218) (3.219) ⎧ XANLU ⎫ ⎪ XANLV ⎪ (LA) =⎪ ⎪ NL o ⎨XANLW⎬ ⎪⎪ ⎪ XANLM ⎪ ⎩⎭ 非线性气动矩阵(Au )NL 、(Au′ )NL 、(Au& )NL 的编码如下: (A) =⎡∂(LA) ∂(LA) ∂(LA) ∂(LA) ⎤ ∂φ q2⎥ uNL ⎢∂u q2 ∂v q2 ∂w q2 ⎣⎦ (A ) u′ NL =⎡ ∂ (LA) ∂ (LA) ∂ (LA) ⎢∂u′ q2 ∂v′ q2 ∂w′ q2 ∂ (LA) ⎤ ⎡DFU1 DFU2 DFU4 DFU6⎤ ⎢DFV1 DFV2 DFV4 DFV6⎥ =⎢⎥ ⎢DFW1 DFW 2 DFW 4 DFW 6⎥ ⎢DFM1 DFM 2 DFM 4 DFM 6⎥ ⎣⎦ q2 ⎥ ⎣⎦ ∂φ′ ⎡0 DFU3 DFU5 0⎤ ⎢0 DFV3 DFV5 0⎥ =⎢⎥ ⎢0 DFW3 DFW5 0⎥ ⎢0 DFM3 DFM5 0⎥ ⎣⎦ =⎡∂(LA) ∂(LA) ⎡0 DFU 8 DFU10 DFU12 ⎤ ∂(LA) ⎣∂u& q ∂v& q ∂w& q ∂φ q⎦ (A) u&NL⎢ 2 2 ∂(LA) ⎤ 2 &2⎥ ⎢0 DFV8 DFV10 DFV12⎥ =⎢⎥ ⎢0 DFW 8 DFW10 DFW12⎥ ⎢0 DFM8 DFM10 DFM12⎥ ⎣⎦ 程序中，DFX 和 DFXD 矩阵定义如下: DFX=HT(A) H+HT(A) H′ suNLs su′NLs D F X D = H Ts ( A u& ) N L H s 88 总的气动力: 总的气动力等于常数、线性和非线性力之和。 (LA)=(LA) +(LA) +(LA) o L NL =(LA) +(LA) o NL o +{AH+AH′+(A) H+(A) H′}q us u′ uNLs u′NLs + { A u& H s + ( A u& ) N L H s } q& + A u& & H s q& & +{AxF +(AxF )NL}xF (3.220) 3.2.4 桨叶运动引起的虚功气动力对桨叶所做的虚功等于: 0 桨叶气动力矩阵 +{Ax +(Ax )NL}x&F && FF +{Aλ +(Aλ)NL}λ δW =∫RδuTLAdr (3.221) s u&& s (KA)=−γl∫1HT{AH+AH′+(A) H+(A) H′}ds (3.222) b 将总的气动力向量 LA 的表达式(3.220 式)代入，就得到以下气动力矩阵: (MA) =−γl∫1HTAHds bi 6i0 bi 6i0sus u′s uNLs u′NLs (CA)=−γl∫1HT{AH+(A) H}ds 桨叶机身矩阵桨叶入流矩阵载荷向量 (KA )=−γl∫1HT{A +(A ) }ds bFi6i0sx xNL bi 6i0 su&s u&NLs (CA )=−γl∫1HT{A +(A ) }ds (3.223) (3.224) FF bFi 6i0 (KA)=−γl∫1HT{A+(A) }ds bλi 6i0 s λ λNL sx& x&NL FF 89 只是常数和线性项之和: FL (3.228) (3.229) (3.230) 其中，上式中， (QA ) =γl∫1HT{(LA) +(LA) }ds (3.226) 采用转换矩阵T (推导见3.2.2节)将桨叶载荷向量LA被转换成不旋转系下的机身力和力 bλi 6i0 3.2.5 机身运动引起的虚功 s o NL o (3.225) 机身上的气动力所做的虚功为: 0 δW =∫Rδx TFAdr Fb FL FF 矩 F FA : 假设桨叶单元力向量 LA 是桨叶、机身和入流的常数、线性和 2 阶非线性项之和，转换矩阵 T FA =T LA (3.227) F FL LA =(LA) +(LA) +(LA) oq q2 +(LA) +(LA) xF x2 F +(LA) +(LA) λ λ2 +(LA) +(LA) qxF qλ TFL =(TFL)o +(TFL)q +(TFL)xF 力和力矩的常数项: (FA) =(T ) (LA) Fo FLo o 力和力矩的线性项: (FA) =(T ) (LA) +(T ) (LA) +(T ) (LA) FL FLq o FLxF o FLo L 90 ⎡ cosψ −sinψ −βpcosψ 0⎤ ⎢ sinψ cosψ −β sinψ 0 ⎥ ⎢p⎥ (TFL)o=⎢βp 0 1 0⎥ ⎢hcosψ−β X −(h+xβ )sinψ −(x+hβ )cosψ−X sinψ⎥ ⎢pCGp pCG⎥ ⎢−hsinψ +β Y −(h+xβ )cosψ (x+hβ )sinψ +Y cosψ⎥ ⎣pCGp pCG⎦ ⎡0000⎤ ⎢0000⎥ ⎢⎥ (TFL)q=⎢ 0 0 0 0 ⎥ ⎢vβ sinψ +wcosψ −wsinψ −ucosψ +vsinψ −w′β sinψ +v′cosψ⎥ ⎢pp⎥ ⎢vβ cosψ −wsinψ −wcosψ vcosψ +usinψ −w′β cosψ −v′sinψ⎥ ⎣pp⎦ ⎡ −βpαs 0 −αs 0⎤ ⎢βφ 0 φ 0⎥ ⎢pss⎥ = ⎢αs cosψ −φs sinψ −αs sinψ −φs cosψ −αsβp cosψ +φsβp sinψ 0⎥ (TFL )x 程序中，采用如下符号来表示上述矩阵: F⎢⎥ ⎢ 0 0 0 0⎥ ⎢ 0 0 0 0⎥ ⎣⎦ (TFL )o = TFL0 (TFL )q = TFLQ (TFL )xF = TFLXF A 3.230 式中，等号右边第 1 项(TFL )q (L )o 可以写成: 其中， A u u′ (T )(L) =(T )u+(T ) u′ (3.231) FL q o FL o FL o ⎡0 0 00⎤ ⎢0 0 00⎥ ⎢⎥ (T)u=⎢0 0 00⎥ FL o ⎢AAAAA⎥ ⎢ (L) sinψ (L)β cosψ+(L) cosψ −(L) sinψ−(L) cosψ 0⎥ wouopwouovo ⎣AAAAAA⎦ ⎢−(L)βsinψ−(L)cosψ (L)βsinψ+(L)sinψ (L)cosψ−(L)sinψ 0⎥ vopwouopwouovo ⎡0 0 0 0⎤ ⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎥ (T )u′ =⎢0 0 0 0⎥ FL o ⎢0 (MA) cosψ −(MA) β sinψ 0⎥ ˆo ˆop ⎢φφ⎥ ⎢0 −(MA) sinψ −(MA) β cosψ 0⎥ ⎣ˆoˆop⎦ φφ 91 其中，(LA ) 、(LA ) 、(LA ) 和(M A ) 是由速度和机身项的常数部分得到的气动力常数部 uovowoˆo 分。其中， A φ 类似地，3.230 式等号右边的第 2 项 (T ) FL xF (T ) (LA) =(T )xF x FLxF o FLoF (3.232) ⎡0 0 0 −β(LA)−(LA) 0 ⎤ ⎢puowo⎥ ⎢0 0 0 0 β(LA)+(LA)⎥ puowo (T )xF =⎢0 0 0 t t ⎥ FLo⎢1 2⎥ (L ) 可以写成: o ⎢0000 0⎥ ⎢0000 0⎥ ⎣⎦ t =(LA) cosψ−(LA) sinψ−β cosψ(LA) 1uovopwo t =−(LA) sinψ−(LA) cosψ+β sinψ(LA) 2uovopwo 程序中，上述矩阵并没有直接编码，而是将它加到机身-机身刚度矩阵的适当位置。我们已经得到用桨叶、机身和入流自由度表示的(LA )L 的表达式。机身力的线性部分可以写成: (FA) =(T )uu+(T )u′u′+(T )xF x +(T ) (LA) FL FLo FLo FLoF FLo L 非线性力: T 矩阵仅有线性和常数项。因此，机身自由度的非线性力和力矩可以写成: (3.233) FL (3.234) 其中， (LA) =(T ) (LA) +(T ) (LA) NL FLo NL FLL L (TFL)L =(TFL)q +(TFL)xF 在对上式进行线化时，直接用前面推导出来的非线性力(LA )NL 。因此，只有最后一项需要线化， (T)(LA)=(T)(LA) +Δ(T)(LA)+(T)Δ(LA) FLL L FLo Lo FLL L FLL L =(T ) (LA) +(Af ) u+(Af ) u′+(Af ) u& (3.236) FL o L o u NL u′ NL u& NL +(Af ) x+(Af ) x&+(Af) λ xF NL F x&F NL F λ NL (3.235) 92 其中， (Af) =⎡∂(T )(LA) ∂(T )(LA) ∂(T )(LA) 0⎤ u NL ⎢∂u FL L L ⎣⎦ ⎥ ⎣⎦ ∂v FL L L +⎡(T ) ∂(LA) (T ) ∂(LA) (T ) ∂(LA) (T ) ∂(LA)⎤ ⎢ FL L∂u L (Af)=⎡0∂(T)(LA) ∂(T)(LA)0⎤ FL L∂φ L⎥ +⎡0 (T) ∂(LA) (T) ∂(LA) (T) ∂(LA)⎤ ∂w FL L L FL L∂w L u′ NL ⎢ ∂v′ FL L L ⎣⎦ FL L∂v L ∂w′ FL L L ⎥ ⎣⎦ FL L∂φ′ L⎥ u&NL⎢FLL L FLL L FLL&L⎥ ⎢ FL L∂v′ L ⎣ ∂v& ∂w& ∂φ ⎦ FL L∂w′ L (Af) =⎡0 (T ) ∂(LA) (T ) ∂(LA) (T ) ∂(LA)⎤ (Af)=⎡000∂(T)(LA) ∂(T)(LA)⎤ xF NL ⎢ ∂α FL L L ∂φ FL L L⎥ ⎣ss⎦ +⎡(T) ∂(LA) LL(T) ∂(LA) (T) ∂(LA)⎤ ⎢ FL L∂x L FL L∂α L ⎣Fss⎦ FL L∂φ L⎥ (Af ) =⎡(T ) ∂ (LA) L L (T ) ∂ (LA) (T ) ∂ (LA) ⎤ x&NL ⎢FLL∂x& L FLL∂α& L FLL∂φ L⎥ & F⎣Fss⎦ (Af) =⎡(T) ∂(LA) (T) ∂(LA) (T) ∂(LA)⎤ λ NL ⎢ FL L∂λ ⎣ o L FL L∂λ L 1c FL L∂λ L⎥ 1s ⎦ T 矩阵的导数 FL ⎡0 0 0 0⎤ ⎢0 0 0 0⎥ ∂⎢⎥ (T)=⎢0 0 0 0⎥ (3.237) (3.238) ∂u FL L ⎢0 0 sinψ 0⎥ ⎢⎥ ⎢0 β sinψ −cosψ 0⎥ ⎣p⎦ ⎡ 0 0 0 0⎤ ⎢ 0 0 0 0⎥ ∂⎢⎥ (T)=⎢ 0 0 0 0⎥ ∂vFLL ⎢βcosψ0cosψ0⎥ ⎢p⎥ ⎢β sinψ 0 sinψ 0⎥ ⎣p⎦ 93 ⎡0 000⎤ ⎢0 000⎥ ∂⎢⎥ (T)=⎢0000⎥ (3.239) (3.240) (3.241) ∂w FL L ⎢−sinψ −cosψ 0 0⎥ ⎢⎥ ⎢cosψ −sinψ 0 0⎥ ⎣⎦ ⎡000 0⎤ ⎢000 0⎥ ∂⎢⎥ ∂v′(T ) =⎢0 0 0 0 ⎥ FL L ⎢0 0 0 −sinψ⎥ ⎢⎥ ⎢0 0 0 cosψ⎥ ⎣⎦ ⎡000 0⎤ ⎢000 0⎥ ∂⎢⎥ (T)=⎢000 0⎥ ∂w′ FL L ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 −βpcosψ⎥ ⎢0 0 0 −β sinψ⎥ ⎣p⎦ s ⎡−βp 0 −1 0⎤ ⎢0 0 0 0⎥ ∂⎢⎥ ∂α (T ) =⎢cosψ −sinψ −β cosψ 0⎥ FLxF⎢ p ⎥ ⎢0 0 0 0⎥ ⎢0 0 0 0⎥ ⎣⎦ ⎡0 0 0 0⎤ ⎢β 0 1 0⎥ ∂⎢p⎥ s 机身自由度的总的桨叶力和力矩 FA =(FA) +(FA) +(FA) F F0 FL FNL ∂φ (T ) =⎢−sinψ −cosψ β sinψ 0⎥ FLxF⎢ p ⎥ ⎢0 0 0 0⎥ ⎢0 0 0 0⎥ ⎣⎦ A u u′ A =(F)+⎡(T )u+(T )u′+(T )(L)⎤ F0⎣FLo FLo FLq L⎦ +⎡(T)(LA) +(T)(LA)⎤ ⎣ FL 0 NL FL L L⎦ 采用(LA )L 、(LA )NL 和(TFL )L (LA )L 的显式表达式就可以算出载荷向量，以及机身-桨叶、机身-机身、机身-入流矩阵。载荷向量 (Q )i =l ∫1{(FA) +(FA) }ds o (3.242) Fbo i0 Fo FNL 94 机身-桨叶气动矩阵 (KA )i =−l∫1{(T )uH +(T )u′H′ Fb i0 +γ(T )AH+γ(T )AH′ FLos FLos 6 FL o u s 6 FL o u′ s (3.243) +γ(T)(A) H+γ(T)(A) H′ 6 FL o u NL s 6 FL o u′ NL s +γ(Af) H+γ(T)(Af) H′}ds 6 u NL s 6 FL o u′ NL s (CA)i=−γl∫1{(T)AH+γ(T)(A) H+γ(Af) H}ds (3.244) FL o u& s FL o u& NL s u& NL s Fb 6i0 6 6 桨叶力引起的机身-机身矩阵 (KA )i=−γl∫1{(T )xF +(T )A +γ(T )(A ) +γ(Af ) }ds FF 6i0FLo FLoxF6FLoxFNL6xFNL (3.245) (3.246) 前面几节介绍的准定常气动公式为计算单元气动质量、刚度、阻尼矩阵，以及单元载荷向量提供了理论依据。和结构部分一样，上述气动矩阵都被组集起来得到全局离散的桨叶运动方程。如前文所述，在稳定性分析中引入机身运动会带来额外的单元矩阵。这些额外的矩阵是采用动态入流的稳定性分析所必须的。全机分析所需的气动单元矩阵，包括桨叶、机身、动态入流都是在 SUBROUTINE AEROMX 中计算。 AEROMX 还计算非定常气动力对单元矩阵和载荷向量的贡献。非定常计算将在后面介绍。以下各节介绍了(仅与准定常气动有关): SUBROUTINEAEROMX的功能 SUBROUTINE AEROMX 与程序其它部分的界面 SUBROUTINEAEROMX的输入和输出(见图3.3) SUBROUTINEAEROMX的性能 (CA )i=−γl∫1{(T )A +λ(T )(A ) +λ(Af ) }ds FL o x& FL o x& NL x& NL FF6i0 F6F 6F 桨叶力引起的机身-入流矩阵 (KA)i=−γl∫1{(T)A+γ(T)(A) +γ(Af)}ds FL o λ FL o λ NL λ NL Fλ 6i0 6 6 3.2.6 SUBROUTINE AEROMX 介绍 95 3.2.6.1 SUBROUTINE AEROMX 的功能 AEROMX 的功能包括: 计算气动力对桨叶单元矩阵和载荷向量的贡献。桨叶单元载荷向量桨叶单元质量矩阵桨叶单元阻尼矩阵桨叶单元刚度矩阵桨叶位移 Jacobian 矩阵 {EQ} QbA { E M } M bA {EC} CbA { E K } 桨叶速度 Jacobian 矩阵计算气动力对桨叶-机身(bF)单元矩阵的贡献。计算气动力对机身-桨叶(Fb)单元矩阵的贡献。机身-桨叶单元质量矩阵 {TM} 机身-桨叶单元阻尼矩阵 {TC} 机身-桨叶单元刚度矩阵 {TK} 计算气动力对机身-机身(FF)矩阵的贡献。机身-机身阻尼矩阵 {TP} C A FF 机身-机身刚度矩阵 {TK} K A FF MA Fb CA Fb KA Fb 计算气动力对桨叶-入流(bλ)单元矩阵的贡献。桨叶-入流单元阻尼矩阵 {ECBL} Cbλ 桨叶-入流单元刚度矩阵 {EKBL} K bλ 计算气动力对机身-入流(bλ)单元矩阵的贡献。 {DFX} K bA ∂ ( Q bA ) N L {DFXD} ∂q ∂ ( Q bA ) N L ∂q& 桨叶-机身单元阻尼矩阵 {ECA} CA 桨叶-机身单元刚度矩阵 {EKA} KA bF 96 bF 机身-入流单元刚度矩阵 {EKFL} K F λ 计算气动力对入流-桨叶(λb)单元矩阵的贡献。入流-桨叶单元阻尼矩阵 {ECLB} Cλb 入流-桨叶单元刚度矩阵 {EKLB} Kλb 计算气动力对入流-机身(λF)单元矩阵的贡献。入流-机身单元阻尼矩阵 {ECLF} Cλ F 入流-机身单元刚度矩阵 {EKLF} K λ F 计算气动力对入流-入流(λλ)单元矩阵的贡献。入流-入流单元刚度矩阵 {EKLL} K λλ 3.2.6.2 调用 SUBROUTINE AEROMX 该子程序是在空间单元循环内被反复调用。循环次数等于空间单元数。在计算响应时，它还被时间循环所调用，循环次数等于时间单元数。 SUBROUTINE AEROMX 在 2 个地方被调用: 1)被 SUBROUTINE ASBGBM 调用标记:INDRNS = 1 功能:计算相对于变形后的桨叶({EU}≠{0})的单元质量阵[EM]，阻尼阵[EC]、刚度阵[EK]、位移 Jacobian 阵[DFX]、载荷向量[EQ]。这些矩阵(和向量)用于计算耦合配平迭代过程中的稳态响应计算。耦合配平采用时间和空间有限元法计算收敛的稳态周期响应{EU}trim 。 2)被 SUBROUTINE ASBGM2 调用标记:INDRNS = 2 功能:计算相对于桨叶配平(变形)状态({EU}={EU}trim )下的单元质量阵[EM]，阻尼阵[EC]、刚度阵[EK]、位移 Jacobian 阵[DFX]。如果考虑机身运动的话，还计算机身相关的矩阵。如果考虑动态入流的话，还计算与动态入流有关的矩阵。这些矩阵用于线化稳定性分析。注意，在线化稳定性分析中，没有用到载荷向量[EQ]。 3.2.6.3 SUBROUTINE AEROMX 的输入 AEROMX 通过参数表和 COMMON 块来获取输入参数(图 3.3)。 97 单元速度向量单元位移向量方位角单元数单元长度高斯点和权重机身自由度数标志:INDNL，INDRNS INDFUS，IDYN 单元矩阵: -桨叶 -桨叶-机身 -机身-桨叶 -机身单元载荷向量 EXAXFI 单元气动弦长预锥角，洛克数翼型气动系数，升力线斜率，a，弦向偏移径向缩短参数输出量 δ3参数线性扭转或用户定义的扭转分布总距和周期变距输入 COMMON /SWEPT/ COMMON /STRUC/ 参数表 COMMON /PERT/ COMMON /CFUNC/ COMMON /RADSHR/ 用户定义SUBROUTINE (如GZTWST，TWISTX) (a)物理变量 COMMON /AEROD/ COMMON /FUSE/ GQP GQW EU EUD = 高斯积分采样点(单元局部轴) = 高斯积分权值 = 单元位移向量， TT ''''ˆˆˆ {EU} =q =[u,u,u,u,v,v,v,v,w,w,w,w,φ,φ,φ] i 123412121212123 = 单元速度向量， TT ''''ˆˆˆ {EUD} =q& =[u&,u&,u&,u&,v&,v&,v&,v&,w&,w&,w&,w&,φ,φ,φ] = 方位角，ψ SHI NGAUSS = 空间高斯积分点数目 SUBROUTINE AEROMX SUBROUTINE AEROMX 输出参数表 COMMON /TRIMV/ COMMON /PBRNG/ (b)数据流路径图 3.3 SUBROUTINE STRUCT 的输入和输出通过参数表给的输入 i 123412121212123 98 &&& NEDOF = 空间单元自由度数 XBI = 单元左端点 x 坐标 EL = 单元长度，l L = 单元数目(桨尖单元=1) INDRNS = -1 计算真空频率和振型(关于未变形桨叶) -2 计算真空频率和振型(关于配平状态) 1 响应计算 2 稳定性计算 INDNL = 0，忽略所有非线性项 1，考虑所有非线性项 COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON COMMON /STRUC/ /AEROD/ /RADSHR/ /TRIMV/ /CFUNC/ /DYSTAL/ /FREEWK/ /TRNUNS/ : 单元弦长 c : 洛克数 GAMA = γ :预锥角，BTP= β p ，翼型系数 C0、C1、 = 多用途标志符(未使用) = 空间单元数 = 计算全机 Jacobian 矩阵时用的标志符 IFLAG NSELT IVHJAC TLAM 通过 Common Block 的输入 = 先进桨叶的空间有限元转换矩阵 D0、D1、D2、CMAC、F1;参考升力线斜率 SLC = a ;弦向偏移量 ED = ed ，ETR =ηr : 径向缩短效应参数周期变距操纵输入 TH1C 和 TH1S 总距输入 TH75 以及线性扭转斜率 THTW 铰接式旋翼用于 δ3 效应的参数 : /REVF/ : 是否采用反流修正的标示符，IREVF /UNSTDY/ 用于非定常气动的参数 /PBRNG/ /PERT/ : : : 用于表示稳定性分析的标记 IPERT : 是否采用动态失速的标示符 : 自由尾迹计算参数 : 非定常气动参数 99 COMMON /INPUT/ COMMON /FUSE/ COMMON /CONF/ COMMON /FIXED/ COMMON /WSEPT/ : : : : 实度 SIGMA，参考升力线斜率 SLCA，洛克数 GAMA = γ ，机身重心相对于桨毂中心的偏离量表示是否考虑机身运动的标记 INDFUS，机身自由度数 NHUB，是否采用动态入流的标示符 IDYN 无轴承旋翼中采用的标示符 NCONF 桨叶片数 NBLADE : 单元转动标示符 IELROT，后掠角 SWRAD，下反角 DRRAD，桨尖开始的单元号 NETIP 3.2.6.4 SUBROUTINE AEROMX 的输出 AEROMX 通过参数表输出(图 3.3)。 EK = 桨叶单元气动刚度阵(KbA )i EC = 桨叶单元气动阻尼阵(CbA )i EM = 桨叶单元气动质量阵(MbA )i EQ = 桨叶单元气动载荷向量(QbA )i DFX = 桨叶单元气动位移 Jacobian 矩阵，DFX= ∂ (QNL )i ∂qi DFXD =桨叶单元气动速度 Jacobian 矩阵，DFXD= ∂ (QNL )i ∂q&i ECA EKA EMFB ECFB EKFB ECFF EKFF EKBL EKFL = 耦合的桨叶-机身气动阻尼矩阵 (C A ) bF i = 耦合的桨叶-机身气动刚度矩阵 ( K A ) bF i =耦合的机身-桨叶气动质量矩阵 ( M A ) bF i =耦合的机身-桨叶气动阻尼矩阵 (C A ) bF i =耦合的机身-桨叶气动刚度矩阵 ( K A ) bF i =耦合的机身气动阻尼矩阵 C A FF =耦合的机身气动刚度矩阵 K A FF =耦合的桨叶-入流气动刚度矩阵 Kbλ =耦合的机身-入流气动刚度矩阵 K Fλ 100 EKLB =耦合的入流-桨叶气动刚度矩阵 Kλb ECLB =耦合的入流-桨叶气动阻尼矩阵 Cλb EKLF =耦合的入流-机身气动刚度矩阵 KλF ECLF =耦合的入流-机身气动阻尼矩阵CλF EKLF =耦合的入流气动刚度矩阵 Kλλ 3.3 非定常气动模型旋翼处于高度复杂的非定常气动环境中。桨盘上存在跨音速流、分离流和动态失速。因此，前面介绍的准定常模型局限性较大。它只在中速飞行条件下提供较合理的结果。在极限飞行状态下，无法准确模拟非定常气动现象，以及流动分离和动态失速引起的非线性效应。因此，必须采用能够模拟气流分离、动态失速和跨音速压缩性效应的改进的气动模型。此外，气动还必须计算效率高，与旋翼动力学分析兼容性好。Leishman 和 Beddoes 提出了这样一个模型[1]。该模型由三部分组成:1)计算线性非定常气动载荷的附着势流表达式;2)计算非线性非定常气动载荷的分离流表达式;3)计算漩涡引起的气动载荷的动态失速表达式。这三部分紧密相连，前一部分的结果就构成下一部分的输入。附着流公式是基于脉冲响应法，通过对杜哈默积分进行有限差分近似来求得响应。脉冲响应函数包括两部分:1)流出涡量产生的环量载荷引起的响应，2)非环量载荷引起的响应。在计算脉冲响应函数时，隐含包括了压缩性的影响。分离流非线性气动公式是基于 Kirchhoff 理论，它将攻角和后缘分离点位置联系起来。在非定常条件下，采用简单的开环算法计算随时间变化的等效分离点。该部分的输入来自于前面的附着流计算结果。动态失速公式体现了漩涡诱导的气动载荷。它模拟了集中的前缘涡分离、流经翼型弦向、以及最终消散于尾流中这些现象。假设当等效前缘压强参数达到了一个与马赫数有关的临界值，预示着前缘或激波引起分离时，动态失速就会发生。这部分的输入来自于分离流计算结果。 3.3.1 附着流公式附着流公式可以预测线性附着势流在非定常条件下的气动载荷。和准定常模型一起，该 101 模型可以提供截面载荷系数的增量修正系数。它单独计算环量和非环量，或脉冲载荷，然后将其相加得到最终结果。采用阶跃函数公式，环量升力可以写成: cP L (S)=−1ρcCU [φ (S)U (0)+∫Sφ (S−σ)dU (σ)dσ] (3.247) 的话，这个脉冲响应函数和经典的 Kussner 函数非常相似;它们只是系数 A , A 不同。在 12 3.248式中，A = 0.3, A = 0.7,b = 0.14,b = 0.53，而在Kussner函数中，A = A = 0.5, 1212 12 b =0.13,b =1.0[8]。变量S是翼型运动所经过的半弦长个数，它可以用来流速度表示: 12 S= 2 ∫ψUT(ψ)dψ (3.249) Ωc 0 一般来说，攻角(α的阶跃变化或沉浮速度h&引起)和俯仰速率q(=α&c U)作阶跃变化引起的法向力和俯仰力矩的阶跃响应表达式为: 脉冲环量 w21TcP0 dσ 环量阶跃响应函数φc (s)表达式为: φ(S)=1−(Aexp(−bβ2S)+A exp(−bβ2S)) (3.248) 其中，括号中的项代表由于漩涡流入翼型尾流引起的升力减少，如果没有马赫数修正系数 β 2 c1122 c hic cn&(S,M) = 4 φ (S,M) + 2πφ (S,M) 沉浮运动 hh αM&β& hic cm&(S,M) =− 1 φ (S,M) + 2πφ (S,M)(0.25−x ) 沉浮运动 (3.250) hm h α M& β& cnq(S,M) = 1 φi(S,M) + πφc(S,M) qMq βq cmq(S,M) =− 7 φi (S,M) − π φc (S,M) q 12M qm 8β qm ac 俯仰角速率俯仰角速率式中上标 i 代表脉冲(非环量)响应，上标 c 代表环量响应。下标 h& 代表沉浮运动引起的攻角变化，下标q代表俯仰角速率，Prandtl-Glauert压缩性修正因子β= 1−M2 。俯仰力矩是绕 1/4 弦长点。3.250 式中，与脉冲阶跃响应函数有关的系数代表了初始响应值，它们可以从活塞理论直接导出，即: 102 Cn& (0) = 4 h (3.251) (3.252) (3.253) (3.254) 与环量阶跃响应函数有关的系数代表了终值，它可以由准定常理论给出，即: αM Cm& (0) = − 1 h αM Cnq (0) = 1 qM Cn& (∞) = 2π h αβ Cm&(∞)=2π(0.25−x ) Cmhq (0) = − 7 q 12M h αβ Cnq (∞) = π qβ Cmq (∞) = − π q 8β ac (3.255) (3.256) (3.257) (3.258) 阶跃响应函数 φ 代表了从 S = 0 和 S = ∞ 之间，升力和力矩随时间变化的特性。如果翼型静态数据已知，升力线斜率的线性值2π β就可以用适当的马赫数下的实验结果代替，它通常用Cnα (M)或C1(M)来表示。此外，3.250式中第2项代表了随马赫数变化的气动中心到 1/4 弦长点的偏移量引起的俯仰力矩。气动中心 xac 的值还可以从适当马赫数下的翼型静态测量结果中得到。注意，3.250 式中第 2 项代表了变距角速率引起的诱导弯度俯仰力矩，这和薄翼型理论的结果一样。 3.3.2 攻角变化引起的环量和脉冲升力攻角α 的单位阶跃变化产生的法向力响应可以写成非环量部分Ci 和环量部分Cc 之和，即: 103 n& n& hh hic Cn& (S)=C (S)=C (S,M)+C (S,M) (3.259) 或用阶跃响应函数表示: α n& n& n& hhh hic Cn&(s)=C(S)= 4φ(S,M)+2πφ(S,M) (3.260) 环量升力响应用如下两项指数函数就可以较准确地表示，它直接随马赫数变化: hhh α&M&β& φc(S,M)=1−Aexp(−bβ2S)−A exp(−bβ2S) (3.261) &1122 h 其中， A = 0.3, A = 0.7,b = 0.14,b = 0.53 ，Prandtl-Glauert 压缩性修正系数 1212 β= 1−M2 。上面的阶跃响应函数中的系数的值能匹配大量实验数据和解析结果。需要指出的是，上述系数可以看成与翼型的形状无关。对于非环量部分，阶跃响应是通过如下单项指数函数来近似: Ci (S)=4φi(S,M)=4exp(−S) (3.262) 式中T′的环量部分已确定，在较短时间内(0≤S≤2M (M+1))总的阶跃响应的精确值就知道了。将 3.18、3.19 式代入 3.17 然后将阶跃响应函数与精确解匹配，得到: (3.263) 可以采用和前节类似的匹配法来找到其他阶跃响应函数的近似解。对于攻角(由于 α 或沉浮速度 h& 引起)的阶跃改变引起的俯仰力矩的阶跃响应也可以写成成非环量部分 C i 和 m& h n& Mh& MT′ h h 环量部分 C c m& α 或用阶跃响应函数表示 h (3.264) h 之和，即: hic Cm& =C (S)=C (S,M)+C (S,M) 4M h 2(1−M)+2πβM2(Ab +Ab ) T ′(M ) = 3.3.3 攻角变化引起的环量和脉冲俯仰力矩 11 22 m& m& m& hhh 104 hic Cm& =C (S)=−1φ (S,M)+2π(0.25−x )φ (S,M) αm& Mm& βacn& hhh (3.265) 非环量部分的阶跃函数可用如下形式的表达式: φi (S)=Aexp(−S)+Aexp(−S) mh 3bT′4bT′ (3.266) 上述函数的一个较好的近似解是令A =1.5,A =−0.5,b =0.25,b =0.1。时间常数为[1]: 34 43 T′ =[Ab +Ab ] mh 3 mh 4 mh 3434 b3b4(1−M) 3.3.4 变距角速率引起的环量和脉冲升力 (3.267) 对于俯仰角速率q作阶跃变化引起的升力阶跃响应可以写成成非环量部分Cni 和环量 q 部分Cnc 之和，即: q q Cnq =C =1φi +πφc q nq Mnq βnq Cnq =C =Ci +Cc (3.268) 注意:q是无量纲俯仰角速率q =α&c U，α&是绕1/4弦长的角速度。上式还可以用阶跃响 nq nq nq 应函数表示: 利用薄翼型结果，升力的环量部分可以写成: Cc =π[1−Aexp(−bβ2S)−Aexp(−bβ2S)] nq β 1 1 2 2 假设非环量部分可写成如下形式: Ci = 1 φi (S)= 1 exp(−S) nqMnq MT′ 文献[1]中推导出的时间常数表达式为: (3.269) (3.270) (3.271) q T′= 2M (3.272) q [(1−M)+2πβM2(Ab +Ab )] 11 22 105 3.3.5 变距角速率引起的环量和脉冲俯仰力矩俯仰角速率 q 作阶跃变化引起的绕 1/4 弦长的俯仰力矩响应可以写成成非环量部分 Cmi 和环量部分 Cmc 之和，即: qq Cmq =C =Ci +Cc q 上式还可以用阶跃响应函数表示: Cmq =C = −7 φi +−πφc q mq 12M mq 8β mq 假设环量部分可写成如下形式: Cc =−πφc =−π[1−A exp(−bβ2S)] mq8βmq8β5 5 其中，A =1.0,b =0.5。非环量部分可以写成: 55 Ci =−7φi =−7exp(−S) mq 12M mq 12M T′ (3.276) 采用和前面相同的方法，可以得到非环量时间常数为: (3.273) (3.274) (3.275) 3.3.6 分离流公式 mq mq mq T′ =⎡ 2M⋅7 ⎤ (3.277) q m ⎢15(1−M)+3πβM2Ab ⎥ mq ⎣ 55⎦ 当攻角足够大时，翼型表面的气流会发生分离，导致升力呈非线性降低，而阻力和力矩呈非线性增加。Kirchhoff 推导了准定常模型，将分离流载荷与后缘分离点联系起来(图 3.4)。法向力系数CN 和弦向力系数CC 的表达式为: ⎛1+ f⎞2 C =C⎜ ⎟α (3.278) (3.279) N1⎜2⎟ ⎝⎠ C =ηC fα2 Ca1 106 f 的值在附着流下为 1，完全分离时为 0。由于没有现成的俯仰力矩表达式，因此采用文献 [1]推导的经验公式: C =(k +k(1−f)+k sinπf2)C (3.280) M012N 图 3.4 翼型截面气流分离点其中， k0 是气动中心到 1/4 弦长点的距离，经验系数 k1 , k2 是翼型形状和马赫数的函数。对于一种翼型，等效分离点 f 可以从静态CN 测量值随α 的变化曲线中计算出来。通过曲线拟合，可以得到以下经验公式: (3.281) ⎧1−0.3exp(α −α1 ) α ≤α ⎪S1 f =⎪ 1 ⎨ α −α ⎪0.04+0.66exp( 1 ) α ≥α 其中，参数α1,S1,S2 是翼型形状和马赫数函数。因此，准静态分离点只是攻角的函数。对于非定常流，两种物理现象决定分离点特性[1]:1)压强响应的滞后效应，2)非定常附面层的滞后。为反映非定常压强滞后，对攻角作如下修正: ⎪S ⎩2 1 其中， f C1 C′ =C −D N α =C′ (3.282) (3.283) (3.284) N Nn pn Dpn = Dpn−1 exp(−Δs Tp ) + (CNn − CNn−1 ) exp(−Δs 2Tp ) α 的值用来计算压强修正后的分离点 f ' 。为了对附面层影响进行修正，对 f ' 再做如下修 f 正， f′′= f′−Dfn D =D exp(−ΔsT)+(f′−f′)exp(−Δs2T) (3.285) (3.286) fnfn−1 fnn−1 f 107 时间常数Tp 和Tf 与马赫数有关，但对翼型形状不敏感。 f " 是等效非定常分离点参数，它被用于确定分离流的总载荷。在本程序中，法向力和弦向力修正是在计算中通过对升力线斜率修正来实现的，即 ⎛1+ f⎞2 C ==>C ⎜ ⎟ 对L
(3.287)
(3.288)
(3.289)
11⎜2⎟w ⎝⎠
C1 ==>C1 f 对Lv 分离条件下的俯仰力矩增量被直接加到 Mφ 的附着流结果上。
当发生总体分离时，对阻力 Lv 做进一步修正[9]: C1 ==>C1 fΦ
其中，
Φ= f′′exp(K (C′ −C1 ) 2) fNN
(3.290) 式中，K 是与马赫数有关的经验系数。C1 是与马赫数有关的失速边界参数，它大致等于
fN
静态最大法向力系数。只有当 f ′ < 0.7且C′ > C1 时，才采用总体分离系数Φ。这种情况 NN
才定义为“总体”分离。
3.3.7 动态失速公式
叶素非定常气动模型的最后一步是动态失速公式。这要求准确反映多个物理现象，例如，漩涡诱导升力大小，气流从前缘分离条件，漩涡流经弦向并消散于尾流的时间历程。实验结果[1]显示，额外的漩涡升力与附着流升力与分离流升力之差有关。这里采用的模型令额外升力按指数衰减，还考虑到每个时间步的瞬时增量。该模型数学表达式为
和
CNvn = CNvn−1 exp(−Δs Tv ) + (CVn − CVn−1 ) exp(−Δs 2Tv ) ⎡ ⎛1+ f⎞2⎤
(3.291)
(3.292)
C =CC ⎢1−⎜ ⎟ ⎥ V N⎢⎜2⎟⎥
⎣⎝⎠⎦
其中，CV 是漩涡引起的瞬时额外升力，CNV 是动态失速时间历程引起的升力增量。Tv 108

是只与马赫数有关，而与翼型形状无关的参数。判断漩涡前缘分离的标准与前缘压强梯度和翼型特性有关。根据压力相对于翼型法向力的滞后可以算出前缘压强系数Cn’ 。对于一个翼
型，可以计算出这个参数的极值 C1 。当 C ‘ > C1 时，漩涡在前缘分离。最后需要模拟的是 nnn
漩涡流经弦向的速率。实验表明，该速率大约等于来流速度的 1/2 到 1/3[1]。该速率还与马赫数有关。当漩涡到达后缘，并流入尾流时，它对翼型的影响迅速降低。对漩涡引起的升力幅值，以及漩涡流经翼弦过程加以监测，就得到动态失速条件下翼型升力特性的精确表示。
作为动态失速过程的直接结果，翼型俯仰力矩特性也发生变化。这可以通过改变翼型压心，使其移到 1/4 弦长后方来模拟，
(3.293)
其中，τ 是漩涡脱落后经过的一维时间，T 是漩涡流过翼弦的总时间。因此俯仰力矩增量 V VL
⎡⎧ ⎫⎤ CP =1 1+sin⎪π⎛τ −0.5⎞⎪
V ⎢ ⎨⎜V ⎟⎬⎥
4T
⎢ ⎪⎩ ⎝ VL ⎠⎭⎪⎥ ⎣⎦
就等于漩涡诱导升力乘以压心偏离 1/4 弦长的距离，即 C =−CPC
对漩涡法向力和俯仰力矩增量进行无量纲化后，与分离流结果相加，得到变形系外载荷的最终结果。和准定常分析一样，上述载荷也被转换到未变形系，然后加入到基于 Hamilton 原理的虚功表达式中。
前面 3 节提到了非定常模型所需的几个参数。它们基本上都是翼型静态载荷数据的函数。对于 NACA0012 翼型，程序在 SUBROUTINE AIRFLS 和 INITAF 中给出了这些参数的取值。
研究表明，参数T ,T ,T ,T 对翼型形状不太敏感，因此，NACA0012 的结果可以用于其它 p f v VL
翼型。
为了反映模型各部分之间的相互影响，对模型进行和一些修正，主要是改变Tf ,Tv 这两
个时间常数。其中Tf 与后缘分离有关，Tv 与漩涡升力有关。所做的修正包括中等变距角速
率对分离的抑制作用，以及漩涡后缘分离或漩涡流经翼型弦向过程中引起的俯仰力矩方向改
变导致的后缘分离加速。通过监测前缘压强C’ 来模拟气流再附着。当C’ 小于C1 时，就开 nnN
始再附着。算法中加入了适当的逻辑判断来反映上述现象[1]。
MV VNV
(3.294)
109

3.4 非定常气动模型的实现
3.4.1 沉浮和变距角速率引起的环量升力
非定常气动载荷计算中，最重要的一方面就是建立任意激励的数值算法。旋翼分析对计算效率要求较高，因此，选用的算法必须容易实现、计算效率高、精度高、对方位角(时间)步长大小不敏感。
对于非定常线化可压流，法向力的环量部分在时域内可以写成:
Nt(t)=1ρU2(t)C (M)α (t)c (3.295) n 2 nα E
其中，n是对应第n个方位角的当前时间采样点。如果桨叶单元速度为常数(或桨叶作低频运动)，非定常升力和力矩就可以简化成 3/4 弦长处等效攻角的函数。这对于直升机旋翼来说是合理的，因此，通过去除大量的衰减函数(deficiency function)，模型得到很大简化。
(3.296)
(3.297)
其中，U P 是 3/4c 处等效的随时间变化的下洗速度，这反映了脱落的尾流的影响。注意，如
果 α E 为正值的话，那么 U P 必须为负。如果翼型做任意的沉浮 ( h& )、变距 ( α )、以及绕 3/4c 做变距角速率( q )运动的话，则 3/4c 处瞬时准定常下洗速度 w 可以写成:
&
cU&
其中， Q = − α& 2 ( f t / s e c )。因为 q = α& c U ，所以 Q = − q 2 。 q , Q , h , w , U P 的方向定义参
3/4 弦长处的等效攻角αE 可以用 3/4 弦长处下洗速度UP 来表示: αE (t) = arcsin −UP (t) = arctan −UP (t) ≈ −UP (t)
U(t) UT (t) UT (t) Nc (t) ≈ −1ρU(t)C U (t)c
代人 3.295 式，可得:
n 2 nα P
w=αU +Q+h (3.298) UP =−w (3.299)
见图 3.5。为了计算脱离尾流对 w 影响的时间历程，可以采用杜哈默积分，
w(S)=w(0)φc(S,M)+∫S dw(σ)φc(S−σ,M)dσ
(3.300)
(3.301)
h & dσ&
h0
−U (S)=−U (0)φc(S,M)+∫S −dUp(σ)φc(S−σ,M)dσ
p ph& 0dσh& 110

其中， σ 是时间变量哑元， φ c 是环量阶跃升力响应函数。变量 S 表示翼型经过的距离除以 &
半弦长，它与速度时间曲线下方面积成正比，即
S = ∫otU(t)dt (3.302) c2
其中，U 是桨叶截面上的 2D 合速度。注意，我们可以把 S 用无量纲时间ψ 来表示，即
图 3.5 翼型上的气流速度
S=∫ψU(ψ)dψ ≈∫ψUT(ψ)dψ (3.303)
oo
Ωc 2 Ωc 2
其中， Ω 是旋翼转动的角速度。
将下洗流表达式(3.301 式)代入 3.300 式中的杜哈默积分，然后再对最终积分作零阶
h
有限差分近似。令当前取样点为 n ，可得:
w = n
∑n i=0
UΔα −X(1) −Y(1) + iinn
∑n i=0
αΔU −X(2) −Y(2) iinn
(3.304)
(3.305)
+∑n ΔQ−X(3)−Y(3)
inn i=0
∑n
+ Δh−X(4)−Y(4)
&
inn i=0
其中， X ( j ) , Y ( j ) ， j = 1, 2, 3, 4 项叫做“亏减”函数(deficiency function)。它们代表了非定 n
常脱落尾流存在导致的相应的准定常结果的降低。
下节将指出，亏减函数可以写成如下形式的单步递归关系:
X(j) =X(j) exp(−bβ2ΔS)+AΔ(j) n n−1 1 1
(3.306)
111

Y( j) =Y( j) exp(−b β2ΔS)+ A Δ( j) n n−1 2 2
其中， Δ( j ) 项可以写成:
Δ(1) =U Δα ， Δ(2) =α ΔU
(3.307)
Δ(3) =ΔQ， Δ(4) =Δh nn
在采样的时间内，翼型经过的距离增量 ΔS 为， ΔS = ∫t+ΔtUdt
t
c2
采用梯形积分法计算上式积分，可得，
(3.308)
(3.309)
nn nn
ΔS=(Un +Un−1)Δt c 如果假设Un在每个时间步之间变化很小，那么有ΔUn ≈0。3.304式可以改写为:
&
∑n
−U = UΔα −X(1) −Y(1)
(3.310)
(3.311)
由于一系列攻角(通常包括了沉浮速度)和绕 1/4c 的变距角速率的阶跃输入所产生的环量法向力为:
Cc =C (M)(−UP) (3.312)
P n
iinn i=0
+∑n Δq −X(3) −Y(3)
inn i=0
∑n
+ Δh−X(4)−Y(4)
nn nα
&
inn i=0
U
其中，n是当前时间步。法向升力线斜率Cnα (M)从数据表中得到。最后，第n个时间步的
环量法向力可以写成:
T
Nc =1ρUC (−U −X −Y) n2nnPnn
Cc =C (−U −X −Y) nnPnn
αn
X =X exp(−bβ2ΔS)+AΔU exp( 1 n n−1 1 1 P
3/4c 处下洗速度从前一个时间步到当前时间步的变化为: 112
2
)
αn
(3.313) (3.314)
(3.315)
−bβ2ΔS
n

ΔUP =UP −UP (3.316) n n n−1
因为我们用UPn 代替了αEn ，3.315 式中的亏减函数表示了非定常气动效应引起的 3/4c 处诱导下洗速度的亏减。亏减函数还包含了脱落尾流效应的时间历程的所有信息。
&
其中，
因此，对于任意的时变激励(α,q,h,U)的总响应可以通过更新每个时间步的亏减函
脱
脱落
落
尾
尾流
流
的
的
影
推导 X n 和 Yn
影
响
响
图 3.6 脱落尾流产生的诱导速度会减小下洗速度U P ，从而减小等效攻角。数Xn,Yn 来得到。在推导俯仰力矩项的数值算法时，采用了类似方法。
Cn =CnααE αE ≈ −UP
−UP =φ(s)(−UP(0))+∫Sφ(S−σ)−dUP dσ 0 dσ
(3.317)
(3.318)
(3.319) (3.320)
UT
≈∑n φ(Sn −Sm)(−UP −UP )
m=1
φ(S −S )=1−Aexp(−bβ2(S −S ))−A exp(−bβ2(S −S )) nm11nm22nm
113
m m−1

∑n ∑n nmPP
φ(S −S )(−Um +Um−1)= (−Um +Um−1)
m=1 m=1
−A (−U +U )exp(−bβ2(S −S ))
∑n
1 m=1
PP1nm m m−1
PP
(3.321) −A (−U +U )exp(−bβ2(S −S ))
=(−Up −Xn −Yn)
U P 是 3/4c 准定常下洗速度(图 3.6)。 X n 和 Yn 叫做亏减函数，它们表示在 t = n 时刻，由
于脱落漩涡引起的U P 的降低。图 3.7 显示了亏减的概念。从 3.321 式中可以定义 X n 和Yn 为:
时间 t (a)升力亏减的物理含义。UP(0)是在时间步n之前的基准下洗速度。UP 是n时刻可达
n
到的最大下洗速度。X n , Yn 表示由于脱落尾流的反馈效应，导致相对于最大下洗速度的亏减。
时间
(b)亏减函数Xn,Yn和Dn ‘表示了脱落涡引起的第n个时间步的准定常升力的亏减图 3.7 亏减函数概念
∑n
2
m=1
PP2nm m m−1
相
相
对
对
于
114
于
最
最大
大下
下洗
洗速
速
度
度
的
的亏
亏
减
减
法
法
向
向
升
升
力
力
系
系
数
数

X =A∑n−1−(U −U )e(−b1β2(Sn−Sm)) n1PP
m=1
Yn =A2∑n−1−(UP −UP )e(−b2β2(Sn−Sm))
m m−1
m =1
将 X n 的求和表达式的最后一项分离出来，得到:
1P1P
m m−1
X =A∑n−1−(U −U )e(−b1β2(Sn−Sm))+A⎡−(U −U )⎤e(−b1β2(Sn−Sm)) n1PP 1⎣PP⎦
m=1
m m−1
n n−1
=A∑n−1−(U −U )e(−b1β2(Sn−Sn−1+Sn−1−Sm))+A⎡−(U −U )⎤ 1PP 1⎣PP⎦
m =1 m m −1
=A∑n−1−ΔU e(−b1β2ΔS)e(−b1β2(Sn−Sm)) +A(−ΔU )
n n−1
( 3 . 3 2 2 )
mn
m=1
=X e(−b1β2ΔS)+A(−ΔU ) n−1 1 P
n
图3.8 计算ψ =n时刻，沿桨叶展向高斯积分点上的速度UP,UT ,q 引入半步数值因子(half-step numerical factor)，
ΔS X =X exp(−bβ2ΔS)+A(−ΔU )exp(−bβ2 2 )
(3.323)
n n−1 1 1 P 1 采用同样方法可以得到Yn 的表达式。
115
空
分点
空
高
间高间
积
点
斯
斯积
分
时间高斯积分点

在时间有限元中实现升力亏减函数 X n 和 Yn 在实现时间有限元法时，旋翼转动一个周期被分成 NTELT 个时间单元(图 3.8)。在
一个时间单元内，只计算 NGAUSS 个高斯积分点上的桨叶位移。在每个时间高斯积分点处，计算沿桨叶半径上所有的空间高斯积分点上的速度UP ,UT ,Q 。空间高斯积分点处的速度叫
做UPn ，下标 n 表示第 n 个方位角。当时间步 n 的速度计算好后，它们被存储在UPn−1 中，然后数值算法继续推进到下一个时间高斯积分点的方位角。(在 SUBROUTINE AEROMX 中，
UPn−1 叫做UPMAT(L,M)，其中L是空间单元数，M是空间高斯积分点数。在子程序中，在 n −1位置处的所有速度的名称中，都含有后缀 MAT 来表明它们是矩阵，只有在时间 n −1
的速度需要被存储。)附着流非定常气动计算所需的速度包括:
U =UPn:1/4c处的下洗速度 P ΩR
n
= UTn :1/4c 处的切向速度 Tn ΩR
Q =−α&c =−qc:变距角速率q引起的3/4c处的下洗速度
3.4.2 沉浮引起的脉冲升力
采用和前一节类似的方法，可以用 first-order hold numerical scheme 计算非环量(脉冲) 法向力系数。攻角变化引起的法向力系数可以写成:
U
U
1n
= U P :3/4c 处的下洗速度
P ΩR 1n
n22
Ci = 4α ≈−4UP =−4UPαs nMEMUU2
(3.324)
−U =φi(s)(−U (0))+∫Sφi(S−σ)−dUP dσ
TT
Php0h
dσ
∫ S L d σ = ∑n φ i ( S − S ) ( − U + U )
0
hnmPP
m m−1
m=1
φi(S −S )=exp(−(Sn −Sm))
ˆ
4kT−ΔU−D 4kc ˆ
hnm
2Mkh
Ci = h 1( Pn n)= h (−ΔU −D)
(3.325)
上式中，
nMUU2Pn nn
Tn
Tn
116

ˆ UP−UP ΔU = n n−1
(3.326)
(3.327)
−ΔψR ˆ ˆ −ΔψR
= Dn−1 exp(k M c)+[(−ΔUP )−(−ΔUP )]exp(2k M c) (3.328)
P n
Δψ
亏减函数 Dn 等于:
Dn = Dn−1 exp(k T )+[(−ΔUP )−(−ΔUP )]exp(2k T )
hI hI
−Δt ˆ ˆ −Δt n n−1
h tip
其中，ψ =Ωt，Mtip =ΩR。
3.4.3 变距角速率引起的脉冲升力
变距角速率变化引起的法向力系数可以写成:
h
tip
Ci =1=qαs
(3.329)
上式中，
nq
MU
q=φi(s)q(0)+∫Sφi(S−σ) q dσ
q
q
∫ S L d σ = ∑n φ i ( S − S ) ( q − q )
T
n n−1
0
0
dσ
q n m m m−1 m=1
φi(S −S )=exp(−(Sn −Sm))
qnm
2Mkq Ci =kqTI (Δqˆ −D3)=kqc(Δqˆ −D3)
其中，
nn M n n U n n Tn
(3.330)
( 3 . 3 3 1 )
(3.332)
(3.333)
Δ qˆ = ( q n − q n − 1 )
n
Δψ
亏减函数 Dn3 等于:
D3 =D3 exp(−Δt)+(Δqˆ −Δqˆ )exp( −Δt )
n n−1 kT n n−1 2kT qI qI
=D3 exp(−ΔψR)+(Δqˆ −Δqˆ )exp( −ΔψR ) n−1 kqMtipc n n−1 2kqMtipc
117

3.328 和 3.333 式中的非环量亏减函数反映了象波一样的压强扰动的积累对对气动载荷的时间历程效应。
非环量时间常数TI = c a决定了压强扰动传播引起的载荷的衰减。系数kh 和kq 与特定的载荷分量有关，其激励模式的推导可见文献[1]。基于实验数据，对这些时间常数施加 25%
的缩减后，可以写成:
k = 0.75
h (1−M)+πβM2(Ab +Ab )
(3.334)
(3.335)
11 22 k= 0.75
q (1−M)+2πβM2(Ab +Ab ) 11 22
附着(势)流条件下，总的法向力系数 Cn 等于环量和非环量部分之和，即: C =Ci +Ci +Cc
(3.336) 式中右边各项分别为脉冲沉浮运动贡献，脉冲变距角速率贡献，环量沉浮和变距角速率贡献。
nn nn qn nn
3.4.4 环量沉浮和变距速率引起的非定常俯仰力矩由于一系列攻角阶跃输入引起的绕 1/4c 的俯仰力矩的环量部分可以写成:
它还可以写成:
c c π( (5))c Cmn =Cm0 +(0.25−xac)Cnn −8β qn −X U
Cc =C +kCc −π(q−X(5))c mn m0 0nn 8βn U
(3.337)
(3.338)
其中，Cm0 是零升力矩系数。3.338式右边第2项表示气动中心偏离1/4c轴引起的俯仰力矩。 k0的值(=0.25−xac)可通过查表得到，它由subroutine AIRFLS提供。因为对于所有翼型来说， k0 通常小于 0.02，因此软件中将第 2 项忽略。第 3 项代表瞬时等效诱导弯度引起
的俯仰力矩，亏减函数 X (5) 通过如下迭代算法得到:
⎛−b β2ΔS⎞ (5) (5) ( 2 ) ⎜ 5 ⎟
X =X exp−bβΔS+AΔqexp⎜ ⎟ (3.339) n n−1 5 5 n ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎝2⎠
118

其中ΔS 是在采样时间间隔内，翼型经过的距离(单位为半弦长)增量，定义见 3.309 式。此外，Δqn 表达式为:
Δqn =qn −qn−1 (3.340) 3.4.5 脉冲沉浮引起的非定常俯仰力矩
非环量俯仰力矩分量也是采用first-order hold numerical scheme来得到。攻角改变引起的非环量俯仰力矩系数可以写成:
(3.341) (3.342)
i −kmhTI{(ˆ 4) (ˆ 5)} Cm = Ab −ΔU −D +Ab −ΔU −D
nM33pn44Pn
i −kmhc{ ( ˆ 4) ( ˆ 5)} Cm = Ab −ΔU −D +Ab −ΔU −D
nM33pn44Pn
其中，亏减函数 Dn4 和 Dn5 表达式为:
⎛⎞ ⎛⎞ 4 4 ⎜ −ΔψR ⎟ ⎜ −ΔψR ⎟
⎟ˆˆ ⎟ D=Dexp⎜ ⎟−ΔU−ΔU exp⎜ ⎟
)⎜⎟ ⎜bk M c⎟ n n−1 ⎜2bk M c⎟
n n−1 ⎜ ⎟( ⎝ 3 mh tip ⎠
PP
⎝ 3 mh tip ⎠(3.343)
⎛⎞ ⎛⎞ 5 5 ⎜ −ΔψR ⎟ ⎜ −ΔψR ⎟
⎟ˆˆ ⎟ D=Dexp⎜ ⎟−ΔU−ΔU exp⎜ ⎟
n n−1 ⎜ ⎟( ⎝ 4 mh tip ⎠
3.4.6 脉冲俯仰角速率引起的非定常俯仰力矩俯仰角速率改变引起的非环量俯仰力矩系数可以写成:
)⎜⎟ ⎜bk M c⎟ n n−1 ⎜2bk M c⎟
亏减函数 Dn6 表达式为: D6 =D6
⎛⎞ ⎛⎞
Ci =−7kqTI (Δqˆ −D6) mqn 12M n n
= − 7 k q c ( Δ qˆ − D 6 )
⎛Δq −Δq ⎞
(3.344)
(3.345)
(3.346)
n n−1
⎜⎟ ⎜⎟ exp ⎟+(Δqˆ −Δqˆ )exp ⎟ ⎜ ⎟ n n−1 ⎜ ⎟
n⎜ ⎟ ⎝ Δψ ⎠
PP
⎝ 4 mh
tip ⎠
式中，
12UTn
nn
⎜n n−1⎟ Δqˆ=⎜ ⎟
⎜−ΔψR⎟ ⎜ −ΔψR ⎟
⎜k M c⎟ ⎜2k M c⎟ ⎜⎜
⎝ mq tip ⎠
⎝ mq tip ⎠
119

对于升力响应，决定压强扰动传播引起的载荷衰减的基本非环量时间常数为 TI = c as 。系数kmh 和kmq 与特定的载荷分量及其激励模式有关。总之，上述非环量时间常数可以写成马赫数的函数:
km = h
k = m q
0.8(Ab +Ab) 3 4 4 3
bb (1−M) 34
5.6
1 5 (1 − M ) + 3 π β M 2 A b 55
(3.347) (3.348)
其中，kmh 和kmq 都被调整过，以体现比3.267和3.275式给出的值要低20%[1]。附着(势)流条件下，总的俯仰力矩系数Cm 等于环量和非环量部分之和，即:
图 3.9 非定常压差阻力
C = Ci + Ci + Cc (3.349)
mn mn mqn mn
式中右边各项分别为脉冲沉浮运动贡献，脉冲变距角速率贡献，环量沉浮运动的贡献。
3.4.7 非定常阻力
旋翼桨叶面内(摆振)自由度的刚度和等效阻尼远低于固定翼飞机。挥舞和扭转自由度主要受升力和俯仰力矩影响，而摆振自由度则受阻力影响很大。此外，桨叶摆振运动还可能与挥舞或扭转自由度耦合，从而导致桨叶气动弹性不稳定。上述耦合效应是哥氏力以及气动载荷共同作用的结果。因此，对于旋翼综合分析软件来说，有必要包括所有 3 个自由度的气动载荷。
120

稳态流动条件下，压差阻力系数Cdp 可以通过将法向力和弦向力(有时称为前缘吸力) 系数通过攻角进行分解得到(图 3.9):
Cdp =Cn sinα−Cc cosα (3.350) 在稳态势流中，压差阻力Cdp 等于零，即
Cdp =Cn sinα−Cc cosα=0 (3.351) 在真实气流中，由于粘性效应对弦向压强分布的影响，翼型上总是存在压差阻力。翼型无法
获得 100%的前缘吸力这一现象可以通过恢复系数 η 来模拟，即:
Cc =ηCn tanα (3.352)
其中， η 的值可以根据需要加以调整，从而获得与静态弦向力和/或阻力实验数据的最佳拟合结果。一般来说，对于旋翼翼型， η 的值大约在 0.95 到 0.97 之间。
粘性(剪应力)阻力由 Cd 0 表示，它是马赫数的函数。不过，在攻角小于失速攻角时，它的值基本不变。因此，稳态气流中的总阻力等于压差阻力和粘性阻力之和:
Cd =Cd0 +Cdp =Cd0 +(Cn sinα−Cc cosα) 式中， Cd 0 和 η 的值通过查表得到，它们是 subroutine AIRFLS 计算。
上面的Cd 表达式通常可以写成:
Cd =Cd0 +d1α+d2α2
其中，d1,d2可用η，C0，C1表示。
Cc =ηCn tanα≈ηCnα
(3.353)
(3.354)
(3.355)
(3.356)
(3.357)
从上式中可以看出，
Cd =Cd0 +Cn sinα−Cc cosα
≈Cd0 +Cnα−ηCnα
=Cd0 +(1−η)Cnα
=Cd0 +(1−η)(C0 +C1α)α
=C +(1−η)Cα+(1−η)Cα2 d001
d1 =(1−η)C0
121

d2 =(1−η)C1 (3.358)
因为 C1 是通过 Prandtl-Glauert 修正因子 β 来进行马赫数修正，因此 d1 , d2 本身就做了马赫数修正。
非定常弦向力系数Cc (t)只与载荷的环量部分有关。因此没有非环量弦向力。这可以通过环量和非环量压强载荷来证明。标准薄翼型理论给出的环量形式为:
ΔCc (x)=4α 1−x/c (3.359)
x/c
式中，αE 是沉浮和变距角速度运动引起的环量下洗在 3/4c 处的等效攻角。环量表达式在前
缘处存在压强奇异点，因此不管等效攻角取什么值，总是得到这种形式的压强分布。非环量表达式(在 0 时刻)由活塞理论给出:
Δ C ip ( x ) = 4 α ( 3 . 3 6 0 ) M
随着压力波从翼型传播开了，初始载荷也随时间变化，但是，在任何时刻都不存在前缘奇异。因此，如果我们考虑前缘吸力的一般表达式，
pE
π ⎧⎪ x⎫⎪ C= lim⎪ΔC2 ⎪
⎨⎬ c 8x/c→0⎪ p c⎪
(3.361)
(3.362)
⎪⎩
⎪⎭
并加入环量载荷(具有前缘奇异)，就得到:
8 ⎪⎩ ⎝ c⎠⎪⎭ 非定常弦向力可以直接从定常结果得到，只要用瞬时等效攻角 αE 代替攻角 α ，
⎧ ⎛ ⎞⎫ π⎪2x⎪2
⎪ ⎜ ⎟⎪
C = lim 16(α ) 1− =2π(α )
c ⎨E⎜⎟⎬E x/c→0⎪ ⎜ ⎟⎪
Cc(t)=ηCn(t)tan(αE)≈ηCnα (αE)2 α 进行分解得到的(图 3.9):
(3.363) 注意，非环量载荷不出现在上式中。非定常压差阻力是通过总法向力和弦向力系数通过攻角
Cd (t)=Cd0 +(Cn (t)sinα−Cc (t)cosα) (3.364) 需要说明的是，非定常法向力Cn (t)包括环量和非环量分量。此外，由于法向力和弦向
力分量之间存在相位差，因此在非定常(势流)条件下，瞬时压差阻力实际上可能会是负值。
122

3.4.8 对准定常气动载荷做非定常修正
亏减函数 X n , Yn , Dn 修正了变形后坐标系的气动载荷 Lw , Lv 和俯仰力矩 M ˆ 。 ψn 时刻
总的环量升力 Lw 等于准定常升力减去升力亏减: L = γ U2C α
φ
(3.365)
(3.366)
(3.367)
w 6a T nα E =γUTCn (−UP)
6a α
Lw =γUTCn (−UP−Xn−Yn)
n 6a α
γ⎡−U U ⎤
⎢⎥ = T C U − T C (X +Y )
6⎢anαP anα n n⎥ ⎣⎦
总的WB0 = γ ⎡准定常WB0−WB0亏减量 ⎤ 6⎣⎦
因此，
WB0=WB0−(X +Y)UTCnα
nn
a WB0是ψ处的一个常数，但是，正如在准定常气动一节中所说的， WB0要乘以转换矩阵
T3−1 中的常数项、位移的线性项和 ε2 非线性项:
WB0乘以T3−1中的常数项就加到线性力向量EQ中。
WB0乘以T3−1中的位移线性项就加到刚度矩阵K 中。
WB0乘以T3−1中的ε2项就加到非线性力向量EQ中。
总的环量升力 Lw 还要减去脉冲沉浮亏减函数 Dn 和脉冲变距角速率亏减函数 Dn3 的影响。
(3.368)
(变距角速率)
其中，c1 是升力线斜率，c = Rc 是弦长相对于桨叶半径的无量纲化。3.325 和 3.330 式中分母
上的速度UT 与 3.382 式中分子中的UT 相互抵消。 123
(ˆ )4kc WB0=WB0+ ΔUP1n −Dn h (沉浮)
c1 +(Δqˆ −D3)kqc
n n c1

前面已指出过，弦向力 Lv 只是要减去非定常环量沉浮载荷，而不用减去脉冲载荷。
VB0=VB0−(C0 −d1)UT (Xn +Yn) (沉浮)
(3.369) 和WB0一样，非定常VB0影响线性力向量EQ，刚度矩阵K 和非线性力向量EQ。
⎡2⎤ +(C1−d2)⎢2UP(Xn +Yn)+(Xn +Yn)⎥ (沉浮)
⎣⎦
对俯仰力矩进行如下修正，以反映沉浮和变距角速率引起的非定常环量俯仰力矩亏减:
AM0=AM0−f1(Xn +Yn) (沉浮) Tn
(3.370) 俯仰力矩还要进行如下修正以反映沉浮和脉冲变距角速率引起的非定常脉冲俯仰力矩
+πU X5 (变距角速率) 8aβ
亏减:
AM0=AM0− k Ab ΔU −D4 c()
(沉浮)
(沉浮) (3.371) (变距角速率)
aRmh33 P n
+ k Ab ΔU −D5 c()
aRmh44 P n + k Δq −D6
7c ( ) 12aR mq n n
非定常 AM 0 同样也会影响线性力向量 EQ ，刚度矩阵 K 和非线性力向量 EQ 。 3.4.9 定常和非定常气流分离的实现
非线性气流分离模型是在subroutine AEROMX中进行的。算法设计时，考虑了用户可以从 4 个层次定义气动模型:
1. 完全附着流气动模型，准定常或非定常(ITESEP = 2)
2. 非线性气动模型，只考虑静态后缘分离效应(ITESEP = 0)
3. 非线性气动模型，考虑非定常后缘气流分离(ITESEP = 1)
4. 非线性气动模型，考虑非定常后缘气流分离以及动态失速(ITESEP = 1，且 IVORTEX
= 1) 这使用户可以单独研究非线性气动力和动态失速对旋翼载荷或桨叶响应的影响。不过选项 2 和 3 只考虑后缘分离的影响，它们在物理上是不真实的，因此使用时必须注意。通常，只应选择1或4。
124

3.4.10 准定常后缘分离系数
3.4.9 节中选项 2 表示了引入翼型非定常气动效应的最简单的办法:在假想的准定常流动下，气流在后缘分离。在高 CT σ 悬停时，这个选项没有问题，但是对于高速前飞时后行桨叶失速就不符合实际情况了。这里采用简单的失速模型，它基于 Kirchhoff 理论，即法向力系数 Cn 可以近似表示为:
C =C (M)⎜ ⎟ α
⎛1+ f⎞2 ⎜⎟
(3.372) 其中，C1(M)是法向力曲线斜率， f 是后缘分离点(相对于弦长无量纲化)，α是攻角。
因此，如果可以确定分离点的话，法向力系数就可以方便地算出来。α 是相对于零升攻角，
图 10 分离点和攻角的一般关系
α = α − α0 。
为实现上述算法，必须确定分离点 f 和攻角α之间的关系。等效分离点 f 可以从静
n1⎜⎟
⎜ 2 ⎟ ⎝⎠
态 Cn 随 α 变化的测量结果中推断出来，通过将 3.372 式重新整理，求出 f ，
由于在每个马赫数下， f 和 α 的经验关系相似，因此采用图 3.10 中的曲线拟合就可以得到如下一般关系式:
⎛ C ⎞⎟2 ⎜⎟
f =⎜2 n ⎜⎟ ⎜ C (α−α) ⎟ ⎝ nα 0 ⎠
⎧⎪
f =⎪ 1−0.3exp ((α−α0)−α1)/S1
−1⎟
(3.373)
{} ⎪ ⎪⎩ 0 . 0 4 + 0 . 6 6 { ( α 1 − ( α − α 0 ) ) / S 2 }
if α≤α1 i f α > α 1
⎨⎪
(3.374)
125

系数 S1, S2 定义了静态失速特性，并且确定失速是逐渐发生还是突然发生。 α1 定义了
f =0.7时的断点。该点只是为了方便而定义的;f ≈0.7较好地对应了绝大多数翼型截面
的静态失速攻角。根据静态升力数据，确定不同马赫数下的参数 S1 , S2 和 α1 的值。这些值作为气动模型的输入参数，并存储于 subroutine AIRFLS 和 INITAF 中。
从后缘失速问题的Kirchhoff解中还可以推出弦向力Cc 的表达式。根据Kirchhoff理论，小攻角下的弦向力可以写成:
其中，系数应:
2
Cc =Cnα (αf ) f (3.375)
f 反映了后缘分离的影响。对 3.375 式进一步修正，通过系数 η 来反映粘性效 2
Cc =ηCnα (αf ) f (3.376) 因为即使气流没有分离，翼型也不会产生和势流条件下一样多的弦向力，因此必须包括系数 η 。在程序中，对于 NACA0012 翼型， η = 0.97 。这个值对于绝大多数现役的旋翼翼型都
适用。
在 AEROMX 中，Kirchhoff 气流分离对弦向力 Cc 的影响是通过对系数修正
(C1MD2=C1−d2)来实现的。下面介绍如何推导 f影响Cc，即C1−d2。根据 3.358 式，
或者
d2 =(1−η)C1 C1−d2 =ηC1
(C −d )α2 =ηCα2 =C 121c
(3.377)
(3.378)
(3.379)
因此，在AEROMX中，可以通过将C1−d2乘以 f来体现气流分离对弦向力Cc的影响。
(C −d )α2 f =ηCα2 f =C (3.380) 121c
(C1−d2) f =ηC1 f
(3.381)
126

3.4.11 非定常后缘分离系数
非定常前缘压强
在非定常条件下，Cn (t ) 相对于攻角变化存在滞后;不过前缘压强响应相对于 Cn (t ) 也存在滞后。压强响应滞后可以很显著，特别是当频率增加时。因此，当攻角增加时，前缘压强响应滞后会导致要到更大的Cn 才会到达临界压强状态，即要比准定常状态的攻角更高。这对于亚临界和超临界流都成立。这导致动态失速发生的整体推迟，因此必须正确模拟。
为了实现非定常条件下的临界压强准则，可以对 Cn (t ) 施加一阶滞后，从而产生替代值C’ (t)，并假定对于压强的任何修正必须同样施加到C’ (t)上。对于离散取样系统，对
nn Cn (t ) 的修正可以写成如下数值形式:
Cnn = Cnn −Dpn (3.382) ′()
其中，只对法向力系数Cn 的环量部分施加滞后。对于非定常流，采用非定常速度UP 而不 UN
是准定常速度UP 来对Cn 进行修正。在 AEROMX 中，非定常流中的Cn 和UP
n nUN
UP =UPn +Xn +Yn UNn
C =dU2 +CU2−(C+d)UU nn 1P 0Tn 10TnP
定义如下: (3.383) (3.384)
(3.385)
亏减函数与3.4.1节推导的Xn,Yn 具有类似的一阶滞后形式。时间常数Tp 用翼型经过的半弦长来表示。
在动态条件下，当C’ (t)超过临界C (M)时，就会发生前缘/激波引起的分离。这意味 n n1
着当缩减频率增加(或变距角速率增加)时，前缘分离发生被推迟到更高的攻角，这是实验中观察到的现象。
前面提到的对前缘压强施加的滞后模拟了一种物理现象，就是翼型上的压强相对于升力和翼型运动都滞后。升力滞后量被监测，并且当达到临界值时，就启动前缘或激波引起的失
在离散时间域中，3.382 式中的亏减函数 DP 可以写成:
UNn UNn
Pn Pn−1 ⎟(
)⎟ ⎜
⎛−ΔS⎞ ⎛−ΔS⎞ ⎜⎟cc⎜⎟
⎟⎟ D=Dexp⎜ +C−Cexp⎜
⎜
⎜ T ⎟ ⎜ 2T ⎟
⎟⎟ ⎝p⎠ ⎝p⎠
127
nn
n n−1

速发生。
需要指出的是，时间常数Tp 是马赫数的函数，对于某一翼型，必须通过非定常实验数
据得到。通常的做法是:绘制翼型未失速条件下，前缘附近的非定常压力测量结果随非定常升力测量结果的变化曲线。Subroutine AIRFLS给出了一定马赫数范围内，NACA0012翼型
的Tp 的值。研究表明，Tp 的值与翼型形状无关。对做变距振动的多种旋翼翼型所做的分析也可以得到类似结论。因此，对于某种翼型，在缺乏非定常数据时，可以采用 NACA0012
的Tp 值。确定压强滞后分离点
为了确定非定常后缘分离点，首先采用翼型非定常前缘压强响应(通过 3.382 式)来确定等效攻角αf ，该攻角可以产生和准定常条件下相同的非定常前缘压强状态:
α (t)= Cn′(t) 180 (3.386)
f
Cnα SLC π
其中，SLC 是参考升力线斜率，通常令它等于 C1 。 α f 是相对于零升攻角来 α0 ，即
αf (t)=αf (t)−α0 (3.387) 然后，将得到的 α f 用来确定等效分离点 f ′ 。只要将 Kirchhoff 静态气流分离原理给出的 f 与α的关系式中的 f 用 f ′代替，αf 用α代替即可:
⎧⎪
⎪ 1−0.3exp{(α −α /S
} ⎪0
)
f′=⎨⎪0.04+0.66exp{(α1−αf )/S2} 若αf >α1且αf <−α1 升力失速(3.388) f1 1 若α ≤α且α ≥−α 未失速 f1f1 ⎪ ⎪⎩ 0.04 若αf >+o或−60
类似地，α 的值被用来确定力矩失速时的等效分离点 f ′ 。同样采用 f ′ 与 α 的关系式，只 fmf
是将 f ′ 用 f ′ 代替。 m
⎪ ⎪0
⎧⎪
⎪1−0.3exp{(α −α
}
m ⎪ 1m f 2 f 1m f 1m
)
f ′ =⎨⎪0.04+0.66exp{(α − α )/ S } 若α >α 且α <−α 力矩失速(3.389) f 1m /S 1 若α ≤α 且α ≥−α 未失速 f 1m f 1m ⎪⎩0.04 若αf >+o或−60 其中，α1m 近似等于静态力矩失速攻角。
128

非线性后缘分离修正
上述算法假设翼型上瞬时等效压强分布决定附面层响应。尽管这个算法导致分离点位置随攻角变化曲线呈滞回性，但它没有体现对附面层响应的额外的非定常效应。
对于粘性流，Prandtl 提出一种类似于 Navier-Stokes 方程的简单的质量-弹簧-阻尼模型[8]。在极限情况下，当系统质量变得非常小时(等价于雷诺数很大)，可以用匹配渐进展开 (matched asymptotic expansion)得到控制微分方程的解。在这种方法中，外层展开代表外层(势)流动，内层展开代表对应的附面层的解，这个解是通过粘性来确定的。因此，根据 Prandtl 的类似模型，附面层方程呈现一阶系统的形式。
若假设系统输入前面分析中的分离点位置 f ′ ，那么受非定常效应影响的附面层响应额外滞后就可以表示为离散采样系统:
其中，亏减函数为:
Df
⎛⎞ ⎛⎞ ⎜ΔS ⎟ ⎜ΔS ⎟ ⎟′′⎟
n
fn′′= fn′−Dfn fmn′′= fmn′−Dfn
(3.390) (3.391)
(3.392)
= Df
exp⎜ ⎟+(f
exp⎜ )⎟
− f ⎜⎜
n−1 ⎟⎟
n
n−1
⎜T ⎟ ⎜2T⎟ ⎝f⎠ ⎝f⎠
对于Tp 来说，Tf 是与马赫数/雷诺数有关的时间常数，尽管经验显示，对于Tf 来说，相关
性比较弱。研究显示，Tf 的值与翼型形状无关。因此，对于某一翼型，如果没有现成的非
定常数据，就可以采用 NACA0012 翼型的Tf 值。最后，非定常气流分离效应就是减小准定常 2D 升力系数，弦向力，并且引入额外的俯
仰力矩。
非定常后缘分离对升力系数 C1 的影响
非定常气流分离效应就是减小准定常 2D 升力系数 C1M，C1(M)。在程序中，系数 C1PD0，(C1 +d0 )等于:
(3.393)
(C1 +d0)=C1(M)*⎝ 轻度分离和整体分离下的阻力修正
4
⎠ +d0
⎛ ⎞2
⎜ ′′⎟ 1+ f ⎟
⎜n ⎜⎟
129

气流分离对弦向力Cc 的影响已经在静态分离一节中介绍了，而且当处于中等分离时，弦向力表达式是满足要求的。当发生整体分离时，即 f < 0.7 ，Kirchhoff 表达式和实验结果相比，是不准确的。在深失速状态下，弦向力与 f 的相关性更高，而不是有鉴于此，深失速下的弦向力采用如下表达式: ⎧⎪2 ′ C =⎪ηCnα (αf ) f′′ 若Cn ≤Cn1 f 。 c⎨⎪2 ′ ⎪ηCα f′′若C>C
(3.394) 为防止 3.394 式中的弦向力出现不连续，当从一个表达式转换到另一个时，采用如下方法计
算弦向力:
⎪⎩nα(f) n n1 2
Cc=ηCnα(αf) f′′CTFACT 其中， f ′′ 要采用系数 CTFACT 来修正。
(3.395)
(3.396)
(3.397)
(3.398)
(C1−d2)=ηC1 f′′ CTFACT 参数 CTFACT 计算公式如下:
where 0≤GRDGCK ≤1
⎛GRDGCK ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
CTFACT = f ⎝2⎠ 式中，GRDGCK 等于:
GRDGCK =UNKF(Cn′−Cn1 )
UNKF 的值是一个常数，它是从某一翼型在一定马赫数下的静态弦向力(或阻力)数据中得到的经验系数。UNKF 存储于 subroutine AIRFLS 中。此外，GRDGCK 值的上限为 1。上述方程确保了弦向力的变化是连续的，不会产生突然的断点。此外，这些方程在定常和非定常
条件下都适用。在定常条件下，3.398 式中的 Cn’ 等于法向力 Cnα α 的稳态势流值。后缘分离引起的俯仰力矩的变化
从 Kirchhoff 理论中无法得到俯仰力矩特性的一般解析表达式，因此采用一种经验关系。采用翼型静态数据，某一攻角下的压心可以通过Cm Cn 之比(还要考虑零升力矩系数
Cm0 )来确定。通过绘制压心变化与分离点位置的曲线，然后采用低阶多项式来拟合。下面给出一种合适的拟合形式:
130

Cm ( ′′) ( ′′2)
C =k0+k1 1−fm +k2sinπfm (3.399)
n
其中，k0 =0.25−xac是气动中心到1/4c的距离。常数k1表示由于分离流区域增加导致的
压心变化。常数 k2 决定失速时力矩突变的形状。 k0 , k1 , k2 , m 可以通过最小二乘法曲线拟合
(或其它方法)，如果有必要的话，还可以针对不同翼型进行调整以获得最佳拟合效果。在subroutineAEROMX中，非定常气流分离引起的俯仰力矩变化是通过改变AM0项实现的。正如前面在准定常气动一节中所指出的，AM0 是俯仰力矩表达式中稳态偏置量。现
在对 AM0 进行如下修正:
⎛⎞2⎡ ⎤
⎜′′⎟ 2
1+ f ⎟ K1−f′′+Ksinπf′′ ⎜m⎢ ⎥
( ⎝⎠⎢⎥
⎜⎟1
(
)
)
⎣ ⎦U2 (3.400)
2
n 4 SLG T
m
动态失速带来的后果包括 1)改变翼型升力，2)改变俯仰力矩特性。本节将介绍如何加入漩涡引起的升力。方法是，在达到某一临界状态之前，将漩涡升力看成积聚在翼型附近的额外的环量。所谓临界状态，就是前面提到的发生前缘或激波引起的气流分离。
对于离散采样系统，漩涡升力系数Cnv 是通过假设对于给定的采用周期，漩涡升力Cv 的增量取决于非定常环量升力的瞬时线化值和 Kirchhoff 近似给出的非定常非线性升力之差，
AM0= AM0+C 3.4.12 动态失速
计算漩涡法向力参数
m
即，
⎛⎛ ⎞2⎞
⎜⎟ ⎜ ⎜1+ f′′⎟⎟ ⎜⎜n⎟⎟
⎜⎟⎟ c⎜⎝⎠⎟
⎜
C =C 1− ⎟
(3.401)
vn⎜⎟ nn⎜4⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎟
⎜ ⎝⎠
同时，总的积累的漩涡升力Cnv 可以按指数随时间衰减，从而模拟粘性扩散以及漩涡流向下游导致影响力降低。不过，只要攻角(和升力)随时间变化，积累的漩涡升力就会以新的增
量进行更新。采用和 3.3.11 节类似的方法，漩涡升力可以表示成如下时间离散形式:
⎛ −ΔS ⎞ ⎛ −ΔS ⎞
⎜⎟⎜⎟
Cn =Cn vv⎟()⎟
exp⎜ + Cv −Cv exp⎜ (3.402)
⎟
⎝T TVF ACT⎠ ⎝2T TVF ACT⎠
⎟
n n−1
n n−1 ⎜⎟⎜⎟
vv
131

如果升力变化速率很低，漩涡升力的耗散就和它的积累一样快，在极限状态下，当攻角变化速率趋于零时，翼型特性又平稳地变回到静态(非线性)特性。
当前缘或激波引起的分离的临界条件达到时，即C’ (t)>C ，气动载荷就会发生突变。 n n1
此时，积聚的漩涡升力开始沿翼弦流动。从实验中可以确定流动速率大约是来流速度的 1/3~1/2，并且是马赫数的弱函数。近期的漩涡对流速度测量结果表明，对流速度更接近于来流速度的 1/3。
在漩涡流动过程中，假设漩涡升力经由 3.401 和 3.402 式保持连续;不过，当漩涡到达翼型后缘并脱落进入尾流时，升力的积聚过程就结束了。为了追踪漩涡位置，引入无量纲参
数τv(单位为半弦长)，令分离状态发生时，τv =0，漩涡到达后缘时τv =Tvl。
压心在翼型上的位置随着漩涡的弦向位置而变化，当漩涡到达后缘时取最大值。根据在较大马赫数范围内的动态失速实验数据，可以得到如下较为通用的压心特性(在 1/4c 之后) 的表达式:
(3.403)
(3.404)
⎛ ⎛πT ⎞⎞
⎜ ⎜v⎟⎟ CP =0.25⎜1−cos⎜ ⎟⎟ v ⎜⎜⎟⎟ ⎜ ⎜T⎟⎟ ⎝ ⎝vl⎠⎠
因为 sin( A − π ) = − cos A ，所以 2
⎛ ⎛πT π⎞⎞
⎜ ⎜v ⎟⎟ CP =0.25⎜1+sin⎜ − ⎟⎟ v ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜T 2⎟⎟ ⎝ ⎝vl ⎠⎠
压心后移引起的 1/4c 处俯仰力矩的增量为: Cv =−CPCv
(3.405) 由于漩涡流过翼型表面引起的额外升力被看成类似于C0 的额外的偏置项，然后加到法
向力 Lw 的表达式中的常数项 WB0 中: Cv
mvn
WB0=WB0+ nn U2 (3.406)
T
SLC
漩涡流过翼型上表面 1/4c 处引起的额外俯仰力矩被看成类似于Cm0 的额外的偏置项。
动态失速引起的额外的俯仰力矩被加到俯仰力矩 M 的表达式中的常数项 AM0 中: Cv
AM0=AM0+ mn U2 (3.407)
SLC
T
132

时间常数Tv 和Tvl 的推导
漩涡衰减时间常数Tv 和漩涡横贯翼弦方向的时间Tvl 可以从非定常实验结果中确定。 Subroutine AIRFLS 中存储了 NACA0012 翼型的值。
实验结果表明，Tv 和Tvl 都与马赫数无关。不过，对于参数随翼型形状的变化规律却没有正式的结论。很多学者进行的动态失速实验显示，尽管轻失速下翼型形状影响很大，但是，在深失速下，所有翼型特性相近。因此，可以暂时做出这样的结论，就是Tv 和Tvl 对翼型形状较不敏感。
Tv 的值取决于上卷的漩涡瞬时弦向位置。在 AEROMX 中，Tv 要乘以系数 TVFACT。 TVFACT 的值为 0.5 或 1.0.
(3.408)
漩涡脱落模型采用的逻辑标示符
在算法中，标示符 IVF1MX 和 IVF2MX 代表漩涡是否会流过翼弦方向。当
IVF1MX=IVF2MX=0 时，翼型附近没有漩涡。当 IVF1MX1=1 时，漩涡在距离翼型Tvl 个半弦长的范围内，这也意味着漩涡漩涡尚未流过后缘。如果 IVF2MX=1，说明漩涡在距离翼型 2 Tvl 个半弦长的范围内，这也意味着漩涡漩涡已经流过后缘，但距离前缘不超过 2 倍弦长。
上述标示符用于指示何时通过给系数TFFACT和TVFACT赋值来对时间常数Tf 和Tv进行修正。
3.5 旋翼尾流模型
桨盘后拖出的尾流决定了桨盘处诱导入流分布。它对于桨叶响应、桨叶载荷、噪声特性和旋翼性能计算精度影响很大。准确预测入流分布对于旋翼分析非常重要，特别是在低速飞行状态，尾流停留在桨盘附近，对桨叶气动载荷影响很大。
尾流结构非常复杂，对其预测是旋翼空气动力学中最困难的问题之一。尾流模型很多，
从最简单的均匀入流模型到复杂的自由尾流模型，其复杂程度和精度各异。
本节介绍了软件采用的 3 种尾流算法:1)线性入流模型;2)刚性/给定尾流(prescribed wake)模型;3)自由尾流(free wake)模型。
⎧1.0 if0<τ ≤T fqs =⎪ v ⎪⎩ vl v vl vl ⎨⎪ 0 . 5 i f T < τ ≤ 2 T 133 3.5.1 均匀和线性入流模型这是最简单、计算量最小的算法。它假设桨盘上的入流均匀分布，通常称为 Glauert 模型。在该模型中，旋翼总的诱导入流比λ可以写成旋翼拉力系数CT 、前进比μ和旋翼轴前倾角αs 的函数: λ=μtanαs +λi =μtanαs + CT /2 λ2 +μ2 其中， λi 是诱导入流比。对上述方法进行适当改进，即假设入流在桨盘上线性分布，即 (3.409) (3.410) 线性分布的斜率 κ x 、 κ y 可以有很多种型式。这里采用 Drees 模型[2]，其表达式为: C/2 λi = T 1+κxxcosψ+κy ysinψ λ2 +μ2 () ⎡ ⎛⎞2 ⎤ 4⎢ 2 ⎜λ⎟λ⎥ κ = ⎢(1−1.8μ ) 1+⎜ ⎟ − ⎥ x ⎟ ⎜ ⎟ 3⎢ ⎝μ⎠ μ⎥ ⎢⎥ (3.411) (3.412) ⎣⎦ κy =−2μ 在低速飞行状态( μ < 0.2 )下，采用 Blake 和 White 模型， κx = 2 κy =0 上述简单模型可以较好地捕捉尾流的总体效应，而且在高速飞行状态下可获得较为满意结果，而且也适用于旋翼性能和稳定性预测。高速飞行时，近场尾流的影响不那么严重，因为大部分尾流被高速来流给吹走了。但在低速飞行和悬停状态下，桨盘上的入流分布高度不均匀，线性尾流模型精度会下降。 3.5.2 刚性和自由尾流模型线性入流分布假设能从总体上捕捉尾流的影响，但是它忽略了尾流复杂的几何形状引起的尾流分布的细节。旋翼尾流主要是环量存在时间和空间梯度所产生的。涡量守恒决定了拖曳涡的形成，拖曳涡的大小与环量在桨叶展向的径向梯度成正比。因为环量的幅值集中在 134 桨尖附近，在桨尖处降为零，因此存在很大梯度，导致该区域存在很强的拖曳涡。这些拖曳涡很快上卷，形成离散的桨尖涡。环量峰值内侧的拖曳涡符号相反，它们相对较弱，因为通常径向梯度较小。除了拖曳涡以外，附着环量绕整个桨盘的时间梯度会在尾流中产生脱落涡。它与环量时间梯度成正比，而且根据环量沿方位角增加或减小，符号可正可负。此外，3 维机翼涡量守恒要求附着环量本身要在桨根和桨尖处流入尾流。将拖曳涡和脱落涡合起来，就形成漩涡面，由于桨叶运动、漩涡之间的干扰、来流速度分量的作用，导致其进一步歪斜。程序中，刚性和自由尾流模型采用与 CAMRAD 相同算法[3]。此外，还加入了 Johnson 的自由尾流模型[4]，它能模拟高速飞行状态下具有两个峰值的载荷展向分布。下面各节介绍了尾流的算法及实现。图 3.11 非均匀诱导速度计算采用的尾流模型(文献[3]) 3.5.3 旋翼尾流分析计算桨叶上任意点处的入流时，必须考虑桨叶的运动、来流速度、尾流中的涡量分布。前两个因素的影响很直观。而尾流涡量分布是漩涡强度和漩涡距离计算点的几何距离的函数。 135 漩涡强度可以从环量梯度中算出。因此尾流计算的关键是确定尾流几何形状。本文的尾流模型是基于涡格(直线单元)近似。它前面已指出，尾流最主要的特点就是桨尖涡，因此单独模拟桨尖涡。由于桨叶内侧拖曳涡不太重要，因此采用少量具有较大涡核的漩涡来模拟。最终的模型计算效率高，同时又能捕捉内侧拖曳涡的主要影响。将尾流分为三个区域:近场尾流、上卷尾流(rolling-up wake)、远场尾流(图 3.11)。近场尾流距离它发源的桨叶最近，因此最重要。拖曳涡用沿展向的有限个旋涡面元模拟。在上卷尾流该区域，面元数减为两个:一个表示桨叶内侧漩涡面或涡线，另一个表示桨尖涡上卷。上卷的涡线的强度等于桨叶展向最大附着环量的一个给定的比例。远场尾流模型只有一个桨叶内侧的漩涡面元，以及一根集中的桨尖涡组成。桨尖涡强度等于桨叶上附着环量的最大值。模型一个特点是考虑了涡线强度。模型假设涡线内的涡量均匀或线性变化，分析中采用线性变化。模型另一个特点是考虑了漩涡与后面桨叶相遇。桨-涡干扰会导致诱导载荷迅速变化，这是升力线理论无法准确预测的。为了提高精度，采用了升力面修正。升力面修正是基于展弦比无穷大的非旋转机翼与一条无限长等强度漩涡相遇。由于这样的相互干扰，漩涡的影响会降低，这是通过增加涡核来实现的。这一做法的物理含义尽管具有猜测性，但增加涡核尺寸的确能捕捉到观察结果。另一个重要假设是给定了涡核大小。由于是无粘模型，因此漩涡的数学表示会导致漩涡中心变成数值奇点。为避免这一问题同时更好地反映出真实漩涡的粘性特点，预先给定一个涡核半径，假设在涡核内部具有有限的速度分布。预先给定的涡核半径通常为:桨尖涡为 5~20%弦长，桨叶内侧更大些。这些值的选取对于桨叶气动载荷影响很大。 3.5.4 旋翼尾流几何形状尾流分析最大难点在于计算尾流几何形状。这里将其模拟成有限根涡线，拖曳并流入到尾流中。涡线与当地气流对流，而当地气流又是来流和尾流自身的诱导速度之和。由于自诱导速度又是尾流形状的函数，因此，尾流分析具有高度非线性的特点。从这一点说，刚性尾流和自由尾流两种模型是互不相同的。刚性尾流模型事先给定了不变的尾流形状。另一方面，自由尾流模型计算尾流形状，从而体现来流和自诱导速度的共同效应。如图 3.12 所示，参考桨叶后方的漩涡的几何形状用位置矢量rw (Ψ,φ)表示，其中Ψ 是漩涡发源桨叶当前方位角，φ是漩涡单元年龄(wake age)。漩涡年龄φ决定了所考虑的面 136 元是否属于近场尾流、上卷尾流或远场尾流模型的一部分。近场尾流模型只用于参考桨叶之后。程序计算在离散的方位角Ψl =lΔΨ，(ΔΨ=2π J)和尾流年龄φk =kΔφ， (Δφ=50 ~150)处的尾流几何形状。l=1~J，它决定桨叶当前方位角位置。k决定了诱导速度计算时采用的漩涡面元个数，它变化范围从 0 到给定的值。这个给定的值取决于面元属于近场涡 (k = kNW ) ，还是上卷涡 (k = kRW ) 、还是远场涡 (k = kFW ) 模型。当 rw 在恰当的桨叶方位角时，就可以得到其它桨叶后方的尾流形状。当前桨叶位置尾流单元图 3.12 旋翼尾流几何形状 3.5.5 尾流几何形状公式桨尖涡单元创建于桨尖处，流入来流，且被尾流中的自诱导速度导致畸变。桨叶旋转以及来流共同导致了旋翼尾流具有基本的螺旋形状。但是，尾流单元实际位置是对所有局部对流速度积分的结果，它相对于基本螺旋形状产生很大畸变。最终的尾流形状为: rw (Ψ,φ)=rb (Ψ−φ)+φμ+D(Ψ,φ) (3.413) 137 其中，rb 是径向位置 r(桨尖处 r=1)处的桨叶位置矢量，μ 是来流速度向量。3.413 式中前两项代表了基本的螺旋形状 ( r b ( Ψ − φ ) 是桨叶旋转引起的， φ μ 是与来流对流引起的 )，第 3 项代表了尾流自诱导速度引起的畸变。类似地，桨叶内侧尾流面的形状通过定义桨根和桨尖边缘点得到:它们的径向位置分别为桨叶 r 的 r = r 和 r = 1 。一般来说，桨尖涡和内侧涡面的畸变 D 是不同的。由于桨尖 b root 涡起决定性作用，因此最重要的尾流形状信息就是桨尖涡位置，而内侧涡面采用精度较低的模型也是可接受的。 3.5.6 刚性尾流模型刚性尾流就是假设尾流形状固定(不是通过迭代计算出来)，只是与前进比、推力等参数有关。这样就简化了尾流分析，节省计算时间。简化的刚性尾流模型假设尾流尾流中的所有单元以桨盘处平均诱导速度流入下游，得到 D=⎢0⎥ ⎢⎥ ⎡0⎤ ⎢⎥ (3.414) Dz =−φλi 需要注意的是，尾流畸变与方位角Ψ 无关。对流速度λi 是桨盘处平均诱导速度。有时该模其中， ⎢D ⎥ ⎣z⎦ 型可以写成两段对流形式: D =−Kφ φ≤2π/N z1 =−K12π/N−K2(φ−2π/N) φ>2π/N 如果在 3.414 式中考虑尾流收缩，则得到
(3.416)
(3.417)
(3.418)
其中，径向位移(也与Ψ 无关)可以写成 ( −Kφ)
⎡⎤ D cos(Ψ−φ)
⎢r⎥ D=⎢D sin(Ψ−φ)⎥
⎢r⎥ ⎢D⎥
⎢z⎥ ⎣⎦
D =− 1−e 3 (1−K )r r4i
138
(3.415)

式中， r = 1用于桨尖涡和内侧涡面外缘， r = r 用于内缘。刚性尾流模型有很多种，其 i i Root
差别就在于参数 K1, K2 , K3 , K4 定义不同。程序中采用的是常用的 Landgrebe 模型[10]。 Landgrebe 刚性尾流模型
该模型是根据模型旋翼的流场可视化结果得到的，各系数定义如下: 1)桨尖涡:
K1 =.25(CT /σ+.001θtw)
K2 =(1+.01θtw) CT 式中，θtw 是桨叶线性扭转角，单位是度。
(3.419) (3.420)
(3.421) (3.422)
(3.423) (3.424)
(3.425) (3.426)
2) 涡面外缘
3)涡面内缘
4)径向收缩
K1 =1.55 CT K2 =1.9 CT
K1 =0
K =−(.0025θ 2 +.099θ ) C
3.5.7 自由尾流模型
2 tw tw T
K3 =.145+27CT K4 =.78
如前所述，自由尾流模型是考虑了来流和尾流自诱导影响，通过迭代计算出尾流几何形状的。在迭代过程中，涡线可以在空间不同方向流动，直到漩涡几何形状收敛到达稳定状态为止。这样就使计算精度大大优于刚性尾流模型，特别是在过渡飞行状态。
和桨叶内侧漩涡相比，由于桨尖涡起主导作用，因此这里只计算桨尖涡畸变，桨叶内侧的漩涡则为刚性或给定形状。采用 Scully 尾流算法计算尾流形状[11]。它需要对每个尾流单
元上的诱导速度积分。首先，对每个尾流年龄 φ ，计算所有尾流单元和方位角 Ψ 上的诱导 139

速度qˆ(Ψ)，然后对φ循环。随着φ增加ΔΨ，尾流畸变增量可以写成
D(Ψ,φ)= D(Ψ,φ−ΔΨ)+ΔΨqˆ (3.427)
采用上述算法，就可以得到桨尖涡畸变D(Ψ,φ)。 3.5.8 影响系数计算
接下来计算流场中，每个诱导速度计算点上的影响系数。诱导速度计算点在桨盘上沿径向和方位角方向分布。此时，通过刚性尾流或自由尾流模型，尾流形状已算出。影响系数是通过 Biot-Savart 定律，并叠加了所有漩涡单元和尾流系统的影响得到的。
涡线单元引起的诱导速度为
rr r 1 ∫Γr×dσ
Δv = − 4π r rr
(3.428)
(3.429)
3.5.9 诱导速度计算
尾流分析的最后阶段是计算桨盘上某点处的诱导速度λ(r,Ψ )。将尾流中所有单元上
的桨叶附着环量和影响系数的乘积加起来，就得到诱导速度:
Cr 是相应的所有涡线导致的影响系数。(8.16)式中第二项是位于方位角 Ψ = lΔΨ 的参考 j
桨叶后方的近场尾流(从φ = 0 扩展到φ = kNW ΔΨ )引起的。 3.5.10 针对高速飞行的自由尾流模型改进
旋翼在高速飞行时，前行桨叶的桨尖经常产生负升力，特别是在桨盘的第二象限。前
其中，r是从涡线上的单元dσˆ到点P的矢量，r = r 。对于涡面单元，上式变为
3
Δv = − 4π r 其中， ωr 是涡面单元的涡量。
3
dA
rr r 1􏰀∫r×ω
JrlMr
λi = Γ C + Γ C (3.430)
∑
j=1 j=l−kNW i=1
∑∑
其中，Γ 是第 i 个径向和第 j 个方位角上的环量，Γ 是每个方位角上的最大环量值，Cr 和
jj
ij ij
ij j ij
140
iij

飞时，桨盘后行侧产生升力的能力受低动压和翼型失速所限。因此，为了保证滚转力矩平衡，桨盘前行侧的升力必须很小。在足够高的速度下，前行桨叶的桨尖升力变成负值。在这种情况下，桨盘上绝大部分的附着环量在整个桨叶长度上仍为正，但是在第二象限，桨尖附近存在负的最大值，而在内侧存在正的最大值。因此，在这一区域，桨尖涡以负强度上卷(与一般的上卷符号相反)，且从正、负环量峰值之间会有有一个区域流出正的涡量。
新模型考虑了前行桨叶桨尖具有负载荷的情况。因此，该模型就能够模拟这种展向载荷具有两个峰值的情况。此外，还引入了桨-涡干扰中的新的机翼模型:2 阶升力线理论，以及升力面理论修正。
双峰尾流模型(Dual-Peak Wake Model)
旧的尾流模型[3]假设 Γ 沿桨叶展长都同号(都为正或都为负)。如果将这种模型应用
着环量
附
量
旧模型
型
环量分布
拖曳尾流模型
桨叶附
单个外
侧峰值
双峰值
外
值
双峰值
值
值
加上卷
于Γ(r)变号的情况，桨尖涡的符号就会不对，而且幅值很大。从而得到错误结果。
在双峰尾流模型中，附着环量具有相反符号的两个峰值(Γ(r)的正、负峰值)，从而 141
卷
图 3.13 用于两个载荷峰值条件下的尾流模型(文献[4])

适应更复杂的载荷状态。外侧的峰值用Γ 表示，位于r 处;内侧的峰值用Γ 表示，位于 O GO I
r 处。双峰尾流模型可以有以下选项(图3.13): GI
(a) 单峰模型，采用Γmax 。这是旧模型。
(b) 单峰模型，采用ΓO 。这个模型可以给出正确的桨尖涡符号和幅值，这是最重要的。
(c) 双峰模型，采用ΓO 和ΓI 。
(d) 双峰模型，具有上卷的内侧拖曳尾流。
总之，软件提供远场尾流和上卷尾流的单峰和双峰尾流模型。对于单峰模型，可以采用 Γmax 或ΓO(影响系数相同)。对于双峰尾流模型，如果有必要的话，内侧拖曳涡也可上卷。
在双峰尾流模型中，对诱导速度表达式做如下修正:
r∑rr λ i = ∑J Γ C + J Γ C + l M Γ C
∑∑ j=1 j=1 j=l−kNW i=1
ij ij
( 3 . 4 3 1 )
Oj Oj
Ij Ij
考虑了以下 3 个选项:
(a) 对于采用Γmax 的单峰模型，Γmax 代替等式右边第一项中的ΓO ，第2项不存在。
(b) 对于采用ΓO的单峰模型，等式右边第2项不存在。
(c) 对于双峰模型，所有3项都保留。不管是刚性或自由尾流的形状都是基于 Γmax (选项 a)以及 ΓO (选项 b，c)。
桨-涡干扰
桨尖涡遇到后面的桨叶会在那片桨叶上引起很大的气动载荷。鉴于漩涡引起的载荷是旋翼高阶谐波载荷和振动的主要来源，对其预测就成为旋翼分析的重要部分。
新尾流模型引入了 2 种方法来改善桨-涡干扰的尾流模型:2 阶升力线理论，升力面修正。目的就是改善气动载荷计算精度，同时又不用借助于计算量更大方法，如升力面理论。
2 阶升力线理论
正规的升力线理论是 3 维翼的载荷问题的解。基于大展弦比假设，问题可以分解为 2 个单独的外部尾流和内部尾流问题，它们被单独求解，然后通过匹配算法加起来。对于前飞的旋翼，必须考虑后掠和偏流情况，以及非定常可压粘性流。最低阶的固定翼阶是 Prandtl
理论(稳态、无后掠)。对于高阶升力线理论，Weissinger 提出了直观方法(intuitive methods)， 142

Van Dyke 提出了奇异扰动法(singular perturbation methods)。通常在文献中都会提到升力线理论，包括非定常，跨音速，后掠流，并给出解析方法(提
供内部和外部流动问题的解析解)。对于旋翼，内流解中必须包括失速，在外流解中包括螺旋形、畸变的上卷尾流形状。因此，对于旋翼问题，目的就是从生理学理论中获得内部尾流和外部尾流问题的单独的公式，以此作为迭代求解的基础。
新尾流模型所用的 2 阶升力线公式
外部尾流问题是指在一条升力线之后的不可压漩涡尾流，它具有畸变的形状，且上卷。升力线(附着涡)位于 1/4 弦长处。拖曳尾流始于附着涡，而脱落尾流产生于机翼上配置点后方 1/4c 处(非定常载荷的升力线近似)。计算配置点处尾流诱导速度的 3 个分量，但不包
图 3.14 漩涡诱导载荷的升力面理论括附着涡的贡献。配置点位于 3/4c 处，沿着局部气流方向(二阶尾流引起的诱导速度线性
变化近似)。内部尾流问题包括绕无限展长机翼的非定常、可压、粘性流动，机翼处于均匀气流中，
气流包括来流偏向和诱导速度的 3 个分量。该问题可以分为几部分:2 维、定常、可压、粘性(2D 翼型数据表);再加上非定常流动修正(小角度非环量载荷，但没有任何脱落尾流)，动态失速和偏流(等价于后掠翼假设)。
公式通常具有 2 阶(AR=c/R)精度的升力结果，包括后掠和偏流的影响。如果将配置点放在 1/4c 处，就得到 1 阶升力线理论。
升力面理论的修正
本节介绍改善桨-涡干扰中的机翼模型的第 2 种方法:升力面修正。主要，升力面修正
是前面介绍的 2 阶升力线理论的替代方法，两种方法不可同时使用。还要说明的是，就尾流
模型中包括了对升力面理论进行漩涡诱导的载荷的修正。但是，新方法中引入了升力面修正
无
无
限
限
展
展
长
长
143
机
机
翼
翼
无
无
限
限
长
长
直
直
线
线
自
自由
由涡
涡

的改进版。
升力面修正的基础是图 3.14 中的问题:无限展长的机翼与一条无限长的直线漩涡相遇，
夹角为 Λ 。机翼和涡线位于两个相距 h 的平行平面内。机翼半弦长为 b 。如果是垂直相交， Λ = 900 ，如果是平行则 Λ = 1800 (夹角在 0 ~ 900 则被看成对称情况)。机翼展向变量 r 是
从与漩涡交点算起，因此 r sin Λ 就是到涡线的距离。强度为 Γ 的漩涡在翼展方向的诱导速度为:
w= Γ −rsinΛ 2πb(rsinΛ)2 +h2
其中， r 和 h 都除以半弦长 b 。截面升力的升力面近似解为: ⎧
(3.432)
L =ρVΓ⎪ rsinΛ
ls
⎨(rsinΛ)2 +(h+c )2 ⎪⎩ 0
−a′
∑2 ⎡ ⎤⎫
b (−(rsinΛ)2 +(h+c′)2 +b 2 )
0
0 (−(rsinΛ)2 +(h+c′)2 +b 2 2 +4(rsinΛ)2 (h+c′)2
00
)
⎛ d ⎞2n −(rsinΛ+b2 )+(h+cn )sinb2 ⎪
对于不可压流，式中系数是 Λ 的函数: b0 =8.88−1.88(Λ/90)
b =−0.5cosΛ 1
b2 =0
a′ =0.75(.544(−cosΛ)+.07sin2Λ)
00
0
n⎜⎟22⎬ − a drsinΛ ⎢ ⎥
(3.433)
n=1 ⎝ ⎠ ⎢ (rsinΛ+b)+(h+c) ⎥ ⎣ 2 n ⎦⎪⎭
0
a1 =(1.25+.5sinΛ) −.434−1.09(1.−sinΛ) +.607(1.−sinΛ)
( .94 2.46 ) ( 1.8 )
.84
c1 =1.417+.366(1.−sinΛ) −.392(1.−sinΛ)
a2 =(2.5+sinΛ) .0084+.0069(−cosΛ) c′ = 5.9
0
c0 =1.571
144
2.0

1.0 1.45 c2 =.91+.93(1.−sinΛ) −1.025(1.−sinΛ)
漩涡引起的载荷的升力线理论的解为:
ll
在新尾流模型中，升力面理论修正是这样应用的:确定桨尖涡的每个线单元是否距离桨叶足够近，这样升力面影响就很重要;如果是这样的话，桨尖涡的每个线单元的诱导速度就
乘以系数Lls Lll 。这样，漩涡引起的载荷的升力线计算就可以得到升力面理论的结果。注意，如果采用 3.3 节的 Leishman 非定常气动理论的话，现有尾流模型中的脱落尾流
部分就被禁用。
3.6 尾流模型的实现对于入流或者尾流模型的最主要的要求就是预测任意径向位置和方位角的入流速度
λ(r,ψ )。均匀和线性入流模型根据已知的飞行参数直接计算入流。刚性和自由尾流模型 iij
需要更多地信息才能求解入流速度。这些信息包括桨叶弯曲振型和模态响应。此外，漩涡强度还和环量分布联系起来。因此必须算出附着环量的大小。最后，要定义时间和空间网格来制定环量计算点(输入)和入流速度计算点(输出)。
现有的尾流模型采用谐波求解法，因此必须通过傅里叶分析将桨叶模态响应转换成谐波系数。此外，尾流模型只用到挥舞和摆振弯曲模态来确定桨叶运动，因此必须将扭转和轴向振型从系统振型矩阵中除去。本文采用径向高斯积分来计算桨叶分布载荷。径向网格点可以是桨叶上任意点。最多可以取 30 个径向网格点，不过，对于绝大多数分析，通常 6~10 个点就够了。时间网格划分是在方位角上等间距布点，最多取 24 个时间步，即每 15 度一个网格点。尾流分析中的径向和时间网格不一定要和桨叶载荷计算所用的网格一样。计算径向和时间网格点上的环量，然后才用有限差分法确定时间和空间梯度。因为附着环量在桨尖处变化更迅速，因此，这个区域的径向网格点需要更密一些。
尾流分析模型的输出结果是每个网格点处的合入流。因为其它点也需要入流速度，因此
⎧
L =ρVΓ⎪ rsinΛ
⎨(rsinΛ)2 +(h+c )2 ⎪⎩ 0
(3.434)
2⎡ ⎤⎫ − −a ⎛ d ⎞ ⎢ −rsinΛ ⎥⎪
1⎜drsinΛ⎟ 2 2 ⎬ ⎝ ⎠ ⎢(rsinΛ) +(h+c ) ⎥
⎣ 1⎦⎭⎪ 其中，a1 =−0.662，c1 =1.296，c0 =π 2。
145

采用线性插值近似。从尾流分析得到的入流的值必须与来流速度分量相加，从而得到最终的入流结果。
λ=μtanαs +λi 程序中，用户可以通过输入数据文件来选择尾流模型。
3.6.1 尾流分析过程
采用如下流程作为主程序和尾流子程序之间的界面。
1) 在输入文件中定义尾流计算开始的迭代次数。在旋翼分析中，先采用线性入流模型，直到迭代次数达到预定的尾流分析开始的迭代数。
2) 算出 Γij , Γ j ，然后传给子程序 WAKEMD(新尾流模型则为 WAKEM2)。 Γij 表示第 i 个径向和第 j 个方位角处的环量，尾流程序就是计算该点的非均匀入流速度 λij 。下标 i
从1~MRA(径向位置数目，通常MRA=6~10)，j=1~MPS(I方位角计算点数目，通常MRA=24，因此方位角计算点间隔为15度)。Γj代表每个方位角计算点处的环量最大值:Γj =Γmax。
WAKEMD(或 WAKEM2)的作用就是作为主程序和尾流分析子程序之间的界面。它调用其它尾流子程序，然后设定好其它尾流需要的各种参数。该子程序将输入重新数据重新配置，然后输出给其它尾流程序以反映配平程序和其它尾流程序之间的拓扑结构差异。
3) WAKEMD(WAKEM2)调用 WAKEC1(或 WAKECN)。环量和尾流参数被传给 WAKEC1(或 WAKECN)。WAKEC1(或 WAKECN)是尾流分析主程序。它计算尾流形状
(刚性或自由)，以及非均匀尾流诱导系数(影响系数)。它输出Cj和CijNW (旧尾流模型) 或者COj和CIj和CijNW (新尾流模型)。
4) WAKEMD(或 WAKEM2)调用 WAKEN1(或 WAKENN)，采用 3.430 或 3.431 式来计算非均匀诱导速度。
5) 最后，WAKEMD(或 WAKEM2)的输出为:
λ (r,ψ )=−VIND(3,r,ψ ) (3.435)
iij ij 注意，WAKEMD或WAKEM2中，尾流分析只给出计算网格点上的入流λi (30,24)。因此，
需要在主程序中调用插值子程序 GETFEI(x，SHIFW，ZLAM)来得到其它位置处的λi 。 146

插值程序的输入为 x(径向位置 r )，SHIFW(方位角 Ψ )，输出为 ZLAM 即 λ (r , Ψ ) 。 ijiij
6) 上述非均匀诱导速度用于气动计算，然后重新计算 Γij , Γ j 。重复步骤(2)~(6)，直到收敛为止。
3.6.2 尾流子程序本节介绍尾流分析用到的每个子程序。尾流子程序结构由两块组成:1)WAKEC1 以及
它调用的程序，2)WAKEN1。
1)WAKEC1 WAKEC1(level)
功能:尾流分析主程序。计算λ计算(WAKEN1)所需的影响系数，C ，C ，C(3.431 i Oj Ij ij
式)或 C j ， Cij (3.430 式)。
输入参数: Level:0 均匀入流(不用计算尾流) :1 刚性尾流
:2 自由尾流
被调用:WAKEMD 调用以下子程序: GEOMR1(计算形状畸变 D )
GEOME1(计算尾流形状rw) WAKEB1(计算桨叶位置rb )
VTXL(计算涡线单元) VTXS(计算涡面单元)
GEOMR1(level) 被调用:WAKEC1
功能:计算形状畸变D。首先，GEOMR1在Ψ循环内调用WAKEB1来计算桨叶位置rb 。
然后，计算刚性尾流形状(默认值 OPRWG=5，Landgrebe 模型)。如果采用自由尾流模型 147

(level=2)，则调用GEOMF1来计算畸变的尾流形状D(DFWG)。
GEOMF1(level)
被调用:GEOMR1(当 level=2 时)
功能:计算自由尾流形状畸变 D 。首先，GEOMF1 调用 WGAM 来计算 D 的初值。然
后，调用 DCALC 迭代求解 D 。调用:WGAM 和 DCALC
输出:D(DFWG(3,2304)，存储于common块WH1CM中)。
WGAM(自由尾流分析程序)
被调用:GEOMF1
功能:采用 3.414 式计算刚性尾流形状，然后作为自由尾流形状的初值。
WGAM(自由尾流分析程序) 被调用:GEOMF1 功能:迭代计算尾流形状畸变 D 。调用:NWCAL
NWCAL(自由尾流分析程序) 被调用:DCALC 调用:WQCAL
WQCAL(自由尾流分析程序)
被调用:NWCAL
功能:计算 NWCAL 所需的涡线引起的诱导速度。调用:QVS，QSVL，QCVL，VSCAL
VSCAL(自由尾流分析程序) 被调用:WQCAL
148

功能:涡面尾流模型所需的子程序。调用:QVS，QSVL，QCVL
QVS(自由尾流分析程序) 功能:计算涡面的诱导速度。
QSVL(自由尾流分析程序) 功能:计算直涡线单元的诱导速度。
QCVL(自由尾流分析程序) 功能:计算弯曲的涡线单元的诱导速度。
GEOME1( k , l ，level，RWT，RWSI，RSWO) 被调用:WAKEC1
功能:计算尾流形状 rw 。
输入:k,l:Ψl =lΔΨ，φk =kΔφ。输出:
RWT(3):桨尖涡的 rw
RWSO(3):涡面外缘的 rw
RWSI(3):涡面内缘的 rw 此时，我们已经通过刚性或自由尾流模型得到了形状畸变 D 。
WAKEB1( Ψ ，option，rbr，rbt，rb)
功能:计算给定的方位角 Ψ 处的桨叶位置向量 rb 。
输入:
Option=1:输出 rbr 和 rbt Option=2 和 3:输出 rb
149

输出:
rbr:rROOT 处的rb
rbt: r 处的 r TIP b
rb:环量计算点(MRA)处的rb
桨叶位置向量 rb 被用来计算尾流形状 rw (3.413 式)。
注意:rb 包含了桨叶弯曲模态信息，它们是在主程序中被计算，并传递来的。
ETA: ri 处的弯曲模态，i=1~MRA
ETAR:rROOT 处的弯曲模态
ETAT: r 处的弯曲模态 TIP
VTXL
功能:采用 Biot-Savart 定律计算涡线单元的诱导速度。
VTXS
功能:采用 Biot-Savart 定律计算涡面单元的诱导速度。
2. WAKEN1 WAKEN1(level)
功能:采用 WAKEC1 得到的影响系数 COj ， CIj ， Cij (3.431 式)或 C j ， Cij (3.430 式)以及子程序 HUBLDS 算出的环量 Γ (通过 common block FREEWK 传递过来)来计算
非均匀诱导速度(3.430 或 3.431 式)。 3.7 动态入流模型
对于桨叶载荷的变化，与升力旋翼有关的诱导流场会做出动态响应。这叫做动态入流。动态入流的非定常效应对于旋翼动力学影响很大。动态入流分量与旋翼非定常载荷(拉力、滚转和俯仰力矩)有关。这种关系非常复杂，仍处于研究中。为了计算方便，有必要得到一
种简单的表达式。一种可行的办法，就是采用非定常驱动盘理论，它得到如下关系:
150

其中，
−1 [m]Δλ+[l] Δλ=ΔCF
Δλ=⎢Δλ Δλ Δλ⎥T ⎣0 1s 1c⎦
(3.436)
ΔC = ⎢ΔC −ΔC F ⎣T
ΔC ⎥T Myh⎦
(3.437) 这里采用的基本假设是，旋翼上的力缓慢变化，这样驱动盘理论才能成立。3.436 式是无量
(3.438)
纲形式(与旋翼转速无关)。式中的矩阵 m, l 表达式如下:
⎡ 0.5 0 15π 1−sinα⎤
Mxh
⎢ 64 1+sinα⎥ ⎢⎥
[l]=1⎢0−40⎥ v⎢ 1+sinα ⎥
⎢⎥ ⎢15π 1−sinα 0 −4sinα ⎥
⎢ 64 1+sinα ⎣⎦
1+sinα ⎥
⎡128 0 0⎤
⎢75π ⎥
⎢ −16 ⎥ [m]=⎢ 0 0 ⎥ ⎢ 45π ⎥
⎢ −16⎥ ⎢00⎥
⎢ 45π ⎥ ⎣⎦
(3.439)
(3.440)
(3.441)
其中， v 是质量流参数，公式为:
μ2 +λ(λ+λ)
v=i μ2 +λ2
α 表达式为(注意，这里的α 不是旋翼轴倾角): α = arctan λ
μ
在程序中，入流速度是相对于桨毂平面。入流方程中，等式右边的扰动力源自桨叶上的力。在3.1节中，变形系中的桨叶力被转换到机身坐标系。在3.133式中，令αs =0，φs =0，
XCG =YCG =h=0，就可以得到桨毂面内的力。入流方程只需要拉力、俯仰和滚转力矩。 3.133 式可以写成:
FA =T (LA) H HL
其中，FA是桨毂面内的力向量，(LA )是未变形系的桨叶力，T 是转换矩阵: H HL
(3.442)
151

FA =⎢FA −MA MA⎥T H⎣zxy⎦
(3.443) ⎡β010⎤
(LA )= ⎢LA LA LA M A ⎥T ⎣uvωˆ⎦
φ ⎢p⎥
THL =⎢−vβp cosψ+wsinψ wcosψ+(u+x)βp cosψ −vcosψ−(u+x)sinψ (−1+βpw’)cosψ+v′sinψ⎥ ⎢⎥
⎢ wcosψ +vβ sinψ −wsinψ −(x+u)β sinψ vsinψ −(x+u)cosψ (1−β ωw’)sinψ +v′cosψ⎥ ⎣ppp⎦
在稳定性分析中，需要桨毂面内扰动力。通过下式得到:
ΔFA=Δ(T (LA))
=(ΔT )(LA)+T (Δ(LA)) HL HL
注意，THL 是u,v,w,v’,w’的函数。第一项
3.444 式中第一项(ΔT )(LA )可以写成: HL
H
HL
(3.444)
(ΔT )(LA)=⎛∂T ⎞(LA)Δu+⎛∂T ⎞(LA)Δv+⎛∂T ⎞(LA)Δw HL ⎜∂u HL⎟ ⎜∂v HL⎟ ⎜∂ω HL⎟
其中，
⎝⎠⎝⎠⎝⎠ +⎛ ∂ T ⎞(LA)Δv′+⎛ ∂ T ⎞(LA)Δw’
(3.445)
⎡ 0 0 0 0⎤ ⎢⎥
⎜∂v′ HL ⎟ ⎜∂ω′ HL ⎟ ⎝⎠⎝⎠
= [DTQU]⎪ ⎪ ⎨Δw⎬
+ [DTQUP]⎪ ⎪ ⎨Δw ‘⎬
⎧Δu⎫ ⎪Δv⎪
⎧Δu′⎫ ⎪Δv′⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪ ˆ⎪ ⎩Δφ⎭
⎪ ˆ⎪ ⎩Δφ′⎭
[DTQU]=⎢ β cosψLA −sinψLA −(β LA +LA )cosψ sinψLA +cosψLA 0⎥ ⎢pvwpuwuv⎥
⎢−β sinψLA +cosψLA (β LA +LA )sinψ cosψLA −sinψLA 0⎥ ⎣pvwpuwuv⎦
(3.446)
[DTQUP]= ⎢0 sinψMA β cosψMA 0⎥ (3.447)
⎡0 0 0 0⎤ ⎢φpφ⎥
⎢0 cosψMA −β sinψMA 0⎥ ⎣φpφ⎦
AAAA 上面两个矩阵中，Lu,Lv,Lw,Mφ 取配平值。
152

第二项
3.444 式中第二项，未变形系下，力矢量 Δ (LA )的扰动可以写成:
Δ(LA)=Δ(TT L) DU
=(ΔTT )L+TT (ΔL) DU DU
(3.448)
其中， L 是变形系下的桨叶力向量， TT 是变形系到未变形系的转换矩阵(参见第 2 章)。 DU
⎡1(22)ˆ ˆ ⎤ 1− v′ +w’ φ(v′sinθ −w’cosθ)−v′cosθ −w’sinθ φ(v′cosθ +w’sinθ)+v′sinθ −w’cosθ 0 ⎢2⎥
⎢11⎥ ⎢2ˆ2ˆ⎥
v′ cosθ −v′w’sinθ +cosθ −φsinθ ⎢11⎥
v′ sinθ −v′w’cosθ −sinθ −φcosθ 0 ⎢ˆˆ⎥
T v′ − (TDU ) = ⎢
⎥ ⎢22⎥
2
w’ − w’2 sinθ +sinθ +φcosθ w’2 cosθ +cosθ −φsinθ 0
ˆ 注意， TT 是 4×4 矩阵，而不是第 2 章中的 3×3 矩阵。这有助于代数运算。它是 φ , v ‘, w ‘
DU
的函数(θ 是常数)。
3.448 式中 (ΔTT )L 项可以写成:
2
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦ (3.449)
DU
()⎛∂⎞ˆ⎛∂⎞⎛∂⎞
Δ TT L= TT LΔφ+ TT LΔv′+ TT LΔw’
DU ⎜∂φ DU⎟ ⎜∂v′ DU⎟ ⎜∂ω′ DU⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠
其中，
3.448 式第 2 项中的(ΔL)可以写成: ⎧Lu ⎫
= [DTDU]⎪ ⎪ ⎨Δw⎬
+ [DTDUP]⎪ ⎪ ⎨Δw ‘⎬
⎧Δu⎫ ⎪Δv⎪
⎧Δu′⎫ ⎪Δv′⎪
(3.450)
(3.451)
(3.452)
(3.453)
⎪⎪
⎪⎪
⎪ ˆ⎪ ⎩Δφ⎭
⎪ ˆ⎪ ⎩Δφ′⎭
[DTDU]=⎡0 0 0 ⎛∂TT ⎞L⎤ ⎢ ⎜∂φ DU ⎟ ⎥
⎣⎝⎠⎦ [DTDUP]=⎡0 ⎛ ∂ TT ⎞L ⎛ ∂ TT ⎞L 0⎤
⎢ ⎜∂v′DU⎟ ⎜∂w’DU⎟ ⎥ ⎣⎝⎠⎝⎠⎦
⎪L⎪ ΔL=Δ⎪ v ⎪
⎨L⎬
⎪w⎪
⎪M ⎪ φ
⎩ˆ⎭
153

其中， Lu , Lv , Lw , M ˆ 是变形系中的桨叶力。 φ
3.1 节中，我们得到了变形系中的桨叶力为(3.68~3.71 式): L = γ (−d U U )
u60RT L=γ(−dU2−(c−d)UU +(c−d)U2)
v60T01TP12P L =γ(cU2−(c+d)UU +dU2)
(3.454)
w60T10TP1P
γc{()}
M= cU2+U2−fUU−eL
ˆ
mac
TP
1TP
dw
6R 对其进行扰动，可得:
φ
ΔLu =γ(UUT×ΔUT +UUR×ΔUR) 6
ΔLv =γ(VUT×ΔUT +VUP×ΔUP) 6
ΔLw =γ(WUT×ΔUT +WUP×ΔUP) 6
ΔMˆ =γ(AMUT×ΔUT +AMUP×ΔUP)
6
(3.455)
(3.456)
其中，
φ
UUT = −d0 (UR )
UUR = −d0 (UT )
VUT=−2dU −(c−d)U 0T01P
VUP=−(c0−d1)UT +2(c1−d2)UP WUT=2cU −(c+d)U
0T10P WUP=−(c+d)U +2dU
10T1P AMUT=c(2c U−fU)−e×WUT
macT 1P d AMUP=c(2c U−fU)−e×WUP
R R
mac P 1 T d
速度扰动可以写成:
154

T ⎣
⎦⎨Δw⎬ ⎣ ⎦⎨Δw’⎬ ⎪⎪ ⎪⎪
⎧Δu⎫ ⎧Δu′⎫ ⎪Δv⎪ ⎪Δv′⎪
ΔU =⎢TU TV TW TP⎥⎪ ⎪+⎢0 TVP TWP 0⎥⎪ ⎪
⎪ ˆ⎪ ⎪ ˆ⎪ ⎩Δφ⎭ ⎩Δφ′⎭
⎧Δu&⎫ ⎧ΔxF ⎫ ⎪⎪ ⎪Δy⎪
Δv& ⎪ F⎪ +⎢0 TVD TWD TPD⎥⎪ ⎪+⎢0 0 0 TAS 0⎥⎪Δz ⎪
⎣ ⎦ ⎨ Δ w& ⎬ ⎣ ⎦ ⎨ F ⎬ ⎪⎪ ⎪Δα⎪
⎪ &⎪ ˆ
⎪ s⎪ ⎪Δφ ⎪
⎩Δφ⎭
⎧Δx&F ⎫
⎩s⎭
⎧Δλ ⎫ +⎢TXFD TYFD TZFD TASD TPSD⎥⎪Δz& ⎪+⎢TLO TLS TLC⎥⎪Δλ ⎪
⎣
⎦⎨ F⎬ ⎣ ⎪Δα& ⎪
⎦⎨ 1s⎬ ⎪Δλ ⎪
ΔU =⎢PU PV PW PP⎥⎪ ⎪+⎢0 PVP PWP 0⎥⎪ ⎪ P⎣ ⎦⎨Δω⎬⎣ ⎦⎨Δω′⎬
⎩Δφ⎭
⎧Δx&F ⎫
⎩s⎭
⎧Δλ ⎫ +⎢PXFD PYFD PZFD PASD PPSD⎥⎪Δz& ⎪+⎢PLO PLS PLC⎥⎪Δλ ⎪
⎣
⎦⎨ F⎬ ⎣ ⎪Δα& ⎪
⎦⎨ 1s⎬ ⎪Δλ ⎪
155
⎪Δy& ⎪
⎪F⎪ 0
⎪ s⎪
⎩ 1c⎭ (3.457)
⎪Δφ ⎪ ⎩s⎭
⎧Δu⎫ ⎧Δu′⎫ ⎪Δv⎪ ⎪Δv′⎪
⎪⎪ ⎪⎪
⎧ Δ u& ⎫ ⎧ Δ x F ⎫ ⎪⎪ ⎪Δy⎪
⎪ ˆ⎪ ⎪ ˆ⎪ ⎩Δφ⎭ ⎩Δφ′⎭
Δv& ⎪ F⎪ +⎢0 PVD PWD PPD⎥⎪ ⎪+⎢0 0 0 PAS 0⎥⎪Δz ⎪
⎣ ⎦⎨Δω&⎬ ⎣ ⎦⎨ F⎬ ⎪⎪ ⎪Δα⎪
⎪ &⎪ ˆ
⎪ s⎪ ⎪Δφ ⎪
&
⎪Δy& ⎪
⎪F⎪ 0
⎪ s⎪
⎩ 1c⎭ (3.458)
⎪Δφ ⎪ ⎩s⎭
&

⎧Δu⎫ ⎧Δu′⎫ ⎪Δv⎪ ⎪Δv′⎪
ΔU =⎢RU RV RW RP⎥⎪ ⎪+⎢0 RVP RWP 0⎥⎪ ⎪ R⎣ ⎦⎨Δω⎬⎣ ⎦⎨Δω′⎬
⎪⎪ ⎪⎪
⎪ ˆ⎪ ⎪ ˆ⎪ ⎩Δφ⎭ ⎩Δφ′⎭
⎧ Δ u& ⎫ ⎧ Δ x F ⎫ ⎪⎪ ⎪Δy⎪
Δv& ⎪ F⎪ +⎢0 RVD RWD RPD⎥⎪ ⎪+⎢0 0 0 RAS 0⎥⎪Δz ⎪
⎣ ⎦⎨Δω&⎬ ⎣ ⎦⎨ F⎬ ⎪⎪ ⎪Δα⎪
⎪ &⎪ ˆ
⎪ s⎪ ⎪Δφ ⎪
⎩Δφ⎭
⎧Δx&F ⎫
⎪Δy& ⎪
+⎢RXFD RYFD RZFD RASD RPSD⎥⎪Δz& ⎪+⎢RLO RLS RLC⎥⎪Δλ ⎪
⎣ ⎦⎨ F⎬ ⎣ ⎪Δα& ⎪
⎧Δλ ⎫ ⎦⎨ 1s⎬
(3.459)
将 3.457~459 式代人 3.455 式，得到未变形系桨叶力的扰动为: ΔL=γ(DΔu+D′Δu′+D&Δu&+D Δx +D& Δx& +DΔλ) (3.460)
⎩s⎭
⎪F⎪ 0
⎪ s⎪
⎪Δλ ⎪ ⎩ 1c⎭
⎪Δφ ⎪ ⎩s⎭
&
其中，
⎢ D =⎢
VUT × TU + VUP × PU WUT × TU + WUP × PU
K K
VUT × TP + VUP × PP ⎥ ⎥
(3.461)
u ⎢
K K
WUT × TP + WUP × PP ⎥
⎡ ⎢
Du′ =⎢ ⎢
UUT×TUP+UUR×RUP VUT×TUP+VUP×PUP WUT ×TUP +WUP× PUP
K K K K
UUT×TPP+UUR×RPP ⎤ VUT×TPP+VUP×PPP ⎥
6
u u u xF F xF F λ
⎡ UUT×TU+UUR×RU KK UUT×TP+UUR×RP ⎤
⎢AMUT×TU+AMUP×PU KK AMUT×TP+AMUP×PP⎥ ⎣⎦
K K
⎢AMUT ×TUP + AMUP× PUP K K AMUT ×TPP + AMUP× PPP⎥
⎣⎦
(3.462)
⎡ UUT ×TUD +UUR× RUD K K UUT ×TPD +UUR× RPD ⎤
⎢ VUT×TUD+VUP×PUD K K VUT×TPD+VUP×PPD ⎥ D=⎢ ⎥ u& ⎢ WUT ×TUD +WUP× PUD K K WUT ×TPD +WUP× PPD ⎥
(3.463)
⎢AMUT×TUD+AMUP×PUD K K AMUT×TPD+AMUP×PPD⎥ ⎣⎦
156
⎥ WUT ×TPP +WUP× PPP ⎥

D =⎢ xF ⎢0
D
⎡ UUT×TL0 +UUR×RL0 UUT×TLS+UUR×RLS UUT×TLC+UUR×RLC ⎤ = ⎢ VUT ×TL +VUR× PL VUT ×TLS +VUR× PLS VUT ×TLC +VUR× PLC ⎥
⎡0 0 0
UUT ×TAS +UUP× PAS 0⎤
VUT ×TAS +VUP×PAS 0⎥
⎥ (3.464)
⎢0 0 0
WUT ×TAS +WUP× PAS 0⎥ ⎣⎦
0 0
⎢0 0 0 AMUT×TAS+AMUP×PAS 0⎥
⎡ UUT×TXFD+UUR×RXFD K K UUT×TPSD+UUR×RPSD ⎤
⎢ VUT ×TXFD +VUP× PXFD K K VUT ×TPSD +VUP× PPSD ⎥ D=⎢ ⎥ x&F ⎢ WUT×TXFD+WUP×PXFD K K WUT×TPSD+WUP×PPSD ⎥
⎢AMUT×TXFD+AMUP×PXFD K K AMUT×TPSD+AMUP×PPSD⎥ ⎣⎦
(3.465)
λ⎢00 ⎥ ⎢AMUT×TL +AMUP×PL AMUT×TLS+AMUP×PLS AMUT×TLC+AMUP×PLC⎥
⎣00⎦ (3.466)
将 3.445，3.450，3.460 式代人 3.444 式，可得: ΔFA =(ΔT )(LA)+T (Δ(LA))
H HL HL
= [DTQU]Δu + [DTQUP]Δu′
+THL [DTDU]Δu + [DTDUP]Δu′ (3.467)
s
Δ u& = H s Δ q&
{
+(TT )D Δu+(TT )D ′Δu′+(TT )D Δu&
DU u DU u DU u&
+(TT )D Δx +(TT )D Δx& +(TT )D Δλ}
DU xF F DU x&F F DU λ 位移扰动向量 Δu, Δu ‘, Δu& 可以用型函数表示:
Δu = HsΔq Δu′ = H′Δq
3.467 式给出了一个径向位置处的桨叶力对桨毂面内的力的贡献。要得到桨叶上一个单元贡献的力，就要对桨叶截面力沿单元长度li 积分。
从 3.467 式可以得到如下单元矩阵。入流-桨叶刚度矩阵
[EKLB]=−li∫1{[DTQU]H +[DTQUP]H′ 0ss
+T [DTQU]H + T [DTQUP]H′ (3.468) HL sHL s
+T(TT )DH+T(TT )DH′}ds HL DU u s HL DU u′ s
入流-桨叶阻尼矩阵
157

[ECLB]=−l∫1T (TT )DHds i 0 HL DU u& s
F
(3.469)
(3.470)
(3.471)
(3.472)
入流-机身刚度矩阵 [EKLF]=−l∫1T (TT )D ds
i 0 HL DU x 入流-机身阻尼矩阵
[ECLF]=−l∫1T (TT )D ds
i 0 HL DU x& 入流-入流刚度矩阵
F
[EKLL]=−l∫1T (TT )D ds i 0 HL DU λ
实现
Subroutine DMODEL 中计算矩阵[l]和[m]。矩阵 EKLB，ECLB，EKLF，ECLF，EKLL 是在subroutine AEROMX中计算(它们是单元矩阵)。桨叶-入流和机身-入流矩阵在3.2节
推导。为了计算拉力、俯仰和滚转力矩，每片桨叶上的所有单元的贡献都被加起来。
参考文献
1. Leishman, J.G., Beddoes, T.S., “A Semi-Empirical Model for Dynamic Stall”, Journal of the American Helicopter Society, Vol. 34, No. 3, 1989.
2. Drees, J.M., “A Theory of Airflow Through Rotors and its Application to Some Helicopter Problems”, Journal of the HelicopterAssociation of Great Britain, Vol. 3, 1949.
3. Johnson, W., “A Comprehensive Analytical Model of Rotorcraft Aerodynamics and Dynamics, Part 1: Analysis Development”, NASA TM-81182, June 1980.
4. Johnson, W., “Wake Model for Helicopter Rotor in High Speed Flight”, NASA CP-177507, Nov. 1988.
5. Anderson, J. D.,Jr., Modern Compressible Flow, with Historical Perspective, McGraw-Hill Book Co. 1982.
6. Fung, Y.C., An Introduction to the Theory of Aeroelasticity, Dover Publications Inc., N.Y., 1960.
7. Leishman, J.G. “Validation of Approximate Indicial Aerodynamic Functions for Two-Dimensional Subsonic Flow”, Journal of Aircraft, Vol. 25, No. 10, 1988.
8. Bisplinghoff, R.L., Ashley, H., Halfman, R.L., Aeroelasticity, Addison-Wesley Publishers, 1955.
9. Leishman, J.G. “Two-Dimensional Model for Airfoil Unsteady Drag Below Stall”, Journal of Aircraft, Vol. 25, No. 7, 1988.
158

10. Landgrebe, A.J., “An Analytical Method for Predicting Rotor Wake Geometry”, Journal of the American Helicopter Society, Vol. 14, No. 4, 1969.
11. Scully, M.P., “Computation of Helicopter Rotor Wake Geometry and Its Influence on Rotor Harmonic Airloads”, Massachusetts Institute of Technology, ASRL TR 178-1, 1975.
12. Pitt, D.M., Peters, D.A., “Theoretical Prediction of Dynamic Inflow Derivatives”, Vertica, Vol. 5, 1981.
13. Gaonkar, G.H., Peters, D.A., “Effectiveness of Current Dynamic Inflow Models in Hover and Forward Flight”, Journal of the American Helicopter Society, Vol. 31, No. 2, 1986
159

4. 配平分析 4.1 概述
配平分析需要求解同时满足直升机平衡方程和桨叶运动方程的旋翼操纵量、直升机姿态、桨叶响应。满足直升机平衡方程意味着直升机上的合力和合力矩在旋翼转动一周内的平均值为 0。4.2.1 节推导了直升机配平方程。4.2.2 节介绍了风洞配平。
满足桨叶运动方程意味着确定在特定的某一组操纵输入下的稳态周期响应。4.2.3 节给出了桨叶响应方程。4.2.4 节介绍了桨叶运动方程如何转换到模态空间。4.3 节介绍了时间有限元法求解桨叶运动方程。4.4 节介绍了耦合配平算法，即同时求解桨叶运动方程和直升机配平方程。4.5 节介绍了配平分析的实现。
桨叶在模态空间中的有限元运动方程是非线性、周期性常微分方程，有多重求解方法。常用的有谐波平衡法，periodic shooting法，直接积分法。具有高效和鲁棒性好的时间有限元法被用于求解桨叶非线性运动方程。
4.2 配平方程
配平方程包括直升机配平方程，以及桨叶稳态响应方程。配平解有多种形式，总的来说，可以分成两类:自由飞配平和风洞配平。
4.2.1 推力配平假设发动机能够提供维持飞行所需的所有功率。在稳态飞行条件下，通过求解直升机 3
个力(垂向、纵向和横向)和 3 个力矩(俯仰、滚转、偏航)的平衡方程，得到推力配平解。例如，在给定的总重和平飞速度下，配平解会给出旋翼桨距操纵量(总距θ0 、周期变距θ1c ，
θ1s )，全机姿态(纵向轴倾角αs ，横向轴倾角φs )，以及尾桨桨距(总距θtr )。一般来说，直升机平衡条件可以表示为:
(4.1)
(4.2)
F = 0
其中，FT =[F,…,F ]的精确表达式取决于所计算配平状态。
1n 直升机在稳态条件下的力平衡方程如下(图 4.1):
F=Dcosθ +Hcosα−Tsinα 1 F FP s s
160

(a) 俯视图
(b) 侧视图(从左看)
(c) 后视图
图 4.1 直升机平衡状态下，旋翼和机身上的力和力矩
161

F2 =YF +Ycosφs +Tsinφs +Ttr
F =Tcosα cosφ −D sinθ +Hsinα −Ysinφ −W−L
(4.3) (4.4)
(4.5)
(4.6) (4.7)
3 s s F FP s s ht F4=MxR +MxF +YF(hcosφs+ycgsinφs)
+W (h sinφs − ycg cosφs )+Ttr (h − ztr )
F =M +M −D (hcos[α −θ ]+x sin[α −θ ])
5 yR yF F s FP cg s FP +W (h sinαs − xcg cosαs )+ Lht (xht − xcg )
F =M +M +T (x −x )−D y cosα −Yx cosφ 6 zR zF tr tr cg F cg s cg s
其中， F , F , F 分别是 X，Y，Z 方向平衡方程的残差， F , F , F 分别是对于直升机桨毂 123 456
中心的滚转、俯仰、偏航力矩平衡方程残差。H，Y，T 分别是旋翼阻力、侧向力、拉力， DF ,YF ,W 分别是机身阻力、侧向力和总重。Ttr , xtr , ztr 分别是尾桨拉力、尾桨毂在全机重
心后方距离，尾桨毂在全机重心上方距离。 Lht , xht 分别是平尾升力，以及平尾在直升机重心后方的距离。在三个力矩方程中，MxR ,MxF 分别表示旋翼和机身力矩。xcg,ycg,h分别是桨毂中心到桨毂中心位置矢量在 X F ,YF , ZF 轴上的分量。αs ,φs 是旋翼轴纵向和横向倾角。 θFP 是相对于垂直于重力矢量的轴的航迹角。
作用在机身上的力的表达式为:
DF=γNb fμ2 6aσ A
Y =γNb C μ2 F 6aσyF
M =γNb C μ2 xF 6aσ mxF
M =γNb C μ2 yF 6aσ myF
M =γNb C μ2 zF 6aσ mzF
数，Cw是直升机重量系数，ClF 是机身升力系数。 162
(4.8)
(4.9) (4.10) (4.11) (4.12) (4.13)
W=γNb(C−Cμ2 2)
w lF
其中，γ是洛克数，Nb 是桨叶片数，a是参考升力线斜率，σ是桨叶实度， f A是机身
3aσ
平板面积，CyF 是机身侧向力系数，CmxF ，CmyF CmzF 分别是机身滚转、俯仰和偏航力矩系

自由飞/推力配平中，平衡方程(4.2~4.7 式)中的未知量为:
θT =[α,φ,θ ,θ ,θ ,θ ] (4.14)
s s 75 1c 1s 75tr 其中，旋翼配平参数θ75 ,θ1c ,θ1s 决定了主桨的桨距，即:
θ0(x,ψ)=θ75 +θtw(x−0.75)+θ1c cosψ +θ1s sinψ (4.15) 式中，x 是无量纲径向长度，θtw 是桨叶预扭角，θ75 是桨叶半径 75%R 处总距角，θ1c ,θ1s , 分别是横向和纵向周期变距角。尾桨桨距输入为常数θt 。
推力配平的一种特殊情况就是轴对称悬停状态。这时， xcg , ycg 均等于零，且旋翼受到轴对称的载荷作用。力的平衡方程变成:
F3 =T−W (4.16) 满足上式的总距解θ0 是通过悬停耦合配平得到。由于平衡方程是非线性方程组，为了对其
数值求解，需要给出初始值。通常将刚性桨叶配平结果作为初值。
4.2.2 风洞配平
风洞配平是为了模拟旋翼在风洞中的实验条件。常用的方法是给定总距、旋翼轴倾角 (αs ,φs )，以及前飞速度，然后调节周期变距(θ1c ,θ1s )来使挥舞角( β1c , β1s )为零。因此，配平方程中的未知量为:
θT =[θ ,θ ] 1c 1s
这里忽略机身载荷和尾桨。因此，纵向、横向和垂向力平衡方程无需求解。需要求解的平衡方程只有两个:
F4 =1∫2πwcosψdψ π0
桨叶响应方程是采用 Hamilton 变分原理推导出来的。第 2 章介绍了旋翼-机身方程的推导。对桨叶进行空间离散化后，矩阵形式的第 b 片桨叶的有限元运动方程为:
F = 1 ∫2π wsinψdψ
(4.17) (4.18)
π0 4.2.3 桨叶响应方程
5
163

M q& & + C ( ψ ) q& + K ( ψ ) q + M &x& + C ( ψ ) x& + K ( ψ ) x = F ( ψ , q , x ) ( 4 . 1 9 ) bb b b b b bFF bF F bF F b bF
式中，矩阵MbF ,CbF ,KbF 反映了机身运动对桨叶响应的影响。非线性项都包含在Fb 中。在耦合配平算法(4.4 节)中，在计算桨叶周期响应时，桨毂保持不动。这意味着:
&x&F =x&F =0 因此，桨叶响应方程退化为:
M q& & + C ( ψ ) q& + K ( ψ ) q = F ( ψ , q , x ) bbbbbbbbF
4.19 式中的KbF (ψ )xF 项被转移到 4.20 式中的Fb 中。 4.2.4 桨叶响应方程的模态缩减
( 4 . 2 0 )
有限元离散得到的(4.20)式通常具有很多自由度(40~100)。为了减少计算时间，将桨叶有限元方程转换到模态空间，从而大大降低了系统自由度数(通常 6~8)。模态变换需要桨叶模态参数(振型、固有频率)。
在计算固有频率和振型时，忽略外载荷和阻尼矩阵，桨叶运动方程 4.20 式可以写成:
M s q& & + K s ( ψ ) q = 0 bbbb
式中，上标 s 表示结构部分。对于自由振动， qb =qbeiωψ
( 4 . 2 1 )
(4.22)
将 4.22 式代人 4.21 式，可得:
ω2q =(Ms ) Ks q
−1 bbbb
(4.23) 上式是一个代数特征值问题，可以采用雅可比法求解。最后得到的特征值ω2 是正实数，对
应的特征向量 Φ 也是实数，且具有正交性。桨叶上任意点的位移可以用振型和正则模态坐标的线性叠加来表示。桨叶全局位移向量
qb 可以用 m 个模态来表示:
qb =Φpb (4.24)
其中，Φ是NG ×m维的矩阵，pb是正则模态坐标向量。NG是桨叶全局自由度数，m是用来描述桨叶响应的模态数目。
164

从 4.24 式可得:
δqb =Φδpb
对 4.20 式施加模态转换，就得到桨叶的模态运动方程: Mp&&b +C(ψ)p&b +K(ψ)pb −F(ψ,pb)=0
其中，模态质量、阻尼、刚度矩阵和模态力矢量表达式分别为:
M = ΦT M Φ b
C = ΦT C Φ b
K = ΦT K Φ b
F = ΦT F b
求出模态响应后，在将其还原回物理坐标系，得到具有物理意义的桨叶响应。
4.3 时间有限元离散
(4.25)
(4.26)
(4.27)
4.26 式是非线性、周期性、常微分方程。采用基于 Hamilton 原理的时间有限元方法将桨叶运动方程进行时间离散。可以用拉格朗日多项式作为型函数对随方位角变化的正则模态
坐标pb 进行插值近似。在一个时间单元内，如果采用 n 阶型函数，那么每个自由度需要 n+1 个节点才能表示pb 在该单元内的变化。令时间节点坐标为ξ 。相邻时间单元的广义位移保
持连续。最终得到一组非线性代数方程，然后采用修正的牛顿法求解。对 4.26 式采用 Hamilton 原理，可以写成
∫ 0 2 π δ p Tb ( M p& & b + C p& b + K p b − F ) d ψ = 0 式中，2π是响应的周期， C,K矩阵包含周期系数，即
C(ψ ) = C(ψ + 2π ) K (ψ ) = K (ψ + 2π )
( 4 . 2 8 )
此外， F 为非线性，且具有周期性，推导见第 2，3 章。为方便时间有限元法的实现，对桨叶模态运动方程 4.28 式进行分部积分，可得
( 4 . 2 9 )
∫ 2 π ⎧ δ p b ⎫ T ⎧ F − C p& b − K p b ⎫ ⎧ δ p b ⎫ T ⎧ M p& b ⎫ 2 π
⎨ δ p& ⎬ ⎨ M p& ⎬ d ψ = ⎨ δ p& ⎬ ⎨ 0 ⎬ 0⎩b⎭⎩b⎭⎩b⎭⎩⎭
0
根据周期性，即 p& b (2π ) = p& b (0) ，上式等号右边等于 0。分部积分时，假设 M ≠ M(ψ ) 。
165

其中，
4.29 式可以写成
∫2πδyTQdψ =0
0
(4.30)
y = ⎧pb ⎫ ⎨p& ⎬
⎩b⎭ Q=⎧F−Cp&b −Kpb⎫
图 4.2 时间有限元离散
⎨ Mp& ⎬ ⎩b⎭
(4.31) 向量 Q 具有非线性，因为所有非线性项都包含在 F 中。 M, C, K 矩阵与位移无关。和
空间有限元方法离散类似，时间有限元法是将旋翼转一周的时间划分为若干个等长度的时间单元(图 4.2)。桨叶运动方程可以写成所有时间单元方程的叠加。4.30 式可以写成:
∑Nt ∫ψi+1δyTiQidψ=0 (4.32) i=1 ψi
其中，ψ =0，ψ =2π，N时间单元数目。将4.32在某一稳态值y =⎡pT p&T ⎤T附 1 Nt+1 t 0⎣b0 b0⎦
近作一阶泰勒展开，可得，
∑Nt ∫ψi+1δyTiQi(y0+Δy)dψ= i=1 ψi
(4.33)
∑Nt ψ ∫⎣
i=1 ψi 166
ii0t0 i
⎦
i+1δyT ⎡Q(y )+K (y )Δy⎤dψ=0

其中，
⎡∂F −K ∂F −C⎤ Κ =⎢∂pb ∂p&b ⎥
(4.34) 对于第 i 个时间单元，节点位移随时间变化可以用型函数Ht 和时间节点位移向量ξi 表
示，
pbi (ψ)=Ht(s)ξi (4.35) 式中，第 i 个时间单元的局部时间坐标 s ( 0 ≤ s ≤ 1)可以写成，
s= ψ−ψi ψi+1 −ψi
ti
⎢0M⎥ ⎣ ⎦i
注意，ψi+1 −ψi是第i个时间单元的时间间隔。4.35式中，Ht是时间型函数矩阵， H=⎡HI, …, H I⎤
t ⎣t1m tnt+1m⎦
其中， I m 是 m × m 维单位矩阵，m 是模态位移向量维数，下标 nt 表示用于模拟模态位移向量时间变化的的近似多项式阶数。如果采用 n 阶多项式近似，那么每个桨叶模态都需要 n+1 个节点来完整描述pb 在时间单元内的变化。因此，Ht 是m×m(nt +1)维矩阵。
软件采用 5 阶型函数(拉格朗日多项式) Ht 来进行节点位移插值，因此，每个时间单元有 6 个节点。 Ht 表达式为:
Ht1(s)=(−625s5 +1875s4 −2125s3 +1125s2 −274s+24) 24 Ht2(s)=(3125s5 −8750s4 +8875s3 −3850s2 +600s) 24 Ht3(s)=(−3125s5 +8125s4 −7375s3 +2675s2 −300s) 12
H t 4 ( s ) = (3 1 2 5 s 5 − 7 5 0 0 s 4 + 6 1 2 5 s 3 − 1 9 5 0 s 2 + 2 0 0 s ) 1 2
Ht5 (s) =(−3125s5 +6875s4 −5125s3 +1525s2 −150s) 24 H (s)=(625s5 −1250s4 +875s3 −250s2 +24s) 24
t6
软件提供了 3、4、5 阶多项式作为可选用的时间型函数。4 阶多项式为:
167

其中，
i=1 ψi
⎧ H t (ψ ) ⎫
其中，
t4 由 4.35 式可知，
类似地可得，
&
p& b i ( ψ ) = H t ( s ) ξ i
δpbi (ψ)=Ht(s)δξi &
(4.36)
(4.37) (4.38)
(4.39)
(4.40)
(4.41)
(4.42)
H (s)=(32 s4 −80 s3 +70 s2 −25 s+1) t1 3 3 3 3
H (s)=(−128 s4 +288 s3 −208 s2 +16s) t2 3 3 3
H (s) = (64s4 −128s3 + 76s2 −12s) t3
H (s)=(−128 s4 +224 s3 −112 s2 +16 s) t4 3 3 3 3
H (s)=(32 s4 −16s3 +22 s2 −s) t5 3 3
3 阶多项式为:
t1
H (s)=(−4.5s3 +9.0s2 −5.5s+1) H (s)=(13.5s3 −22.5s2 +9.0s)
t2
H (s) = (−13.5s3 +18.0s2 − 4.5s)
t3
H (s)=(4.5s3 −4.5s2 +s)
δ p& b i ( ψ ) = H t ( s ) δ ξ i 将 4.35~4.38 式代入 4.33 式，可得，
∑Nt ψ ∫⎣
i+1δξTNT ⎡Q +K NΔξ ⎤dψ =0
⎦
时间单元边界条件为周期性边界条件，即 pb (0) = pb (2π ) 。对于i =1,…,N ，δξT 可取任意值，因此4.39式可以写成
N = ⎨ H& ( ψ ) ⎬ ⎩t⎭
ti
QG +KGΔξG =0 t
iiti i
QG=∑Nt ∫ψi+1NTQdψ
i=1 ψi
i
168

4.41 式就是离散后的桨叶运动方程。
KG =∑Nt ∫ψi+1 NTK Ndψ
(4.43)
( 4 . 4 4 )
t
t i
i=1 ψi Δ ξ G = ∑N t Δ ξ
i i=1
否
初始配平解
模态运动方程
桨叶响应
旋翼、机身载荷
否耦合配平?
是阵结束?
是
雅可比矩
4.4 耦合配平
计算雅可比阵
桨叶方程转换
运动方程求解
载荷计算
更新配平操纵
更新入流
否是收敛?
输出结果
图 4.3 耦合配平计算流程图
配平分析的基本假设是直升机处于稳态平飞状态。这就要求桨叶运动方程的解收敛到周期解，且旋翼上的力满足平衡方程。为了确定这个“准确”解，将桨叶运动方程和直升机配平方程同时求解。值叫做“耦合配平分析”。
169

图 4.3 给出了耦合配平的计算流程。尾流模型需要事先知道环量和桨叶运动，因此在第一次迭代时无法使用。为此，前几次迭代采用简单的均匀或线性入流模型。经过几次迭代后，再采用自由或刚性尾流模型来计算入流。时间循环包含了 Jacobian 矩阵的计算，以及采用牛顿-拉菲逊算法进行操纵量的更新。当响应和尾流解都收敛时，耦合配平结束。
4.4.1 初始操纵估算
由于配平分析具有非线性，因此合理的初值对于确保收敛性很重要。软件采用非耦合配平分析结果作为初始假设。它是求解刚性桨叶挥舞方程和直升机平衡方程。
直升机非线性平衡方程包括三个力(垂向、纵向和横向)和两个力矩(俯仰和滚转)。由于偏航力矩很小，对旋翼响应的影响可忽略。因此一共有 5 个平衡方程。直升机稳态飞行状态下的平衡方程为:
垂向力:
W−Tcosαs cosφs +DsinθFP −Hsinαs +Ysinφs =0 纵向力:
DcosθFP +Hcosαs −Tsinαs =0 侧向力:
YF +Ycosφs +Tsinφs =0 滚转力矩:
MF +MXF +YF (hcosφs +Ycg sinφs)+W(hsinφs −Ycg cosφs)=0 俯仰力矩:
MY +MYF +W(hsinαs −Xcg cosαs)−D(hcosαHP +Xcg sinαHP)=0 其中，
αs =αHP −θFP
T 是旋翼拉力，H 和 Y 分别是旋翼阻力和侧向力，αs ,φs 分别是旋翼轴向前和侧向倾角，
Xcg ,Ycg 分别是全机重心到桨毂中心的距离。气动力和桨叶挥舞运动有关，所以还需要挥舞运动方程。桨叶挥舞为周期函数，假设只
考虑平均值和一阶挥舞，其傅立叶系数可通过求解以下方程得到:
170
(4.45)
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
(4.50)

1 ∫2π(&&
) β+v2β−γM −v2 β cosψdψ=0
β+v2β−γM−v2β dψ=0
(4.51) (4.52) (4.53)
2π 0
1 ∫2π (&&
β ββ0p
)
π0
β ββ0p
1 ∫2π (&& )
β+v2β−γM −v2 β sinψdψ=0 β ββ0p
π0
式中，洛克数γ = ρacR4 I ，v 为旋转桨叶挥舞频率(单位:/rev)，v 为不旋转桨叶挥
bβ β0 舞频率(单位:/rev)。无量纲气动挥舞力矩表达式为:
入流比与旋翼拉力、直升机姿态和前飞速度有关。为考虑前飞状态桨盘入流的非均匀分布，采用 Drees 线性入流模型:
1∫1 ⎡⎛Uy ⎞2 ⎛U ⎞⎛Uy ⎞⎤ Mβ= x⎢⎜ ⎟θ0−⎜ x⎟⎜ ⎟⎥dx
(4.54)
2 0 ⎢⎝ΩR⎠ ⎝ΩR⎠⎝ΩR⎠⎥ ⎣⎦
λ=μtanα + T 1+K xcosψ+K xsinψ C()
(4.55)
(4.56)
(4.57)
HP 2μ2+λ2 x y
其中，
4 ⎡ ⎛ λ ⎞2 λ ⎤ K = ⎢(1−1.8μ2) 1+ − ⎥ x3⎢ ⎜μ⎟μ⎥ ⎣⎝⎠⎦
Ky =−2μ
悬停时，Kx =Ky =0。采用非线性方程求解器通过迭代求解全机配平方程(4.45~4.49式)，
桨叶挥舞方程(4.51~4.53 式)，入流方程(4.55 式)。对于给定的 μ 和 CW ，系统求解 9 个
未知量:β0 , β1c , β1s ,θ75 ,θ1c ,θ1s ,λ,αs ,φs 。软件还提供给用户提供输入文件直接输入操纵量
的选项。
4.4.2 采用时间有限元法求解桨叶稳态周期响应
对于每个时间单元，4.34式给出的时间单元切线矩阵Κti 和4.31式给出的时间单元载荷向量Qi是在稳态值y0下求得的。单元Qi和Κti 提供4.42和4.43式被分别组集成全局矩阵
Q G , K Gt 。
4.41 式是一组时间离散的非线性代数方程，采用牛顿法求解。第 i 次迭代后，更新响应
171

ξG =ξG +ΔξG i+1 i i
(4.58) 如果ΔξGi = 0，则意味着响应收敛。对于一组给定操纵设定，得到稳态响应的收敛值叫
做非耦合配平。对于耦合配平，响应方程和平衡方程必须同时收敛。
4.4.3 桨叶载荷和展向气动环量计算
得到桨叶响应后，下一步就是计算桨叶载荷和环量 Γ 。桨叶载荷用于计算旋翼桨毂载荷(4.4.4 节)。自由尾流模型计算入流 λ 时，需要用到环量。软件提供两种方法计算桨叶载荷:力叠加法和模态叠加法。
4.4.3.1 力叠加法
在力叠加法中，将桨叶上的气动载荷和惯性载荷沿展向积分，得到任意截面上的剪力和力矩。因为此时桨叶运动历程已知，所以可以采用第 3 章推导的表达式计算气动载荷( LuA ，
L A ， L A ， M A )。 vwφ
惯性力载荷也要通过桨叶运动历程得到。根据牛顿第二定律，作用在桨叶截面上的惯性力矢量为[1]:
∫∫ v
式中，FI =⎡LI,LI,LI ⎤T，LI,LI,LI分别是未变形桨叶x,y,z轴上的惯性力;ρ是桨叶质
FI = ρadηdζ (4.59) s
⎣uvw⎦uvw s 量密度; av 是桨叶相对于惯性系的加速度。桨叶加速度在桨叶未变形坐标系可以写成:
r
ˆˆˆ
a=axi+ay j+azk
(4.60) 式中， r , r , r 分别是旋转桨叶坐标系内的桨叶加速度，速度和位移矢量， Ω 是旋翼旋转角
rrr && &
∫∫ r 其中，力臂 s 可以写成:
rrr
&& &
= r + Ω × (Ω × r ) + 2(Ω × r )
速度。绕变形后弹性轴的桨叶俯仰力矩的惯性分量可以写成[2]:
MI =− s×adηdζ =MIi+MIj+MIk
(4.61)
(4.62)
s=−[v′(y1 −v)+w′(z1 −w)]i+(y1 −v)j+(z1 −w)k 根据上述关系，惯性载荷分量可以表示成:
172
uvw

LI =−m[u&& −x−u −2v&+β w+e (v′−v&&′)cosθ ueepg1
& +eg(w′+βp −w&&′+2θ1)sinθ1]
LIv =−m[v&&−v+2u&e −2∫x(v′v&′+w′w&′)dx 0
− 2 β p w& − e g ( 1 + 2 v& ′ ) c o s θ 1 − 2 v ′ v&
(4.63)
( 4 . 6 4 )
(4.65)
(4.66)
(4.67)
(4.68)
上述载荷取决于桨叶加速度 u&&, v&&, w&&, φ&& ，它们可以直接对桨叶响应求导两次得到:
q& & b ( ψ ) = Φ H& & ( s ) ξ ( 4 . 6 9 )
但是，求导会降低时间型函数的阶数。例如，5 阶时间型函数求导后，得到的加速度在每个时间单元内做 3 阶变化。如果用立方多项式来表示随方位角变化的桨叶稳态响应，那么得到的稳态加速度就呈线性变化。有时候得到的惯性力精度较差。解决办法是增加时间单元数量或提高时间型函数阶数。可是，上述两种方法都会增加计算时间。这里采用的另一种办法就
是直接从运动方程中推导加速度项 q&&b 。从时间有限元方程的解中可以得到 qb , q& b ，以及质量 M 、阻尼 C 和刚度矩阵 K ，还有载荷向量 F 。将矩阵形式的运动方程重新整理，得到:
q&&(ψ)=M−1(F (ψ)−C (ψ)q& (ψ)−K (ψ)q (ψ)) (4.70) bbbbbb
尽管这么做会增加推导的复杂性，但是它可以得到更精确的桨叶加速度，从而提高惯性力的精度。桨叶截面合力等于气动力分量和惯性力分量之和:
∫1
LIw =−m[w&&+βpx+2βpv&+egθ1 cosθ1 −2w′v&−2w′′ x mv&dx]
&&
− e g ( θ 1 − φ + 2 w& ′ ) s i n θ 1 ] − 2 v ′ ′ x m v& d x
∫1 um1 1m2m111
&& MI=−m[k2θ+(1+2v&′−2θ)(k2 −k2)cosθsinθ
&& & +2w&(k2 sin2θ+k2 cos2θ)
m2 1 m1 1
+(xβp +2v&+w&&)eg cosθ1 +(v−v&&)eg sinθ1]
MI =−m[(v′+β +v&&′)(k2 −k2 )cosθ sinθ v pm2m111
&
+(w′−w&&′−2θ)(k2 sin2θ+k2 cos2θ)
1 m2 1 m1 1 −xφeg cosθ1 −(x+2v&)eg sinθ1]
&
MI =−m[(w&&′−w′−2θ −β )(k2 −k2 )cosθ sinθ
w 1pm2m111 +(v&&−v′)(k2 sin2θ+k2 cos2θ)
m2 1m1 1 +(x+2v&)eg cosθ1 −xφeg sinθ1]
L = LA + LI uuu
L = LA + LI vvv
(4.71) (4.72)
173

L =LA +LI www
M =MA+MI uφu
M =v′MA+MI vφv
M =w′MA+MI wφw
桨叶任意截面 x0 处的剪力和力矩可以通过对上述合力进行展向积分得到[1]: ⎧Fx ⎫ ⎧Lu ⎫
(4.73) (4.74) (4.75)
(4.76)
(4.77)
(4.78)
⎪F ⎪=∫R⎪L ⎪dx ⎨y⎬x⎨v⎬
⎪F ⎪ 0 ⎪L ⎪ ⎩z⎭ ⎩w⎭
⎧M ⎫ ⎧ −L (w−w )+L (v−v )+M ⎫ ⎪x⎪∫R⎪ v 0 w 0 u ⎪ ⎨My⎬= x ⎨Lu(w−w0)−Lw(x+u−x0 −u0)+Mv ⎬dx
⎪M ⎪ 0 ⎪−L (v−v )+L (x+u−x −u )+M ⎪ ⎩z⎭⎩u0v00w⎭
注意:上述桨叶截面载荷是在旋转系，指向桨叶未变形坐标轴。当计算桨叶载荷对桨毂载荷 (旋转系)的贡献时，要从桨毂中心到桨尖积分。因此，假设 4.77 和 4.78 式可以写成:
(4.79)
(4.80)
在力叠加法中，气动载荷和惯性载荷都是沿桨叶展向计算的，通过沿展向积分得到剪力和力矩。在模态叠加法中，用等效的模态力来代替气动力和惯性力的合力。等效模态力可以从桨叶模态响应中直接计算得到。这种方法包括两步:1)利用桨叶微分方程来消除主动力对于气动力的数值依赖性，2)从桨叶模态响应解中计算主动力。
⎧F ⎫ ⎧L ⎫ ⎪x⎪ ∫R⎪u⎪ ⎨Fy⎬= 0 ⎨Lv⎬dx
⎪F ⎪ ⎪L ⎪ ⎩z⎭ ⎩w⎭
⎧M⎫ ⎧−Lw+Lv+M ⎫ ⎪x⎪∫R⎪v w u⎪
⎨My⎬= 0 ⎨Luw−Lw(x+u)+Mv ⎬dx ⎪M ⎪ ⎪−Lv+L(x+u)+M ⎪
⎩z⎭⎩uvw⎭ 4.4.3.2 模态叠加法
要实现第一步，需要推导桨叶微分方程。这可以通过 Hamilton 原理得到: δπ =∫t2(δU −δT−δW)dt=0
t1
(4.81)
b
式中，δTb 是桨叶动能的虚变分，δUb 是桨叶应变能变分，δWb 是桨叶上的气动力所做的
bbb
虚功。它们的表达式可参见第 2 章。将 4.81 式中变分表达式代人，然后分部积分，并施加
适当的边界条件，就可得到以下 4 个非线性微分方程: 174

轴向力方程
L A = m u& & − 2 m v& − d E A ( u ′ − e c o s θ v ′ ′ − e s i n θ w ′ ′ ) u dx A o A o
ˆˆ −mΩ2x−[EA(e v′′sinθφ−e w′′cosθφ
(4.82)
AoAo +k2 +k2θ′w′v′′)′]
A2 Ao 摆振力方程
ˆ φ2
&&
LA =mv&&−me sinθφ−(Fv′)′−mΩ2v
vgoA
− (2meg Ω cosθo )v&′ − (2mΩβ p )w& − (2meg Ω cosθo )v&′
+(2mΩ)u&−(2megΩsinθo)w&′
ˆˆ +(mΩ2e sinθ )φ+(mΩ2xe sinθ )φ′
go go
+(EI sin2θ +EI cos2θ )v”” yozo
+(EI −EI )sinθ cosθ w”” zyoo
ˆˆ −(EAcosθu′)′′−(EBθ′cosθ )φ′′−(EC sinθφ′′)′′
o2oo2o
&&
+me (Ω2 cosθ +θ sinθ ) gooo
ˆ +[{(EIz −EIy)sin2θov′′φ
ˆˆ −(EIz −EIy)cos2θow′′φ}′′−(EAeAu′sinθoφ′)′′
ˆ (−GJφ′w′+EAk2θ′w′u′)′′
Ao
+2m∫x (v′v&′+w′w&′)dξ −2v′mv&+2v′′∫1mv&dξ]
(4.83)
0 x 挥舞力方程
− ( F A w ′ ) ′ + ( 2 m Ω β p ) v& + ( 2 m e g Ω s i n θ o ) v& ′ +{(EI sin2θ +EI cos2θ )w′′}′′
ˆ L Aw = m w& & − m e g c o s θ o φ
&&
zoyo
ˆˆ −(mΩ2xe cosθ )φ′−(EBθ′sinθφ′)′′
go2oo +(EC2 cosθoφ′′)′′−(EAeA sinθou′)′′
+{(EI −EI )sinθ cosθ v′′}′′−mΩ2(β x+θ e sinθ ) zyoo pogo
ˆˆ +{−{(EIz −EIy)cos2θov′′φ+(EIz −EIy)sin2θow′′φ}′′
ˆˆ +{EAcosθoeAu′φ′}′′+{GJφ′v′′
&&
+EAk2θ′v′′u′}′−2w′mv&+2w′′∫1mv&dξ} (4.84)
A o
扭矩方程
x
175

&&
ˆ
M A = m k 2 φ − ( m e s i n θ ) v& & + ( m e c o s θ ) w& &
ˆmgogo φ
+mΩ2e (sinθ v+xsinθ v′+xcosθ w′) gooo
ˆˆ −{(GJ +EBθ′2)φ′}′+{ECφ′′}′′
1o1 −{EAk2θ′u′}′+{EBθ′cosθ v′′}′
Ao2oo
−{EC sinθ v′′}′′+{EBθ′sinθ w′′}′
2o2oo
&&
+{EC cosθ w′′}′′−mk2θ −mΩ2β e cosθ x 2o mo pgo
−mΩ2(k2 −k2 )sinθ cosθ m2 m1 o o
+{(EI −EI )v′′w′′cos2θ −(EI −EI )sinθ cosθ w′′2 zy ozyoo
+(EI −EI )sinθ cosθ v′′2 zyoo
ˆ
{EAk2u′φ′+GJw′v′′}′} (4.85)
A AAAA
其中，Lu ,Lv ,Lw,Mφ 是气动载荷。上述方程中，单下划线项代表非线性项，双下划线项代表与桨叶变形无关的项。
为了方便代数处理，4.76~4.79 式可以改写成， LR =(LA −mu&&)+LI +LI −LR
uL u uc uo uNL
ˆ
LR −LI =(LA−mv&&+mesinθφ)+LI +LI −LR
vL vL v g o vc vo vNL
ˆ
LR =(LA −mw&&+me cosθφ)+LI +LI −LR
wL w g o wc wo wNL
&&
ˆ
MR−MI =(MA−mk2φ+mesinθv&&−mecosθw&&)+MI −MR
&&
&&
(4.86)
4.86 式中，下面介绍下标和上标的含义。考虑桨叶上一个微段，它在主动力和反作用力这两组力作用下处于平衡状态。反作用力是作用在桨叶微段两个横截面上法向和切向反作用力。这些反作用力用上标 R 表示;下标 L 代表线性力，下标 NL 代表非线性力。其它所有的力是主动力;其中，气动力用上标 A 表示，惯性力用上标 I 表示。主动惯性力有 4 类:1)与桨叶位移二阶时间导数有关，它们和气动力一起处于圆括号中;2)与桨叶位移一阶时间导数有关，用下标 c 表示，表明这些力源自哥氏力;3)与桨叶位移无关，用下标 o 表示;4) 与桨叶位移线性相关，用下标 L 表示。4.86 式中，所有主动力和反作用力表达式为:
主动力
LIuc =2mv&
LI =mΩ2x uo
φL φL φ m g o g o φo φNL
176

反作用力
LIvc = 2m(egΩcθov&′+Ωβpw& +egΩcθov&′−Ωu&+egΩc sinθow&′+v′v&) − 2 v ′ ′ ∫ 1 m v& d ξ + 2 m ∫ x ( v ′ v& + w ′ w& ) d ξ
x0
LI =−me(Ω2cosθ+θsinθ) vo g ooo
ˆˆ LI =−mΩ2(−v+e sinθφ+xe sinθφ′)
vL gogo
LRuL =−{EA(u′−eA cosθov′′−eA sinθow′′)}′ ˆˆ
LRuNL =−{EA(eA sinθov′′φ−eA cosθow′′φ
1
+ k2φ2 +k2θ′w′v′′)}′
ˆ
2A Ao
&&
LIw =−2m(Ωβpv&+egΩsinθov&′−w′v&)−2w′′∫1mv&dξ cx
LI =mΩ2(β x+e sinθ ) wo pgo
&&
MI =−me Ω2(sinθ v+xsinθ v′+xcosθ w′) φL g o o o
MI =m(k2θ +Ω2β e cosθ x+Ω2(k2 −k2 )sinθ cosθ ) φo mo pg o m2 m1 o o
(4.87)
LR =−(Fv′)′+{(EIsin2θ+EIcos2θ)v′′}′′ vL A y o z o
+{(EIz −EIy)sinθo cosθow′′}′′−(EAcosθou′)′′
ˆˆ −(EBθ′cosθ )φ′′′−(ECθ′sinθφ′′)′′
2oo2oo ˆˆ
LRvNL ={(EIz −EIy)(sin2θov′′φ−cos2θow′′φ)}′′
ˆˆ
2
−{EAe u′sinθ φ′}′′−{GJφ′w′+ EAk θ′w′u′}′′
AoAo
LR =(−Fw′)′+{(EIsin2θ+EIcos2θ)w′′}′′ wL A z o y o
ˆˆ −(EBθ′sinθ φ′)′′+(EC cosθ φ′′)′′
2oo2o
−(EAeA sinθou′)′′+{(EIz −EIy)sinθo cosθov′′}′′
ˆ LRwNL =−{(EIz −EIy)(cos2θov′′+sin2θow′′)φ′}′′
ˆˆ
2 +(EAcosθ e u′φ′)′′+(GJφ′v′′+EAk θ′v′′u′)′
oA Ao
ˆˆ MR =−{(GJ+EBθ′2)φ′}′+(ECφ′′)′′
φL 1o 1 −(EAk2θ′u′)′+(EBθ′cosθ v′′)′
Ao2oo
−(EC sinθ v′′)′′+(EBθ′sinθ w′′)′
2o2oo −(EC2 cosθow′′)′′
MR =(EI −EI )(cos2θ v′′w′′−sinθ cosθ w′′2 φNL z y o o o
ˆ
+sinθ cosθ v′′2)+{EAk2u′φ′+GJw′v′′}′
(4.88)
(4.89)
作用在桨叶截面上的总的主动力等于
L ={LA −mu&&}+LI +LI u u uc uo
ooA
177

ˆ
L ={LA −mv&&+me sinθφ}+LI +LI +LI
ˆ
L ={LA −mw&&+me cosθφ}+LI +LI +LI
w w g o wc wo wL
&&
ˆ
(4.94)
φL φL m g o o
&&
(4.90) (4.91) ( 4 . 9 2 )
(4.93) 下一步，就是推导特征值问题。在 4.86 式中，只保留线性刚度项，以及与桨叶位移二
v v g o vc vo vL
&&
ˆ
M = { M A − m k 2 φ + m e s i n θ v& & − m e c o s θ w& & } + M I + M I
φ φ m g o g o φo φL 将 4.86 式代入 4.89~4.92 式，可得:
L=LR +LR
u uL uNL
L=LR +LR
v vL vNL
L =LR +LR
w wL wNL
阶时间导数有关的惯性项，桨叶特征值问题可以表示成:
M =MR +MR φ φL φNL
LRuL =−mu&&
LR −LI =−mv&&+me sinθφ
vLvL go LRwL =−mw&&+meg cosθoφ
ˆ
MR −MI =−mk2φ+me(sinθv&&−cosθw&&)
&&
&&
ˆ
&&
令ω2是满足4.94式的第i阶特征值，⎡φ ,φ ,φ ,φ ⎤T 是第i阶特征向量。如果令ζ 为 i ⎣uvwˆ⎦ i
第 i 阶模态响应，那么
⎛u⎞ ⎛φu ⎞ ⎜v⎟ ∑⎜φ⎟
⎜ ⎟= M ξ ⎜ v ⎟ eiωit ⎜w⎟ i ⎜φ ⎟
(4.95)
⎜⎟i=1 ⎜w⎟ ⎜ ˆ⎟ ⎜φ ⎟
φˆ ⎝⎠ ⎝φ⎠i
必须也满足 4.94 式。将 4.95 式代入 4.94 式，可得: L R = m ∑M ω 2 φ ξ
uL
i ui i i=1
L R − L I = m ∑M ω 2 ( φ − e s i n θ φ ) ξ
ivgoˆii vL vL φ
i=1
LR =m∑Mω2(φ−ecosθφ)ξ
iwgoˆii wL φ
i=1
MR −MI =m∑M ω2(φ −e sinθφ +e cosθ )ξ
(4.96)
iˆgovgwii φLφL φ
i=1
将 4.96 式代入 4.93 式，得到桨叶截面上的主动力表达式为:
178
φ

L = m ∑M ξ ω 2 φ + L R
NL
4.97 式就是模态叠加法公式。注意，这种方法无需计算气动力。
对于旋翼桨叶，轴向力 Lu 是离心力为主导。4.97 式中的第 1 个方程暗示了离心力是从
轴向模态变形φu 通过数值计算得到。我们有时不希望如此。为提高计算效率，并避免采用轴向模态来计算离心力，软件中直接用 4.89 式来计算主动轴向力 Lu 。
通过4.97式得到主动力后，就可以用4.77和4.78式来计算特定截面上的桨叶载荷。4.79 和 4.80 式可用来计算桨叶对桨毂载荷的贡献。
气动环量计算
知道展向升力分布以后，就可以通过下式确定环量:
L = ρUT (4.98)
升力分布的具体计算方法可参见第 3 章。注意，如果选用自由尾流模型计算诱导入流分布的话，就必须采用力叠加法。自由尾流模型需要沿桨叶分布的气动环量和气动载荷。模态叠加法无需计算气动载荷。
4.4.4 桨毂载荷及其谐波计算
求解直升机平衡方程4.2~4.7式时，需要计算旋翼力T,H,Y,MxR ,MyR ,MzR 。这就需要
计算桨毂载荷。桨毂力的计算是将每一片桨叶上的力加起来得到的。在不旋转系，桨毂载荷表达式为:
X
m=1
xmymzmp
u
i=1
iiui u
L=m∑Mξω2(φ−esinθφ)+LI +LR
v
i=1
iivgoˆivv
φ L NL
L = m ∑M ξ ω 2 ( φ − e c o s θ φ ) + L R
w
i=1
iiwgoˆiw
φ NL
M =mk2∑M ξω2(φ −e sinθφ +e cosθ ) +MI +MR
(4.97)
φm
i=1
iiˆgovgwiφφ
φ LNL
FH (ψ)=∑Nb (Fm cosψ −Fm sinψ −Fm cosψ β )
(4.99)
(4.100)
FH (ψ)=∑Nb (Fm sinψ +Fm cosψ −Fm sinψ β )
Y
m=1
xmymzmp
179

FH(ψ)= Z
∑ m=1
(Fm +Fmβ ) zxp
(4.101)
(4.102)
( 4 . 1 0 3 )
MH (ψ)= X
∑ m=1
(Mm cosψ −Mm sinψ −Mm cosψ β ) xmymzmp
Nb
Nb
M H ( ψ ) = ∑N b ( M m s i n ψ + M m c o s ψ − M m s i n ψ β )
Y
m=1
xmymzmp
MH(ψ)=∑Nb (Mm+Mmβ)
(4.104) 其中，Fm,Fm,Fm是第m片桨叶上的剪力，Mm,Mm,Mm是第m片桨叶上的力矩。它们
Z
zxp m=1
xyz xyz 通过 4.79 和 4.80 式得到。
当估算直升机振动时，需要计算桨根或桨毂载荷的谐波。对于具有 Nb 片桨叶的旋翼，传到桨毂上，成为主要振源的的载荷为Nb ±1/rev的桨根面内剪力(径向力和阻力)，以及Nb
/rev 的桨根垂向剪力，还有 Nb ±1/rev 的桨根扭转和挥舞力矩，以及 Nb /rev 的桨根摆振方向力矩。
桨叶载荷是周期函数，因此可以用傅里叶级数表示:
其中，
f0 = 1 ∫2π f(ψ)dψ 2π 0
fnc =1∫2π f(ψ)cosnψdψ π0
fns =1∫2π f(ψ)sinnψdψ π0
f 可以是桨毂载荷或响应。高阶谐波对于振动分析很重要。因此将桨毂载荷用傅里叶级数展开。桨毂载荷的稳态分
量就是旋翼拉力、纵向和侧向力、滚转、俯仰力矩，以及旋翼轴扭矩。它们用于配平方程。
∑∞
f(ψ)=f0+ (f cosnψ+f sinnψ)
(4.105)
(4.106) (4.107)
(4.108)
(4.109) 下标 0 代表稳态分量，下标 n 代表 n 阶谐波项。fn 表示 n/rev 合分量的幅值。上述表达式中，
nc ns n=1
f= f2+f2 n nc ns
180

谐波分量用于振动计算。对于理想旋翼，每片桨叶的气动和结构特性完全一样，因此只有桨叶片数整数倍的谐波可以传到机体上。可见旋翼就像一个滤波器[3]。
4.4.5 全机载荷计算
确定全机平衡所需的最后一个分量就是全机载荷。它包括机身气动力、作用在直升机上的重力、反扭矩装置(如尾桨)的载荷。尾流简化分析，机身气动力采用简单的等效平板阻力面积和机身气动力矩系数来计算。
在模拟尾桨时，采用简单动力理论讲尾桨总距和尾桨拉力联系起来(见第 3 章)。用户还可采用尾桨气动数据表的方式来考虑失速和压缩性效应。
4.4.6 入流更新
在配平迭代过程中，得到新的 CT 和 α s 后，需要更新入流 λ 。对于入流模型的平均分量
( λ ≠ λ (ψ ) )，入流更新来自如下方程的解[3]: f(λ)=λ−μtanαs −CT 1 =0
(4.110)
(4.111)
(4.112)
(4.113)
2 μ2+λ2 牛顿-拉菲逊算法用来求得 λ 的收敛解，
λ =λ−⎛ f(λ) ⎞ i+1 i ⎜∂f(λ) ∂λ⎟
或
⎝ ⎠i
⎛μtanα +CT μ2 +2λ2 ⎞ ⎜ s 2 (μ2 +λ2)3 2 ⎟
λi+1 =⎜ C λ ⎜ 1+ T
⎟ ⎟
⎜ 2 (μ2 +λ2)3 2 ⎟
⎝
迭代的初始值为:
λ = μ tanαs + CT
2 μ2+CT
⎠i
2
对于 Drees 入流模型，上述方法用于计算入流的平均分量。
181

4.4.7 Jacobian 矩阵的计算和操纵更新
桨叶响应是配平操纵的函数。决定全机平衡的配平方程又是桨叶响应和配平操纵的函数。在求解满足桨叶响应和全机配平方程的操纵值时，采用了操纵量迭代更新算法，以及桨叶响应迭代更新算法。
采用泰勒级数将非线性平衡方程 4.2~4.7 式在配平操纵点附近展开[2]， F(θi +Δθi)=F(θi)+∂F|θ=θ Δθi =0
(4.114)
(4.115)
∂θ o
向量 F 是平衡方程 4.2~4.7 式的残差 F , F , F , F , F , F 。
将(4.114)式改写为， ⎡ ∂F ⎤−1
Δθi =−⎢∂θ⎥ F(θi) ⎣ i⎦θ=θo
123456
对于收敛解， Δθ 和 F 均为 0。操纵量采用如下方法进行更新， θi+1 =θi +Δθi
(4.116) 采用在 θ = θ0 点进行前向差分来计算配平雅可比矩阵 ∂F ∂θ 。为节省计算时间，令其
在整个分析过程中保持不变。
在计算雅可比矩阵时，对每个操纵量单独施加扰动，并通过 4.41 式来计算响应。通过
4.79 和 4.80 式计算旋转系载荷，然后采用 4.99~4.104 式转换到不旋转系。再将载荷输入到全机配平方程 4.2~4.7 式中，通过有限差分近似来计算残差 F 的变化:
∂F ∂θ ≈ F(θ + Δθ ) − F(θ ) (4.117) Δθ
其中，Δθ是对操纵量的小扰动。软件中，扰动量一般为原始值的 5%，但也可根据需要改变。一般来说，如果系统具有中等非线性的话，推荐采用 1%~5%的扰动。在极限飞行状态下，桨盘很大部分处于失速气流中，因此需要采用较小的操纵扰动量。
有时候可以采用阻尼因子来提供收敛速度。它叫做数值阻尼因子 R。
θi+1 =θi +RΔθi
其中，
R =1−r
且 0 ≤ r ≤ 1。在程序中，R 的值为
R =1−e−ζ r
(4.118)
(4.119)
(4.120)
182

ζ 的值通常取1 2 。一般来说，可以尝试令 R 取任意值。R 的作用是限制操纵更新量的大小。在上述的牛顿法中，如果初值与准确解接近，且阻尼 R 取值恰当的话，就会很快收敛。
下面介绍一种改进算法可以自动选择 R。 4.4.8 改进的配平算法
对于改进的牛顿法，阻尼因子 R 的选取非常关键。实际上，只有当初值 θ0 与期望的解 θ* 足够接近时，牛顿法才会迅速收敛。
F(θ*)=0
(4.121)
如果初值与真实解差别较大时，牛顿法可能会发散。这里采用修正的牛顿法，它是在寻找方向 Δθ 时，引入了额外的参数 R ，从而使牛顿算法对于很大一类的函数都能收敛[4]。这意味着，
θk+1 =θk +RΔθk
在选择R时，必须确保[F(θ)] [F(θ)]序列严格单调递减，并收敛于一个最小点。R的选
择是使力和力矩残差的范数最小化。在第 k+1 次迭代中，力的值可以通过第 k 次迭代的配平操纵值和雅可比矩阵得到:
F(θk+1) ≈ F(θk +RΔθk )
我们想选择 R 的值，使得 F(θk+1) ≤ F(θk )
这个最小化过程是通过采用以下一维有限搜索算法实现的:
(4.123)
(4.124)
T
(4.122)
R=2−j,j=min(i≥0| F(θk +2−iΔθk) < F(θk)) 最终得到的 R 可以确保迭代朝着下降方向进行。注意，配平操纵量不能变化太快，这会导致响应发散。由于耦合配平还要同时确保运动方程和配平方程都收敛，因此在迭代初始阶段，必须将 R 限定为较小的值。这样才能使响应和配平同时收敛。我们通过定义 R* 来实现， −i R* =1−ee10μ (4.126) 对于第 i 次迭代，当 R > R* 时，用 R* 代替 R 。这提供了一种对 R 的值的保守估计，使得响应和配平一起收敛。
(4.125)
183

R = min(R, R* ) (4.127) 这种配平算法被称为 Marq-Newton 法，用来与 Newton 法(4.4.7 节)相区别。
4.4.9 桨叶和全机响应的收敛整个更新算法与桨叶响应迭代求解耦合在一起。整个耦合系统收敛是这样定义的:
ΔξG <Θ 1 它确保了桨叶响应收敛到周期解(也叫做非耦合配平)，并且根据 4.116 式， Δθ < Θ2 这确保了直升机处于平衡状态。这里Θ1和Θ2 的值很小。在实现配平算法时，响应收敛函数被定义为: (4.128) (4.129) (4.130) (4.131) 其中， q0 是前一次迭代桨尖响应， q1 是当前迭代的桨尖响应， F 是全机力和力矩的残差。响应求和的方位角数目为Nψ 。对于ε1，是对整个桨盘上所有的方位角进行叠加，对于ε2，是对 6 个机体方程的 6 个力的残差进行叠加。 i=1 ε1 = ∑N 1 ∑Nψ (q −q )2 10 ψ (q)2 i=1 配平收敛函数被定义为: ∑6 ε= F2 2 i=1 i 当满足如下条件时，响应收敛: ε <ε* 11 当满足以下条件时，全机配平方程收敛: ε <ε* 22 其中，ε*和ε*是用户提供的收敛值。 12 (4.132) (4.133) 对响应收敛函数 ε * 和配平收敛函数 ε * 进行估计对于运行软件很有帮助。假如只考虑拉 12 力方程， 184 ε ≈ T −W (4.134) 2 m0Ω2R2 ε 2* 可以根据配平期望的精度来选取。对于一般直升机，取 0.0001 就可以得到满意的收敛精度和速度。响应收敛函数开始的值为1((q0)1 =0)，随着q1趋近于q0，逐渐减小。例如，ε1 =0.01 表示当前响应与上一次响应之差在 1%以内。收敛函数通常采用的默认值为: ε1* ≈0.005 (4.135) ε2* ≈0.0001 (4.136) 如果耦合配平采用牛顿法无法收敛，可以选用 Marq-Newton 法。牛顿法在某些情况下收敛更快，但是 Marq-Newton 法更强健，而且对于绝大多数问题都可以收敛。如果两种算法都不收敛的话，可以尝试新的初始操纵量。例如可以将相近飞行状态的耦合配平结果作为初始值重新配平。一般来说，如果操纵量与真实配平结果很接近的话，会改善收敛情况。必须强调的是，在极限飞行状态下，难以收敛可能反映了这样的事实，就是在这样的飞行状态下，直升机很难保持配平飞行。这时，就可以适当放松配平和响应收敛准则以得到不是那么严格的收敛解。 4.5 配平分析的程序实现软件主程序 EXEC 调用子程序 TRIM。TRIM 调用其它一些更底层的子程序。在前面章节的理论介绍中，已经对配平分析的软件实现做了一些说明。本节会对 TRIM 子程序的以下方面加以说明: 子程序功能子程序的输入子程序的输出子程序的性能 4.5.1 SUBROUTINE TRIM 的功能配平分析的算法实现是由子程序 TRIM 来完成。TRIM 的功能包括:特征值分析，刚性桨叶配平用于初始操纵设定，桨叶响应，桨毂载荷计算，耦合配平分析。 185 4.5.2 SUBROUTINE TRIM 的输入 TRIM 的输入可以分为 3 类:气动和全机配平参数，整数参数，标志符。气动和全机配平参数 GAMMA = C0,C1 = D0,D1,D2 = ED = = SIGMA = CMAC，F1 = SLC = CTSG = AMU = HBAR = BTP 桨叶洛克数， γ 2维升力系数值，CL =C0+C1α 2维阻力系数值，C =D0+D1α+D2α2 D 气动中心到弹性轴的距离桨叶预锥角， β p 桨叶实度， σ 绕气动中心的 2 维力矩系数， CM = CMAC + F1α 升力线斜率拉力系数/实度， CT σ 前进比， μ 旋翼高度/旋翼半径， h 全机重心在 X 方向的偏离量， X cg = XCG YCG = CMXF = CMYF = FBYA = CYF = THFP = THTW = ETUAN = DNSTY = DFQ2T = 全机重心在 Y 方向的偏离量，Ycg 全机滚转力矩系数全机俯仰力矩系数全机等效平板阻力面积侧向力系数航迹角，θFP 桨叶线性扭转，θTW 气动负压效率因子(suction efficiency factor)，η 大气密度， ρ 用于配平的模态的结构阻尼 186 F1FREQ TFINAL 整数参数 NSELT NTELT NBLADE NEGF NEDOF NNDOF NFLAP NLAG NTORSN NAXIAL NGD NEDOFT NGDT LSECT DMSQSS NFUST NGAUSS NGAUST NNPSI NMODET NOEIG NPSI NVT IFLAGN 1 阶挥舞弯曲频率， vβ = = 2π = 空间有限单元数目 = 时间有限单元数目 = 主桨桨叶数 = 响应分析所用的模态数目 = 单元自由度数 = 节点自由度数 = 挥舞模态数 = 摆振模态数 = 扭转模态数 = 轴向拉伸模态数 = 边界自由度数 = 时间单元自由度数 = 总的时间自由度数 = 单元内时间积分阶数 = 用于响应分析的模态的顺序 = 配平分析所用的刚性机身自由度数 = 每个空间单元上的高斯积分点数目 = 每个时间单元上的高斯积分点数目 = 方位角数目，若 ICKOUT=0，=4×NTELT; 若 ICKOUT≠0，=12×NTELT = 配平所用的模态数目 = NMODET = 桨毂载荷计算所用的方位角数目 = 操纵变量数目 = Jacobian 矩阵维数 = 最大配平迭代次数 187 MRA NBM 标志符 KW KR ICKOUT IVHJAC IJAC IPRINT ICPLTR = 径向入流计算点数目 = 挥舞和摆振弯曲模态数 = 写控制 = 读控制 = 0: 以 15 度间隔计算桨毂载荷，不进行输出检查 = N:以 5 度间隔计算桨毂载荷，在第 N 次迭代进行输出检查 = 标示计算耦合配平 Jacobian 矩阵。等于 0 时，在前 7 次迭代计算 Jacobian 矩阵 = 1:耦合配平算法 = 0:非耦合配平算法 = 标示需要打印的量。等于 0 时，什么也不打印。否则，标示所要打印的量。 = 0:采用刚性配平操纵量进行非耦合配平 = 1:求解耦合配平。初值来自刚性配平[VTRIM] = 2:采用输入的配平操纵量进行非耦合配平，入流由 VTRIM 计算 = 3:采用输入的配平操纵量进行耦合配平。 = ITRMCV IMARQ IELROT INDNL INCODE = 12:耦合风洞配平(桨尖挥舞为 0) = 0:当 IFLAGN 达到时，耦合配平终止 = 1:当收敛准则满足时，自动终止耦合配平 = 1:牛顿法 = 0:Marq-Newton 法 = 1:单元后掠 = 0:单元无后掠 = 1:包括非线性项 = 0:不包括非线性项 = 1:Drees 线性入流模型 11:悬停状态的耦合配平(只有当Xcg，Ycg ≠0时才执行) 188 IFLAG IREVF IDATA INDRNS IUNCIR IUNIMP IUNDRG IUNMOM ITESEP ITERUN IFRWKE LEVEL = 2:Blake-White 线性入流模型 = 0:均匀入流 = 配平迭代次数 = 1:考虑反流 = 0:不考虑反流 = 0:面内柔软无铰旋翼，如 BO105 = 1:3 叶铰接式旋翼，如 Gazelle = 7:4 叶铰接式旋翼，如 Kaman SH-2 = 8: 无轴承旋翼，如 ITR-BMR = 其它:无铰式旋翼模型数据，用于风洞配平 = 1:计算用于响应分析的质量、刚度、和载荷矩阵，还有加速度 = 2:计算用于稳定性分析的质量、刚度、阻尼矩阵和载荷向量 = -1:计算用于响应模态和固有频率分析的质量、刚度矩阵 = -2:计算用于稳定性模态和固有频率分析的质量、刚度矩阵 = 1:包括环量非定常气动 = 0:不包括环量非定常气动 = 1:包括脉冲非定常气动 = 0:不包括脉冲非定常气动 = 1:包括非定常阻力 = 0:不包括非定常阻力 = 1:包括非定常力矩 = 0:不包括非定常力矩 = 0:只考虑准定常分离 = 1:准定常+非定常分离 = 2:无分离 = 非定常气动迭代次数 = 1:包括资源尾流或刚性尾流模型 = 0:不包括尾流模型 = 1:刚性尾流 189 4. 5.3 SUBROUTINE TRIM 的输出 AKS(NGD，NNPSI) ACS(NGD，NNPSI) AMS(NGD，NNPSI) FR(NFUST，NNPSI) FH(NFUST，NNPSI) XMAT(NGTDF) QN(NEGF，1) QN(NEGF，2) QN(NEGF，3) ALPH PHIS TH75 TH1C TH1S AMDA TOTAIL HHFH0 F(6) 打印输出包括: = 全局节点上的桨叶响应qb(x,ψ) = q&b(x,ψ) = q& & b ( x , ψ ) = 旋转系桨毂载荷 = 不旋转系桨毂载荷 = 时间节点坐标系下的桨叶响应 = 模态坐标，pb = p& b = p&&b = αs = φs = 75%半径处总距θ75 = θ1c = θ1s = 入流， λ = 尾桨总距，θt = 不旋转系桨毂载荷稳态分量 = 全机平衡方程残差 = 2:自由尾流 ITIP = = 2:也包括轴向模态 1:采用所有模态，包括轴向模态 190 推力配平的收敛解。不同方位角上的桨尖位移。力和挥舞、摆振、扭转位移的稳态分量和高阶谐波分量。不同方位角上的桨根力和力矩。不旋转系桨毂载荷。耦合配平收敛过程中的配平残差。收敛的操纵量，αs ，φs ，θ0 ,θ1c ,θ1s ,θt 。总入流λ和更新后的CT σ 4.5.4 SUBROUTINE TRIM 的性能特征值分析 SUBROUTINE ASBGMK 单元质量矩阵EM和刚度矩阵EK是通过桨叶的结构离散得到的。上述矩阵只有结构有关项。当进行自由振动分析时，与时间有关的项没有包括在 EK 内。当 INDRNS=-1 时，子程序 STRUCT 会给出这些矩阵。矩阵 EK 和 EM 被组集成全局刚度矩阵 GK 和全局质量矩阵 GM。组集过程是通过 ASBGMK 实现的。 GM(NGD，NGD)= 施加边界条件后的全局质量矩阵 GK(NGD，NGD)= 施加边界条件后的全局刚度矩阵。因为只需要固有频率和振型，因此 GK 中不含有与时间相关的项。 SUBROUTINE JACOBI 矩阵 GM 和 GK 用于计算系统的特征值 EVL 和特征向量 EVR。子程序 JACOBI 被调用来完成特征值分析。特征值向量 EVL 中，EVL(NGD)对应最小特征值，EVL(1)包含最大特征值。特征向量存储在矩阵 EVR(I,J)中，它的第 J 列是第 J 个模态的振型。 SUBROUTINE NORMEV 子程序 NORMEV 对特征向量进行正则化。将 EVR 的第 J 列除以该列的末，即 NGD ∑EVR(I,J)2 I=1 这样做可以将矩阵 ill-conditioning 引起的数值问题降到最低。这里只对用于响应分析的 191 模态(在 MDSQSS 中定义)进行正则化。分析所需的模态包括挥舞、摆振、扭转模态。对于 MDSQSS 中定义的模态，从数组 EVL 中找出这些特征值 EVLJ。对 EVLJ 取平方根，就得到这些模态的固有频率。在自由分析的最后，频率被存储于 FREQ 中，正则化的特征向量存储于 EVR 中。为了提高计算效率，上述运算只对 MDSQSS 中选定的模态进行。配平 SUBROUTINE VTRIM 子程序 VTRIM 执行推力配平分析。如果 INCODE=0，则采用均匀入流，如果 INCODE=1，则采用线性入流。该程序计算自由飞状态下的初始配平操纵量，全机姿态角，以及 Drees 入流模型中的入流变量的值。非线性方程求解器 ZZSSQ 被调用。刚性桨叶运动方程也同时求解。当 ICPLTR≠12(不选择风洞配平)时，调用 VTRIM。 SUBROUTINE WTRIM 子程序 WTRIM 执行风洞配平分析。三个风洞操纵输入来计算θ1c ,θ1s ，这两个量会引起 β1s , β1c 变化。耦合方程包括变量 CT , λTPP , β0 ,θ1c ,θ1s 。只有当 ICPLTR=12 时，才调用 WTRIM。如果 2 ≤ ICPLTR ≤ 9 ，推力配平的操纵量就直接从输入文件读入。 VTRIM 和 WTRIM 得到的直升机操纵量被用来作为耦合配平计算的初值。响应标示符 INDRNS=1 时，就告诉子程序 STRUCT，质量矩阵 EM，阻尼矩阵 EC，刚度矩阵 EK，载荷向量 EQ，位移 Jacobian 矩阵 DFX 是关于桨叶变形后位置进行计算，即 EU≠0。当计算真空状态下的桨叶频率时，INDRNS=-1，且上述矩阵是关于桨叶未变形位置进行计算。 SUBROUTINE TCNTVT 该程序计算时间有限元分析中的全局连接矩阵。连接向量存储在数组 INDEGT (NEDOFT，NTELT)中。该数组将全局自由度和局部自由度联系起来。 SUBROUTINE EVFRGV 该程序以时间节点坐标系中的全局响应矩阵 XMAT(NTELT×NSECT×NMODET)作为输入，输出为时间节点坐标系中的单元位移向量 EUT(NEDOFT)。注意，XMAT 在第一次迭代时为 0. SUBROUTINE NOMRSP 192 该程序计算积分点上的位移。时间节点坐标系下的位移 EUT(NEDOFT)被正则化过，模态坐标为 QN(NEGF，1)。采用时间型函数进行正则化。 SUBROUTINE CNVTGV 该程序将正则化的向量转化为几何位移向量。不过，在计算几何位移向量前，特征向量 EVR(NGD，NGD)是用数组 EVTR(NOEIG×NGD)来存储的。这是一个列向量,只包括输入数组 MODESQ 中所指定的那些振型。EVTR 数组顶部对应这最低阶特征值，底部对应最大的特征值。通过对各阶模态坐标 QN 和振型 EVTR 乘积的线性叠加得到几何位移向量。几何位移数组 AKS(NGD，NNPSI)是从 QN(NEGF，1)中得到。类似地，几何位移的导数，ACS (NGD，NNPSI)是从 QN(NEGF，2)中得到。 SUBROUTINE ASBGBM 该程序确定正则模态形式下的全局带状矩阵。矩阵的气动部分是通过调用子程序 AEROMX 得到，结构部分是调用 STRUCT 得到。气动矩阵包括 EM，EC，EK，DFX，DFXD。结构矩阵包括 EMP，ECP，EKP，DFXS。气动载荷向量为 EQ。结构载荷向量为 EQP。所有矩阵尺寸为 NEDOF×NEDOF。载荷向量长度为 NEDOF。注意，矩阵 DFXD 只是气动造成的。DFXS 矩阵与结构和气动都有关。上述所有矩阵都被加起来，得到 EKTOTAL = EKAERO + EKSTRUC EMTOTAL =EMAERO +EMSTRUC ECTOTAL = ECAERO + ECSTRUC EQTOTAL = EQAERO + EQSTRUC DFXTOTAL =DFXAERO +DFXSTRUC DFXDTOTAL =DFXDAERO 上述矩阵再被修正以反映袖套末端的边界条件。这只对无轴承旋翼才适用。子程序 MODMAT 用来修正矩阵，MODVEC 用于修正载荷向量。特征向量矩阵EVR通过子程序EVFRGV转化为局部单元形式。单元振型被存储于PHI (NEDOF，NOEIG)中。然后上述矩阵通过振型 PHI 和单元矩阵被转化到模态空间。因此， PM= PHIT EM PHI PC= PHIT EC PHI PK= PHIT EK PHI PFX= PHIT DFX PHI 193 PFXD= PHIT DFXD PHI PF= PHIT EQ 在转换结束时，正则模态矩阵维数为 NOEIG×NOEIG，向量维数为 NOEIG。如果采用弹性桨距拉杆的话，就需要对正则模态矩阵进行修正。结构阻尼也加入到阻尼阵 PC 中。 SUBROUTINE LGSPDM 当 IDATA=1 时，调用该程序;如果是计算像 Gazelle 这样的铰接式旋翼的话。摆振弹簧刚度被包括在刚度矩阵 PK 中。摆振阻尼包括在阻尼矩阵 PC 中。 SUBROUTINE ASBLTM 该子程序计算时间单元切线矩阵和载荷向量。正则模态矩阵 PM，PC，PK，DFX，DFXD 以及正则模态坐标 QN 及其导数被用于计算切线矩阵 EKMAT(NEDOFT，NEDOFT)，以及载荷向量 ELMAT(NEDOFT)。模态坐标 QN 是用时间节点坐标，通过时间型函数表示的。它们由 ASBLTM 中调用子程序 SHAPET 实现的。 SUBROUTINE ASBGTM 时间单元矩阵 EKMAT 被组集成 AMAT(NGDTF，NGDTF)。时间单元载荷向量 ELMAT 被组集成 GMAT(NGDTF)。连接矩阵 INDEGT 用来完成组集过程。在形成 INDEGT 时，就已经满足了周期性边界条件: DO K=1，NOEIG J=(NEDOFT-NOEIG)+K INDEGT(J,NTELT)=INDEGT(K,1) ENDDO SUBROUTINE LEQTIF 这是线性代数方程求解器。用于求解下式: AMAT(NGTDF，NGTDF)X(DNGTF)=GMAT(NGTDF) LEQTIF 程序会将 AMAT 和 GMAT 矩阵破坏。线性方程的解 X 被存储于向量 GMAT 中。 XMAT(NGTDF)是时间节点坐标系下的桨叶全局响应。每次迭代后，向量 XMAT(NGTDF) 会被以下方式更新: XMAT ⇐ XMAT + GMAT 在第 1 次迭代中，XMAT 为 0。计算 q& & b 194 采用力叠加法计算桨毂载荷时，需要用到 q&&b 。此时，pb , p& b 分别以 QN(NEGF，1)和 QN(NEGF，2)的形式存在。模态空间下的运动方程为: PM QN(NEGF，3)+ PC QN(NEGF，2)+ PK QN(NEGF，1)=PF 该方程与理论推导中的下式相同: M p& & b + C p& b + K p b = F 我们可以将运动方程写成: QN(NEGF，3)= PM-1(PF - PC QN(NEGF，2)- PK QN(NEGF，1)) 等式右边的矩阵和向量已知。因此采用线性求解器 LEQTIF 来求解 QN(NEGF，3)。通过调用子程序 CNVTGV，将模态坐标 QN 转换为几何向量 AMS(NGD，NNPSI)。向量 XMAT 是定义在每个时间自由度上。因此，它的维数为 NGDTF。该向量被转化为如下形式: XMT FWK(NOEIG，NGTDF/NOEIG) 对于 XMT FWK(I,J)，第 I 行包含了第 I 个模态的响应，第 J 列对应于第 J 个时间节点。这种形式的响应被用于自由尾流子程序 HHMODE。 SUBROUTINE HHRESP 该子程序从实际响应 AKS(NGD，NNPSI)中找出稳态和高阶谐波分量。谐波分量是通过将桨叶响应做傅里叶变换得到。它给出前 5 阶谐波。稳态响应存储于 HHR0(3)。高阶谐波为 HHR1(3,3)，HHR2(3,3)，HHR3(3,3)，HHR4(3,3)，HHR5(3,3)。在 HHR1 (I,J)中，I=1 为摆振响应，I=2 为挥舞响应，I=3 为扭转响应。J=1 没有意义。J=2 表示余弦分量，J=3 为正弦分量。这种索引方法适用于所有谐波。桨毂载荷旋转系和不旋转系下的桨毂载荷都被计算。子程序 HUBLDS 就是完成这一工作。环量 GAM 被用于自由尾流计算的子程序 WAKEMD。旋转系旋转系下的桨毂载荷是通过将的桨叶单元对桨根处载荷叠加得到。 SUBROUTINE HUBLDS 通过调用子程序 EVFRGV 可以从全局响应中得到单元响应。响应矩阵 AKS(NGD，IPSI) 用于计算 IPSI 个方位角ψ 上的 EU(NEDOF，1)。类似地，ACS(NGD，IPSI)用于计算 EU(NEDOF，2)，AMS(NGD，IPSI)用于计算 EU(NEDOF，3)。注意，这是在时间(IPSI=1， 195 NPSI)和空间(I=1，NSELT)嵌套的循环中进行的。HUBLDS 程序是在这样的嵌套循环中被调用。子程序 HUBLDS 计算作用在桨叶上的气动力和惯性力。输出为: EALU = EALV = EALW = EAMX = EAMY = EAMZ = EILU = EILV = EILW = EIMX = EIMY = EIMZ = x 方向的气动载荷 y 方向的气动载荷 z 方向的气动载荷 x 方向的气动力矩 y 方向的气动力矩 z 方向的气动力矩 x 方向的惯性载荷 y 方向的惯性载荷 z 方向的惯性载荷 x 方向的惯性力矩 y 方向的惯性力矩 z 方向的惯性力矩子程序 HUBLDS 的气动部分进行桨叶载荷计算，它与子程序 AEROMX 类似。详细介绍见 3.2 节。 HUBLDS 输出空间任意点在任意方位角上的力和力矩。因此，载荷是对展长和方位角进行叠加: NSELT FR(1,IPSI)= ∑EALU NSELT FR(3,IPSI)= ∑EALW NSELT FR(5,IPSI)= ∑EAMY I=1 N∑SELT I=1 旋转系中，对于从 IPSI=1，NPSI 的每个方位角，气动桨毂载荷被存储于数组 FR 中。 FR(2,IPSI)= ∑EALV I=1 FR(4,IPSI)= ∑EAMX I=1 FR(6, IPSI ) = EAMZ I=1 NSELT I=1 NSELT 196 类似地，旋转系中的惯性桨毂载荷被存储于数组 FH 中: NSELT FH(1,IPSI)= ∑EILU I=1 NSELT ∑ EILV I=1 FH(2,IPSI) = FH(3,IPSI)= FH(4,IPSI) = FH(5,IPSI) = FH(6,IPSI)= I=1 然后将桨毂载荷的气动和惯性分量相加，得到旋转系中的总的桨毂载荷: FRTOTAL = FRAERO + FRINERTIAL 向量 FR 包含了总的桨毂载荷。气动载荷被摧毁。当旋翼具有挥舞铰或摆振铰时，需要对桨毂载荷进行一些修正。子程序 HUBLDS 是作为配平和自由尾流之间的界面。当 IFRWKE=1，且 IFLAG ≥ ITERFW 时，子程序 GETFWI 在 HUBLDS 中被调用。然后入流 ALAMDA 被修正以反映自由尾流的贡献。 SUBROUTINE HHBLDS 当 ICKOUT≠0 时，程序被调用。它从旋转系桨叶载荷中提取出稳态和高阶谐波分量。输入参数为矩阵 FR(6，NPSI)。输出包括:稳态载荷 HHF0(6)，6 表示 3 个力和 3 个力矩;以及前 10 阶谐波 HHF1(6，3)，HHF2(6，3)，HHF3(6，3)，.....，HHF10(6，3)。在 HHF1(I,J)中，J=2 代表余弦分量，J=3 代表正弦分量。其它谐波相同。转换到不旋转系通过傅里叶坐标变换，可以将旋转系中的桨毂载荷转换到不旋转系。储于 FR(6，NPSI) 中的旋转系载荷对所有桨叶进行叠加，得到的不旋转系载荷存储于 FH(6，NPSI)中。具体方程在理论推导中已介绍。存储了旋转系惯性载荷的矩阵 FH 就被摧毁了。在桨毂载荷计算结束时，FR(6，NPSI)存储了旋转系桨毂载荷，FH(6，NPSI)存储了不旋转系桨毂载荷。 SUBROUTINE HHLOAD NSELT ∑EILW I=1 NSELT ∑ EIMX I=1 NSELT ∑ EIMY I=1 N∑SELT EIMZ 197 当 IFLAG=0 时，该子程序被调用。它从不旋转系桨毂载荷 FH(6，NPSI)中提取出稳态和高阶谐波分量。稳态分量存储于 HHFH0(6);高阶谐波为 HHFH1(6，3)，HHFH2(6， 3)，.....，HHFH6(6，3)。它的索引方式与 HHBLDS 相同。稳态分量用于耦合配平求解。耦合配平 SUBROUTINE CPLMU0 当 μ = 0 时，即悬停状态，该子程序被调用。它给出直升机悬停配平所需的θ0 的值。它仅采用力的z分量，即FH(3，NPSI)，并改变总距以满足方程Fz −W =0。 SUBROUTINE TAILRT 该子程序计算耦合配平所需的尾桨拉力。它径向和时间高斯积分来计算尾桨拉力系数。另外，它还可以从数据文件(名为 cltail.i 和 cdtail.i)中读取尾桨翼型数据，从而得到包含了失速和压缩性效应的截面升力和阻力系数。此时，它需要调用名为 AERO 的子程序，通过截面攻角和马赫数插值计算得到截面升力和阻力系数。这里假设在整个尾桨桨盘上入流均匀分布。 SUBROUTINE CPLRNF 该子程序执行耦合配平。当 ICPLTR≠12 时，程序被调用。根据 ICPLTR 的值，它将 VTRIM 得到的操纵量或输入文件给出的操纵量做为初始值。程序中，通过以下方程将旋翼力和不旋转系桨毂载荷联系起来(注意，仅采用桨毂力的稳态分量 HHFH0(6)): H =HHFH0(1) =主桨阻力 Y =HHFH0(2) =主桨侧向力 T =HHFH0(3) =主桨拉力 GMX =HHFH0(4) =滚转力矩 GMY =HHFH0(5) =俯仰力矩 GMZ =HHFH0(6) =偏航力矩全机有 6 个平衡方程。它们用操纵变量和旋翼力来表示。全机平衡方程被写成: F(I)=F(操纵变量，旋翼力，几何参数) 力的方向定义如下: F(1): 向后为正 F(2): 向右为正 F(3): 向上为正 198 F(4): F(5): F(6): 用到的几何参数含义如下: 向左滚转为正抬头为正朝左偏航为正 HBAR: XCG: YCG: XTLRT: ZTLRT: ALPHS: PHIS: 收敛准则重心到主桨的 z 方向距离，重心在主桨之下为正。重心到主桨的 x 方向距离，重心在主桨之前为正。重心到主桨的 y 方向距离，重心在主桨之前为正。重心到尾桨中心的x方向距离，重心在尾桨前为正。重心到尾桨中心的z方向距离，重心在尾桨下为正。旋翼轴与z轴夹角，向前为正。旋翼轴与 z 轴夹角，向右为正。耦合配平的收敛准则是配平方程必须满足，配平操纵角必须收敛。收敛准则参数定义为向量 F(6)的模。 6 TRMCNV = ∑F(I)2 I=1 当 IVHJAC=0 时，操纵量被逐个扰动，然后得到 Jacobian 矩阵。扰动量 DELVT=0.05。 Jacobian 矩阵存储于矩阵 DF(NVT，NVT)中。新的操纵量算出后，被返回给 TRIM 子程序。 SUBROUTINE UPDTLM 如果 IVHJAC=0，且 IFLAG>NVTP，或 IVHJAC≠0，该子程序采用新的操纵量更新入
流。上述标示符清楚表明，当计算 Jacobian 矩阵时，不更新入流。当耦合配平迭代开始后，入流被更新。
SUBROUTINE CPLTWT
当 ICPLTR=12 时，调用该程序。它执行旋翼风洞配平。风洞耦合配平采用 2×2 的
Jacobian 矩阵。它计算使挥舞角为 0 所需的θ1c ,θ1s 。配平完成后，采用子程序 UPDTLM 更
新入流。
SUBROUTINE WAKEMD
当 IFRWKE=1，且 IFLAG≥ITERFW 时，调用该程序。如果 LEVEL=2，就采用自由尾 199

流来计算入流，如果 LEVEL=1，就用刚性尾流来计算入流。因此，只有当 IFLAG≥ITERFW 时，才采用尾流模型计算入流。如果 IFLAG

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