第 39 卷/第 3 期/ 河 北 师 范 大 学 学 报/自 然 科 学 版/ Vol.39 No.3 2015 年 5 月 JOURNAL OF HEBEI NORMAL UNIVERSITY/Natural Science Edition/ May.2015
文 章 编 号 :1000-5854(2015)03-0197-05
IRCT 下瑞利分布参数多变点的贝叶斯估计
何 朝 兵 1 ， 田 彦 伟 1 ， 刘 华 文 2
(1.安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000;2.山东大学 数学学院，山东 济南 250100)
摘 要:利用 MCMC方法研究了带有不完全信息随机截尾试验下瑞利分布多变点模型的参数估计问题.通过 扩充缺损的寿命变量数据得到了瑞利分布的似然函数，对各参数的满条件分布进行了随机抽样.随机模拟证实了 各参数估计的精度都较高.
关 键 词 :似 然 函 数 ; 满 条 件 分 布 ; M C M C 方 法 ; Gibbs 抽 样 ; M etropolis -H astings 算 法
中 图 分 类 号 :O 213.2;O 212.8 文 献 标 志 码 :A DOI:10.13763/j.cnki.jhebnu.nse.2015.03.003
Bayesian Estimation of Parameter of Rayleigh Distribution with Multiple Change Points for Random Censoring Test Model with Incomplete Information
HE Chaobing1 ， TIAN Yanwei 1 ， LIU Huawen2 (1.School of Mathematics and Statistics，Anyang Normal University，Henan Anyang 455000，China;
2.School of Mathematics，Shandong University，Shandong Jinan 250100，China)
Abstract:This paper mainly studies the parameter estimation in Rayleigh distribution multiple change points model for IRCT.By expanding the mising data of the life variable，the likelihood function of Ray-
leigh distribution is obtained.The ful conditional distributions of al parameters are randomly sampled. Random simulation shows that estimators of the parameters are fairly acurate.
Key words:likelihood function;ful conditional distribution;MCMC method;Gibbs sampling;Me- tropolis-Hastings algorithm
变点模型是非常重要的统计模型[1-7].贝叶斯计算方法中的 MCMC方法，使变点的检测变得非常方 便[8-10].瑞利分布是一类重要的连续型分布，是形状参数为2的威布尔分布.当一个随机二维向量的2个分 量服从独立的、有着相同方差的正态分布时，这个向量的模服从瑞利分布.瑞利分布在无线电通信工程、工程 测量等领域有着广泛的应用，如在无线电波传播中，接收信号快衰落时，接收信号的场强;被安装到车床上的 毛坯齿轮中心与加工中心的偏心误差;射击时弹着点与靶心的距离等都服从瑞利分布.文献[11]首次提出了 带 有 不 完 全 信 息 随 机 截 尾 试 验 ( 简 称 I I R C T ) ， 文 献 [1 2 -1 7 ] 讨 论 了 此 模 型 中 的 参 数 估 计 问 题 . 本 文 中 ， 笔 者 主 要研究了此模型中瑞利分布多变点问题的贝叶斯估计.
1 带有不完全信息随机截尾试验
设 X1，X2，…是一列连续型随机变量，X1，X2，…相互独立并且服从同一分布，分布函数和密度分别为
F (x ;λ )，f (x ;λ ).Y 1 ，Y 2 ，… 是 独 立 同 分 布 连 续 型 随 机 变 量 ，分 布 函 数 和 密 度 分 别 为 G (y )，g (y ).并 且 {X i }， {Y i } 独 立 .
收 稿 日 期 :2014-07-12;修 回 日 期 :2014-10-20
基 金 项 目 : 国 家 自 然 科 学 基 金 (6 1 1 7 4 0 9 9 ) ; 河 南 省 教 育 厅 科 学 技 术 研 究 重 点 项 目 (1 4 B 1 1 0 0 1 1 ) 作 者 简 介 :何 朝 兵 (1975-)，男 ，河 南 周 口 人 ，讲 师 ，硕 士 ，从 事 概 率 统 计 的 研 究 .
· 198 ·
设第i个样品的观察数据为Zi，Zi 由下面的规则得到.
1)Xi≤Yi 时，Xi 显示的概率为ai，取Zi=Xi;Xi 不显示的概率为1-ai，取Zi=Yi. 2)Xi>Yi 时，取Zi=Yi.
引入变量 ，. αi βi
当 Xi≤Yi 时，αi=1;当 Xi>Yi 时，αi=0.
当 X Y ， 且 X 不 显 示 时 ， = 0 ; 其 他 情 况 ， = 1 .I I R C T 的 似 然 函 数 为
i≤ii βi β1 n
{[ ( ;)珚( ) ]αβ [ ( ) ( ;)( )]α (1-β )[ ( )珚( ;)]1-α } Lλ=∏fziλGzi-1aiiigziFziλ1-ai i i gziFziλ i ∝
i=1 n
{[ ( ;)]αβ [ ( ;)]α (1-β )[珚( ;)]1-α } ∏fziλiiFziλi iFziλi.
i=1 2 瑞利分布的似然函数
若 X 的 密 度 函 数 为 f (x ;λ ) = 2 λ x e – λ x 2 ，x > 0 ，λ > 0 ， 则 称 X 服 从 参 数 为 λ 的 瑞 利 分 布 ， 其 分 布 函 数 为 F (x;λ)=1-e-λx2 ，x>0.可以利用逆变换法产生瑞利分布随机数.
()
假设IRCT下产品寿命服从参数为λ的瑞利分布. 令z，，分别表示由z，， 组成的向量.
α β i αi βi 似然函数为
n
β iii iiiii
L(z，α，|λ)∝ ∏[(2λzie-λz2 )αβ (1-e-λz2 )α (1-β )(e-λz2 )1-α ]， (1) i=1
由(1)知似然函数比较复杂，所以下面不妨扩充部分缺损寿命数据: 当 =1，=0，扩充数据Z=X=z.
αi βi 1i i 1i
f(x;λ) Z1i的密度为φ(x;λ，zi)= ( ;)，0
L (θ | z ，v ，α ，β ) ∝ L (z ，v ，α ，β | θ )π (λ 1 )π (λ 2 )π (λ 3 )π (k 1 ，k 2 )
222
333
其 中 z – 1 i = {z 1 j :j ≠ i } .
记 π (λ 1 | · ) = π (λ 1 | k 1 ，k 2 ，λ 2 ，λ 3 ，z ，ν ，α ，β ) .
各参数的满条件分布为
s+b-1 -λ(d+c) s+b-1 -λ(d+c) s+b-1 -λ(d+c)
11 111
∝[λ1 e λ2 e λ3 e .
， 时，( ，， ，，) (;，) (;，)， ; αi=1i=0 πz1i|θzz-1iαβ∝z1iθzi=烅z1iλ2zi i∈D2
βψφ
(·)s+b-1-λ(d+c) ( ， )，，，， 11 111
) ， 时 ，由 分 布 ( ; ， )随 机 产 生 ，令
(t) (t)
)由 ( ·)随机产生 ，用 更新 ;
5πλ3| λ3 λ3
(t )
表 示
组 成 的 向 量 ;
1 αi=1βi=0
z1i
随机产生 ，令 ( ， )
][
][
烄 φ (z 1 i ;λ 1 ，z i ) ，i ∈ D 1 ;
]
πλ1| ∝λ1 e ∝Gas1+b1 d1+c1 i=123
( · ) s s – (λ d + λ d ) ， ， ( · ) s s – (λ d + λ d ，
22 222
33 333
121122
πk1| ∝λ1λ2e 1≤k1