26/02/2020
MAT6669 Finite difference 1
MAT6669
Numerical modelling of heat transfer
Part 2
An implicit finite difference scheme
The matrix inversion method using MATLAB
Magnus Anderson and Karl Travis
Finite difference: Interior nodes
𝜕2𝑇 𝜕𝑥2
𝜕2𝑇 𝜕𝑦2
𝜕𝑇 𝜕𝑥
𝜕𝑇 𝜕𝑦
𝑇𝑝
= 𝑖+1,𝑗
𝑇𝑝
= 𝑖,𝑗+1
−2𝑇𝑝 +𝑇𝑝
𝑇p+1 −2𝑇p+1+𝑇p+1 𝜕 𝑇 = 𝑖+1,𝑗 𝑖,𝑗 𝑖−1,𝑗
Next time step
Current time step
Explicit formulation
Implicit formulation
𝑖,𝑗
𝑖−1,𝑗
2
𝜕𝑥2 Δ𝑥2
𝜕𝑇 𝑇p+1−𝑇𝑝
= 𝑖,𝑗
𝑖,𝑗
𝜕𝑡
Δ𝑡
Δ𝑥2 −2𝑇𝑝
+𝑇𝑝 𝑖,𝑗−1
2 𝑇p+1 −2𝑇p+1+𝑇p+1
𝑖,𝑗
𝜕 𝑇 = 𝑖,𝑗+1 𝑖,𝑗
𝑖,𝑗−1
Δ𝑦2 −𝑇𝑝
2Δx 𝑇𝑝 −𝑇𝑝
𝜕𝑦2
𝜕𝑇 = 𝜕𝑥
𝜕𝑇 = 𝜕𝑦
Δ𝑦2 𝑇p+1 −𝑇p+1
𝑖+1,𝑗 𝑖−1,𝑗
2Δx 𝑇p+1 −𝑇p+1
𝑖,𝑗+1 𝑖,𝑗−1
2Δy
= =
𝑇𝑝 𝑖+1,𝑗
𝑖−1,𝑗
𝑖,𝑗+1
𝑖,𝑗−1
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
2
2Δy
Finite difference: Boundary nodes
Next time step
Current time step
Explicit formulation
𝑝
Δ𝑥 𝑇 −𝑇
Implicit formulation
Δ𝑥 𝑇𝑝+1−𝑇𝑝+1
𝜕𝑇 𝑇p+1−𝑇𝑝
= 𝑖,𝑗
𝑖,𝑗
𝜕𝑡
Δ𝑡
𝑝 𝑄1=k 𝜔 𝑚,𝑛−1 𝑚,𝑛
𝑄1=k2𝜔 𝑄2 = k Δ𝑦𝜔
𝑚,𝑛−1 𝑚,𝑛
Δ𝑦 𝑇 −𝑇
𝑄2 = k Δ𝑦𝜔
Δ𝑥
2 Δ𝑦
𝑇𝑝 −𝑇𝑝 𝑚−1,𝑛 𝑚,𝑛
Δ𝑥
𝑇𝑝 −𝑇𝑝
𝑝+1
𝑚−1,𝑛 𝑚,𝑛
𝑝+1
Δ𝑥
2 𝜔
𝑚,𝑛+1 𝑚,𝑛
𝑝+1 𝑝+1 Δ𝑥 𝑇 −𝑇
𝑄3 = k
𝑄 =hΔ𝑦𝜔 𝑇 −𝑇𝑝
𝜔 𝑚,𝑛+1
2 Δ𝑦
𝑚,𝑛
Δ𝑦 4 ∞𝑚,𝑛
𝑄3 = k
𝑄 =hΔ𝑦𝜔 𝑇 −𝑇𝑝+1
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
3
4 ∞𝑚,𝑛
Interior nodes: Finite difference scheme
𝑇1 , 1 𝑇1,2 𝑇2,1 𝑇2,2 𝑇3,1 𝑇3,2 𝑇…,1 𝑇…,2
𝑻= 𝑇𝑖,1 𝑇𝑖,2 𝑇…,1 𝑇…,2 𝑇𝑛 − 2 , 1 𝑇𝑛 − 2 , 𝑇𝑛 − 1 , 1 𝑇𝑛 − 1 , 𝑇𝑛 , 1 𝑇𝑛 , 2
𝑇1,3 𝑇2,3 𝑇3,3 𝑇…,3 𝑇𝑖 , 3 𝑇…,3
𝑇𝑛 − 2 , 𝑇𝑛 − 1 , 𝑇𝑛 , 3
𝑇1,… 𝑇2,… 𝑇3,… 𝑇…,… 𝑇𝑖,… 𝑇…,… 𝑇𝑛 − 2 , … 𝑇𝑛 − 1 , … 𝑇𝑛 , …
𝑇1 , … 𝑇1 , 𝑚 − 2 𝑇1 , 𝑚 − 1 𝑇2,… 𝑇2,𝑚−2 𝑇2,𝑚−1 𝑇3,… 𝑇3,𝑚−2 𝑇3,𝑚−1 𝑇…,… 𝑇…,𝑚−2 𝑇…,𝑚−1
𝑇1,𝑚 𝑇2,𝑚 𝑇3,𝑚 𝑇…,𝑚 𝑇𝑖,𝑚 𝑇…,𝑚 𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 𝑇𝑛 , 𝑚
𝑇1 , 𝑗
𝑇2,𝑗
𝑇3,𝑗
𝑇…,𝑗
𝑇𝑖,𝑗 𝑇𝑖,… 𝑇𝑖,𝑚−2 𝑇𝑖,𝑚−1
𝑇…,𝑗 𝑇𝑛 − 2 , 𝑗 𝑇𝑛 − 1 , 𝑗 𝑇𝑛 , 𝑗
𝑇…,… 𝑇…,𝑚−2 𝑇…,𝑚−1
𝛼=
𝐹=𝛼
Δ𝑡
𝜕𝑡
2 2
3 3
𝑇𝑛 − 2 , … 𝑇𝑛 − 1 , … 𝑇𝑛 , …
𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 − 2 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 − 2 𝑇𝑛 , 𝑚 − 2
𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 − 1 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 − 1 𝑇𝑛 , 𝑚 − 1
𝜕𝑇 − 𝛼 𝜕2𝑇 − 𝛼 𝜕2𝑇 = 0
𝜕𝑥2 𝜕𝑦2
𝑘
𝜌𝑐𝑝 𝑜 Δ𝑥Δ𝑥
𝑇p+1 1 + 4F0 𝑖,𝑗
− F0𝑇p+1 − F0𝑇p+1 − F0𝑇p+1 − F0𝑇p+1 = 𝑇𝑝 𝑖+1,𝑗 𝑖−1,𝑗 𝑖,𝑗+1 𝑖,𝑗−1 𝑖,𝑗
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
4
Edge nodes: Finite difference scheme
𝑇1 , 1 𝑇1,2 𝑇2,1 𝑇2,2 𝑇3,1 𝑇3,2 𝑇…,1 𝑇…,2
𝑻= 𝑇𝑖,1 𝑇𝑖,2 𝑇…,1 𝑇…,2 𝑇𝑛 − 2 , 1 𝑇𝑛 − 2 , 𝑇𝑛 − 1 , 1 𝑇𝑛 − 1 , 𝑇𝑛 , 1 𝑇𝑛 , 2
𝑇1,3 𝑇2,3 𝑇3,3 𝑇…,3 𝑇𝑖 , 3 𝑇…,3
𝑇𝑛 − 2 , 𝑇𝑛 − 1 , 𝑇𝑛 , 3
𝑇1,… 𝑇2,… 𝑇3,… 𝑇…,… 𝑇𝑖,… 𝑇…,… 𝑇𝑛 − 2 , … 𝑇𝑛 − 1 , … 𝑇𝑛 , …
𝑇1 , … 𝑇1 , 𝑚 − 2 𝑇1 , 𝑚 − 1 𝑇2,… 𝑇2,𝑚−2 𝑇2,𝑚−1 𝑇3,… 𝑇3,𝑚−2 𝑇3,𝑚−1 𝑇…,… 𝑇…,𝑚−2 𝑇…,𝑚−1
𝑇1,𝑚 𝑇2,𝑚 𝑇3,𝑚 𝑇…,𝑚 𝑇𝑖,𝑚 𝑇…,𝑚 𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 𝑇𝑛 , 𝑚
𝑇1 , 𝑗
𝑇2,𝑗
𝑇3,𝑗
𝑇…,𝑗
𝑇𝑖,𝑗 𝑇𝑖,… 𝑇𝑖,𝑚−2 𝑇𝑖,𝑚−1
𝑘
𝐹=𝛼 Δ𝑡
𝐵=Δ𝑥h
𝛼=
𝑝 Δ𝑥 𝑘
Left edge
𝑇…,𝑗 𝑇𝑛 − 2 , 𝑗 𝑇𝑛 − 1 , 𝑗 𝑇𝑛 , 𝑗
𝑇…,… 𝑇…,𝑚−2 𝑇…,𝑚−1
𝜌𝑐
𝑜𝑖 2
2 2
3 3
𝑇𝑛 − 2 , … 𝑇𝑛 − 1 , … 𝑇𝑛 , …
𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 − 2 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 − 2 𝑇𝑛 , 𝑚 − 2
𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 − 1 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 − 1 𝑇𝑛 , 𝑚 − 1
1+4𝐹 +2B𝐹 𝑇p+1−𝐹𝑇p+1 −𝐹𝑇p+1 −2𝐹𝑇p+1=𝑇𝑝 +2B𝐹𝑇 0 i 0 𝑖,1 0 𝑖+1,1 0 𝑖−1,1 0 𝑖,2 𝑖,1 i 0 ∞
Right edge
1+4F +2F B 𝑇p+1−F 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 −F 𝑇p+1 =𝑇𝑝 +2F B𝑇 o o i 𝑖,𝑚 o𝑖+1,𝑚 o𝑖,𝑚−1 o𝑖−1,𝑚 𝑖,𝑚 o i∞
Top edge
1+4𝐹 +2𝐹B 𝑇p+1−2𝐹𝑇p+1−𝐹𝑇p+1 −𝐹𝑇p+1 =𝑇𝑝 +2𝐹B𝑇 𝑜 𝑜 i 1,𝑗 𝑜 2,𝑗 𝑜 1,𝑗−1 𝑜 1,𝑗+1 1,𝑗 𝑜 i ∞
Bottom edge
𝑇p+1 1+4𝐹 +2𝐹B −𝐹𝑇p+1 −2𝐹𝑇p+1 −𝐹𝑇p+1 =𝑇𝑝 +2𝐹B𝑇 𝑛,𝑗 𝑜 𝑜 i 𝑜𝑛,𝑗−1 𝑜𝑛−1,𝑗 𝑜𝑛,𝑗+1 𝑛,𝑗 𝑜 i∞
26/02/2020 MAT6669 Heat and Materials with Application
5
Corner nodes: Finite difference scheme
𝑇1 , 1 𝑇1,2 𝑇2,1 𝑇2,2 𝑇3,1 𝑇3,2 𝑇…,1 𝑇…,2
𝑻= 𝑇𝑖,1 𝑇𝑖,2 𝑇…,1 𝑇…,2 𝑇𝑛 − 2 , 1 𝑇𝑛 − 2 , 𝑇𝑛 − 1 , 1 𝑇𝑛 − 1 , 𝑇𝑛 , 1 𝑇𝑛 , 2
𝑇1,3 𝑇2,3 𝑇3,3 𝑇…,3 𝑇𝑖 , 3 𝑇…,3
𝑇𝑛 − 2 , 𝑇𝑛 − 1 , 𝑇𝑛 , 3
𝑇1,… 𝑇2,… 𝑇3,… 𝑇…,… 𝑇𝑖,… 𝑇…,… 𝑇𝑛 − 2 , … 𝑇𝑛 − 1 , … 𝑇𝑛 , …
𝑇1 , … 𝑇1 , 𝑚 − 2 𝑇1 , 𝑚 − 1 𝑇2,… 𝑇2,𝑚−2 𝑇2,𝑚−1 𝑇3,… 𝑇3,𝑚−2 𝑇3,𝑚−1 𝑇…,… 𝑇…,𝑚−2 𝑇…,𝑚−1
𝑇1,𝑚 𝑇2,𝑚 𝑇3,𝑚 𝑇…,𝑚 𝑇𝑖,𝑚 𝑇…,𝑚 𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 𝑇𝑛 , 𝑚
𝑇1 , 𝑗
𝑇2,𝑗
𝑇3,𝑗
𝑇…,𝑗
𝑇𝑖,𝑗 𝑇𝑖,… 𝑇𝑖,𝑚−2 𝑇𝑖,𝑚−1
𝑘
𝐹=𝛼 Δ𝑡
𝐵=Δ𝑥h
𝛼=
𝑝 Δ𝑥 𝑘
Top left corner
𝑇…,𝑗 𝑇𝑛 − 2 , 𝑗 𝑇𝑛 − 1 , 𝑗 𝑇𝑛 , 𝑗
𝑇…,… 𝑇…,𝑚−2 𝑇…,𝑚−1
𝜌𝑐
𝑜𝑖 2
2 2
3 3
𝑇𝑛 − 2 , … 𝑇𝑛 − 1 , … 𝑇𝑛 , …
𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 − 2 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 − 2 𝑇𝑛 , 𝑚 − 2
𝑇𝑛 − 2 , 𝑚 − 1 𝑇𝑛 − 1 , 𝑚 − 1 𝑇𝑛 , 𝑚 − 1
1+4F +4BF 𝑇p+1−2F𝑇p+1−2F𝑇p+1=𝑇𝑝 +4BF𝑇 o io 1,1 o2,1 o1,2 1,1 io∞
Top right corner
1+4F +4BF 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 =𝑇𝑝 +4BF 𝑇 o i o 1,𝑚 o 2,𝑚 o 1,𝑚−1 1,𝑚 i o ∞
Bottom right corner
1+4F +4BF 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 =𝑇𝑝 +4BF 𝑇 o i o 𝑛,𝑚 o 𝑛−1,𝑚 o 𝑛,𝑚−1 𝑛,𝑚 i o ∞
Bottom left corner
1+4F +4BF 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 =𝑇𝑝 +4BF 𝑇 o io 𝑛,1 o𝑛−1,1 o𝑛,2 𝑛,1 io∞
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
6
Solution method
A partial differential equation may manipulated into the following form where 𝑥 is a vector of the unknown variable of interest. It describes the value for each coordinate.
𝐴𝑥=𝑏
One way to solve the matrix is to determine the inverse of 𝐴, so that 𝑥 = 𝐴−1𝑏
MATLAB can do this calculation in one line of code.
26/02/2020 MAT6669 Heat and Materials with Application 7
Solution method
Constructing the 𝐴, 𝑥 and 𝑏 matrices is relatively simple in 1D, however we need to do matrix operations to manipulate arrays describing 2D or 3D data.
For example, we want to manipulate the matrix in the following way
𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3
𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
𝑇 2,1
𝑇 2,2
𝑇 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
𝑇𝑇𝑇 2,1 2,2 2,3
𝑇=
𝑇𝑇𝑇
𝑥=
3,1
3,2 3,3
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
8
Constructing the A, x and b matrices
For a 3×3 matrix describing temperature, we have 9 nodes and thus 81 components in the 𝐴 matrix
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
9
𝐴1,1 𝐴1,2 𝐴1,3 𝐴1,4 𝐴1,5 𝐴1,6 𝐴1,7 𝐴1,8 𝐴1,9 𝑥 𝑏 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴11
2,1 2,2 𝐴3,1 𝐴3,2 𝐴4,1 𝐴4,2 𝐴5,1 𝐴5,2 𝐴6,1 𝐴6,2 𝐴7,1 𝐴7,2 𝐴8,1 𝐴8,2 𝐴9,1 𝐴9,2
2,3 2,4 2,5 𝐴3,3 𝐴3,4 𝐴3,5 𝐴4,3 𝐴4,4 𝐴4,5 𝐴5,3 𝐴5,4 𝐴5,5 𝐴6,3 𝐴6,4 𝐴6,5 𝐴7,3 𝐴7,4 𝐴7,5 𝐴8,3 𝐴8,4 𝐴8,5 𝐴9,3 𝐴9,4 𝐴9,5
𝑥2 𝑏2 𝑥3 𝑏3
2,6 2,7 2,8 2,9 𝐴3,6 𝐴3,7 𝐴3,8 𝐴3,9 𝐴4,6 𝐴4,7 𝐴4,8 𝐴4,9 𝐴5,6 𝐴5,7 𝐴5,8 𝐴5,9 𝐴6,6 𝐴6,7 𝐴6,8 𝐴6,9 𝐴7,6 𝐴7,7 𝐴7,8 𝐴7,9 𝑥7 𝐴8,6 𝐴8,7 𝐴8,8 𝐴8,9 𝑥8 𝐴9,6 𝐴9,7 𝐴9,8 𝐴9,9 𝑥9
𝑥4 𝑏4 𝑥5 = 𝑏5
𝑥6
𝑏6 𝑏7 𝑏8 𝑏9
Let us consider the first element, where the implicit finite difference scheme gives;
1+4F +4BF 𝑇p+1−2F𝑇p+1−2F𝑇p+1=𝑇𝑝 +4BF𝑇
𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇𝑇𝑇=𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
o
io 1,1 o2,1 o1,2 𝐴1,1 = 1 + 4Fo + 4BiFo
𝐴4,1 = −2Fo
𝐴1,2 = −2Fo
1,1 io∞
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
10
0 0 0 0 0 0 0 𝑥1
𝑇𝑛 +4BF𝑇
𝐴1,1 𝐴1,2 000000000𝑥2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥3
𝐴4,1 0 0000000𝑥4
1,1
i o ∞
𝑇𝑇𝑇𝑇
3,1 3,2
3,3 2,3
000000000𝑥5= 𝑏5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥6 000000000𝑥7 000000000𝑥8 000000000𝑥9
𝑏6 𝑏7 𝑏8 𝑏9
𝑏2 𝑏3 𝑏4
For the next node;
𝑇 1,1
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇𝑇𝑇=𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
p+1 𝑜 i 1,2
p+1 𝑜 2,2
p+1 𝑜 1,1
p+1 𝑜 1,3
𝑝 𝑇
−2𝐹𝑇
𝐴2,2 = 1 + 4Fo + 2BiFo
𝐴5,2 = −2Fo
𝐴 =−F 2,1 o
𝐴2,3 = −Fo
0 000000𝑥1 𝐴 0 0 0 0 0 0 𝑥
000 000000𝑥3 𝐴4,100 000000𝑥4
0𝐴5,20 000000𝑥5
000 000000𝑥6 000 000000𝑥7 000 000000𝑥8 000 000000𝑥9
1,2
1+4𝐹 +2𝐹B 𝑇 𝑜
−𝐹𝑇
−𝐹𝑇
=𝑇 +2𝐹B𝑇 1,2 𝑜 i ∞
𝐴1,1
𝐴
𝐴1,2
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,1 io∞
𝑇𝑛 +2𝐹B𝑇 1,2 𝑜i∞
𝑏3 𝑏4 𝑏5 𝑏6 𝑏7 𝑏8 𝑏9
𝑇𝑇𝑇𝑇
3,1
3,2
3,3 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
11
𝐴
2,1 2,2 2,3 2
=
For the next node;
𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇𝑇𝑇=𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
𝑇𝑇𝑇𝑇 3,1 3,2 3,3 2,3
1+4F +4BF 𝑇p+1−2F𝑇p+1−2F𝑇p+1=𝑇𝑝 +4BF𝑇
o
io 1,3 o2,3 o1,2 𝐴3,3 = 1 + 4Fo + 4BiFo
𝐴6,3 = −2Fo
𝐴3,2 = −2Fo
1,3 io∞
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
12
𝐴1,1 𝐴1,2
0
000000𝑥1
0 0 0 0 0 0 𝑥 2
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,1 io∞
𝑇𝑛 +2𝐹B𝑇 1,2 𝑜i∞
3,2 3,3
1,3 io∞
𝐴
000000𝑥 𝑇𝑛+4BF𝑇
3 𝐴4,1 0 0 000000𝑥4
0 𝐴5,2 0 000000𝑥5 0 0 𝐴6,3 000000𝑥6
=
𝑏4 𝑏5 𝑏6 𝑏7 𝑏8 𝑏9
0 00 000000𝑥7 0 00 000000𝑥8 0 00 000000𝑥9
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
𝐴
0 𝐴 𝐴
𝐴
2,1 2,2 2,3
For the next node;
1 + 4𝐹 0
p+1 i 0 2,1
p+1 0 3,1
p+1 0 1,1
p+1 0 2,2
𝑇
𝑝 1,1
= 𝑇 + 2B 𝐹 𝑇 𝑇 2,1 i 0 ∞ 1,2
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇 𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇𝑇𝑇=𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
+ 2B 𝐹 𝑇
− 𝐹 𝑇
4,4 o io
− 2𝐹 𝑇
− 𝐹 𝑇 𝐴=1+4F+4BF
𝐴7,4 = −Fo
𝐴1,4 = −Fo
𝐴 =−2F 4,5 o
0 0 0 0 𝑥1 𝐴𝐴𝐴000000 𝑇𝑛+2𝐹B𝑇
𝐴1,1
2,1 2,2 2,3 𝑥2 1,2 𝑜i∞
𝐴1,2
0 𝐴 𝐴 0 0 0000𝑥 𝑇𝑛+4BF𝑇
0 𝐴1,4 0
𝑇𝑇𝑇𝑇
3,1
3,2 3,3 2,3
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,1 i o ∞
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
13
3,2 3,3 3 𝐴4,1 0 0 𝐴4,4 𝐴4,5 0000𝑥4
1,3 io∞ 𝑇𝑛+4BF𝑇
0 𝐴 0 0 0 0 0 0 0 5,2
0 0𝐴6,3000000
𝑥5
𝑥 6
𝑥7 𝑥8 𝑥9
= 1,3 i o ∞ 𝑏5
0 0
0 0 0 0
0𝐴7,400000 0 0 00000
0 0 00000
𝑏6 𝑏7 𝑏8 𝑏9
For the next node;
𝑇
1 + 4F0
− F0𝑇
𝐴5,5 =1+4Fo
𝐴8,5 = −Fo
𝐴2,5 = −Fo
𝐴5,6 = −Fo
𝐴5,4 = −2Fo
𝑇 2,1 2,2 𝑇
p+1 2,2
p+1 3,2
p+1 p+1
p+1 𝑝
− F0𝑇 = 𝑇 1,1
− F0𝑇 1,2
− F0𝑇 2,3
1,2
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇𝑇𝑇=𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
𝑇𝑇𝑇𝑇 3,1 3,2 3,3 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,1 i o ∞
26/02/2020
14
0 0 0 𝑥1
2,1 2,2 2,3 2,5 𝑥2 1,2 𝑜i∞
3 𝑥4
𝐴1,1
0 𝐴 𝐴 0 0 0 000𝑥 𝑇𝑛+4BF𝑇
𝐴1,4 0 0 𝐴4,100𝐴4,4𝐴4,50000
0
𝐴𝐴𝐴0𝐴0000 𝑇𝑛+2𝐹B𝑇
𝐴1,2
3,2 3,3
1,3 io∞
0 𝐴5,2 0 𝐴5,4 𝐴5,5 𝐴5,6 0 0 0 0 0 𝐴 0 0 0 0 0 0
𝑥5 =
𝑥6
𝑥7 𝑏6
6,3
0 0 0 𝐴7,4 0
0 0 0 0 𝐴8,5
000000000
MAT6669 Heat and Materials with Application
0 0 0 0
𝑏7 𝑏8 𝑏9
𝑥8 0 0 0 0 𝑥9
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,3 io∞
𝑇𝑛 5,5
For the next node;
26/02/2020
15
1 + 4F o
+ 2F B 𝑇
𝐴6,6 = 1 + 4Fo + 2FoBi
𝑇
𝑝+1 o i 2,3
p+1 o 3,3
p+1 o 2,2
p+1 o 1,3
𝑝
= 𝑇 + 2F B 𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇 𝑇 𝑇 =𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
𝑇𝑇𝑇𝑇 3,1 3,2 3,3 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
− F 𝑇
− 2F 𝑇
− F 𝑇
2,3 o i ∞
𝐴9,6=−Fo
𝐴6,5 = −Fo
𝐴3,6 = −Fo
0
𝑇𝑛+2𝐹B𝑇 0𝐴3,2𝐴3,3 0 0𝐴3,6000𝑥 𝑇𝑛+4BF𝑇
𝐴1,1 𝐴1,2
0 𝐴1,4
0
0 000𝑥
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,1 i o ∞
𝐴
𝐴4,1 0 0 𝐴4,4 𝐴4,5 0 0 𝐴5,2 0 𝐴5,4 𝐴5,5 𝐴5,6 0 0 𝐴6,3 0 𝐴6,5 𝐴6,6
0 0 0 𝑥1
2 1,2 𝑜i∞
𝐴
2,1 2,2 2,3 2,5
0 0 0 0 0 0
0𝐴7,4 0 0
0 0 𝐴 0 8,5
𝑥7 2,3 oi∞ 𝑥8 𝑏7
𝐴 0 𝐴
0 0 0𝐴9,6
MAT6669 Heat and Materials with Application
000
000
000
000
0 0 0
3 1,3 io∞ 𝑥4 𝑇𝑛+4BF𝑇
000
1,3 io∞ 𝑥5=𝑇𝑛
𝑥 5,5
6 𝑇𝑛 +2FB𝑇
𝑥9 𝑏8
𝑏9
For the next node;
1+4F+4BF𝑇 o
−2F𝑇
3,1
io∞
p+1 io 3,1
p+1 o2,1
p+1 o3,2
𝑝
=𝑇 +4BF𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇=𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
𝑇𝑇𝑇𝑇 3,1 3,2 3,3 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
−2F𝑇
7,7oio 𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑇
𝐴 =1+4F +4BF
1,1 1,2 1,3 2,1
𝐴4,7 = −2Fo
𝐴7,8 = −2Fo
𝐴1,1𝐴1,2 0𝐴1,4 0 0 0 00
𝐴𝐴𝐴0𝐴0000 2,1 2,2 2,3 2,5
0𝐴𝐴00𝐴000 3,2 3,3 3,6
𝑇𝑛 +4BF𝑇 𝑥1 1,1 io∞
𝑇𝑛+2𝐹B𝑇 𝑥2 1,2𝑜i∞
𝑇𝑛+4BF𝑇 𝑥3 1,3 io∞
𝑥 𝑇𝑛+4BF𝑇 4 1,3 io∞
𝑥5= 𝑇𝑛 𝑥 5,5
6 𝑇𝑛+2FB𝑇 𝑥 2,3 oi∞
𝐴4,100𝐴4,4𝐴4,50𝐴4,70
0𝐴5,20𝐴5,4𝐴5,5𝐴5,600 0 0𝐴6,3 0𝐴6,5𝐴6,6 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
26/02/2020
0𝐴7,4 0 0𝐴7,7𝐴7,807 00𝐴8,50000𝑥8 000𝐴000𝑥9
MAT6669 Heat and Materials with Application
𝑇𝑛+4BF𝑇 3,1 io∞
𝑏8 𝑏9
9,6
16
For the next node;
𝑇p+1 1+4𝐹 +2𝐹B −𝐹𝑇𝑝+1−2𝐹𝑇p+1−𝐹𝑇𝑝+1 =𝑇𝑝 +2𝐹B𝑇
3,2 𝑜
3,2 𝑜 i ∞
𝑜 i 𝑜 3,1 𝑜 2,2 𝐴 =1+4𝐹+2𝐹B
𝑜 3,3
𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
𝑇𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇2,1 𝑇2,2 𝑇2,3 = 𝑇2,2 𝑇𝑇𝑇𝑇
8,8 𝑜𝑜i
𝐴8,7 = −Fo
𝐴5,8 = −2Fo
𝐴8,9 = −Fo
3,1 3,2
3,3 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
𝐴1,1 𝐴1,2 0 𝐴1,4
𝐴2,1 𝐴2,2 𝐴2,3 0
0 𝐴3,2 𝐴3,3 0
𝐴 0 0 𝐴 4,1 4,4
0 𝐴5,2 0 𝐴5,4 0 0𝐴6,30
0 0 0
𝐴2,500
0𝐴3,60
0 0 0
0
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,1 io∞
𝑇𝑛 +2𝐹B𝑇 1,2𝑜i∞
𝑇𝑛+4BF𝑇 1,3 io∞
𝑇𝑛+4BF𝑇 1,3 io∞
0 0
0 0
0 0
0 𝐴 0 0 𝐴 𝐴 0 7,4 7,7 7,8
𝑥6 𝑇𝑛+2FB𝑇 𝑥 2,3 o i ∞
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application
𝑏9 17
𝐴 0 𝐴 0 4,5 4,7
𝐴5,5 𝐴5,6 0 𝐴5,8 𝐴6,5 𝐴6,6 0 0
𝑥1 0 𝑥2
0 𝑥 3
0 𝑥 4
7 𝑥8
000𝐴9,60009
𝑇𝑛+4BF𝑇 3,1 io∞
𝑇𝑛 +2𝐹B𝑇 3,2𝑜i∞
00 𝐴8,5 0 𝐴8,7 𝐴8,8 𝐴8,9 𝑥
0
0
𝑥5=𝑇𝑛 5,5
For the next node;
𝑇𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3 2,1
𝑇𝑇𝑇=𝑇 2,1 2,2 2,3 2,2
𝑇𝑇𝑇𝑇 3,1 3,2 3,3 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
1+4F +4BF 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 −2F 𝑇p+1 =𝑇𝑝 +4BF 𝑇
𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
o io 3,3 o2,3 𝐴 =1+4𝐹+4𝐹B
o3,2
3,3 io∞
9,9 𝑜𝑜i
𝐴6,9 = −2Fo
𝐴9,8 = −2Fo
𝐴1,1 𝐴1,2 0 𝐴1,4 0 0 0 0 0 𝐴2,1𝐴2,2𝐴2,3 0𝐴2,5 0 0 0 0
𝑇𝑛 +4BF𝑇 𝑥 1,1 io∞
𝑇𝑛 +2𝐹B𝑇 1,2𝑜i∞
𝑇𝑛 +4BF𝑇 1,3 io∞
𝑇𝑛 +4BiFo𝑇∞ 1,3
𝑇𝑛 5,5
1 𝑥2 0𝐴3,2𝐴3,3 0 0𝐴3,6 0 0 0 𝑥3
𝐴 0 0 𝐴 𝐴 0 𝐴 0 0 𝑥 4,1 4,4 4,5 4,7 4
0 𝐴5,2 0 𝐴5,4 𝐴5,5 𝐴5,6 0 𝐴5,8 0 𝑥5 =
00𝐴6,30𝐴6,5𝐴6,600𝐴6,9𝑥6
𝑇𝑛+2FB𝑇
0 0 0 𝐴 0 0 𝐴 𝐴 0 𝑥 2,3 o i ∞ 7,4 7,77,8 7 𝑇𝑛+4BF𝑇
0 0 0 0 0 0
26/02/2020
0 𝐴8,5 0 𝐴8,7 𝐴8,8 𝐴8,9 0 0 𝐴9,6 0 𝐴9,8 𝐴9,9
𝑥8 𝑥9
3,1 io∞
MAT6669 Heat and Materials with Application
𝑇𝑛+4BF𝑇
3,3 i o ∞ 18
𝑇𝑛 +2𝐹B𝑇 3,2 𝑜i∞
Constructing the A, x and b matrices
We need a way to automatically link data in the 𝑇 and 𝑥 format for larger arrays. We can 𝑖,𝑗 𝑖
create two integer arrays that tell us the index of the corresponding location of data points in both notations.
This array informs us what component of 𝑥 we are looking for when examining indices of 𝑖 and𝑗
123 𝐿=456 7 8 9
𝑖𝑗
1 1 12 13 21 2 2 23 31 32 33
This array informs us what the indices of 𝑖 and 𝑗 are for a specificcomponentof𝑥
𝑥=1 𝑥=2 𝑥 = 3 𝑥 = 4
𝐺=𝑥=5 𝑥=6 𝑥=7 𝑥=8 𝑥=9
Can you create these arrays and generalise the generation of the A matrix to any array dimensions?
26/02/2020 MAT6669 Heat and Materials with Application 19
Manipulating arrays in MATLAB
𝑥=
123𝑇 147 456=258 789 369
𝑇 1,1
𝑇 1,2
𝑇 1,3
𝑇 2,1
𝑇 2,2
𝑇 2,3
𝑇 3,1
𝑇 3,2
𝑇 3,3
𝑇=
𝑇𝑇𝑇 1,1 1,2 1,3
𝑇𝑇𝑇 2,1 2,2 2,3
𝑇𝑇𝑇 3,1 3,2 3,3
26/02/2020
MAT6669 Heat and Materials with Application 20