程序代写代做 C 不平衡转子弯扭耦合振动特性研究

不平衡转子弯扭耦合振动特性研究
不平衡转子弯扭耦合振动特性研究
沈小要 , 赵玫, 荆建平
(上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室 上海，200240)
摘 要 本文采用 Lagrange 方程，推导了考虑弯扭耦合振动的转子控制方程，考虑了六个方向的自由度。 分析了两种不平衡的作用，即静不平衡和动不平衡，同时考虑了重力和陀螺效应的影响。采用小角度假设， 详细推导了这两种不平衡和重力由于转子的平动与转动而导致的激励力和激励力矩。数值仿真结果表明: 本文对于建立比较完备的弯扭耦合转子振动模型和理解动静不平衡的影响具有一定的意义。 关键词:转子;弯扭耦合;动不平衡;静不平衡
Study on the coupled torsional-lateral vibration of
unbalanced rotor systems
SHEN Xiao-yao, ZHAO Mei, JING Jian-ping
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai, 200240, China)
Abstract The coupled torsional-lateral model of the rotor system is set up and governing equations are derived using Lagrange approach with six degrees of freedom. Two kinds of unbalances including static unbalance and dynamic unbalance are imposed on the rotor system. The gyroscopic effect and the gravity are included. The expressions of corresponding forces and moments from these two unbalances and the gravity are derived. Results from numerical calculation prove that this work is meaningful to set up a complete coupled torsional-lateral model
of the rotor system and understand the effect of the dynamic and static unbalances. Keywords: Rotor; Torsional-lateral coupling; Dynamic unbalance; Static unbalance
引言
在过去的几十年里，人们对于转子的横向振动做了大量的研究，而转子的扭转振动却经 常被忽略。随着科技的发展，越来越多的大容量机组如超临界或超超临界汽轮机被投入使用。 转子的转速大幅度提高，转子质量加重，轴系长度不断加长。这些因素使得轴系的扭转振动 成为一个突出的问题，同时由于质量不平衡等激励而导致弯扭耦合振动，加重了对转子系统 的影响。关于转子系统的弯扭耦合问题，国内外已有一些文献在某一方面进行了研究[1-6]。
本文应用 Lagrange 方程建立了转子弯扭耦合振动模型。考虑了六个方向的自由度，即 三个平动自由度，两个偏转自由度，和一个扭转自由度。分别引入平动坐标系、固定于圆盘 上的转动坐标系和 Euler 角来描述转子的平动和转动。分析了两种不平衡的作用，即静不平 衡和动不平衡，同时考虑了重力和陀螺效应的影响。采用小角度假设，详细推导了这两种不
基金项目:国家“863”(NO.2002AA526)和国家自然科学基金(NO.10572087)资助项目 作者简介:沈小要(1980-)，男，安徽人，博士生，从事转子动力学和非线性方面的研究. E-mail:
yxshen@sjtu.edu.cn 通讯联系人:赵玫，教授，E-mail: mzhao@sjtu.edu.cn 6-38

2007 年第九届全国振动理论及应用学术会议论文集 杭州,2007.10.17-19 平衡和重力由于转子的平动与转动而导致的激励力和激励力矩。通过数值仿真，研究了转子
弯扭耦合振动特性和动静不平衡对于转子系统的影响。
1 基本方程
单盘的 Jeffcott 转子示意图和相应的坐标系如图 1(a)所示。
图 1 单盘转子系统相应的坐标系和 Euler 角
Fig.1 Coordinate systems of the rotor system and Euler angles
oxyz 是固定的惯性坐标系，o 是转轴无弯曲时圆盘的几何中心。o1 x1 y1 z1 是平动坐标系， o 是圆盘平动过程中的几何中心。oηξζ 是固定于圆盘上的坐标系，可以体现圆盘的所有
11
运动。x，y 和 z 分别是对应的平动自由度。θx 和θy 是对应的转动自由度，α 是轴向的扭 转自由度。
刚性圆盘的运动可以分解成几何中心的平动和圆盘绕三个坐标轴的转动。平动自由度可 以从坐标系 oxyz 运动至o x y z 而得到，转动自由度可以从o x y z 旋转至oηξζ 而得到。
1111 1111 1 旋转过程如图 1(b)所示。o x y z 通过三个 Euler 角θ ，θ 和 α +φ 可以转至oηξζ 。在
o1 x1 y1 z1 中，圆盘的瞬时角速度为:
1111 ηy 1
ω = θ η I 2 + θ y J 1 + ( α + φ ) K ζ
( 1 ) 因为θ ≈ θ ，因此通过三个 Euler 角，在 o ηξζ 中，圆盘的瞬时角速度可以表达为:

其中 I 2 ， J1 和 Kζ 是各个坐标轴方向上的单位向量。 φ = Ω 是圆盘的旋转速度。
ηx1
⎧ω ⎫
⎪ η ⎪ ⎡cos(α+φ) cosθx sin(α+φ) 0⎤⎧ θx ⎫ ⎢ ⎥⎪⎪
ω = −sin(α +φ) cosθ
⎨ξ⎬⎢ x ⎥⎨y⎬
cos(α +φ) 0
⎪ω⎪ ⎢ 0 −sinθ 1⎥⎪α+Ω⎪
θ ⎩ζ⎭⎣x⎦⎩⎭
(2)
( 3 )
根据上述平动和转动的划分，圆盘的动能可以定义为:
T = 1 m ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 1 J ω 2 + 1 J ω 2 + 1 J ω 2 2 2dη 2dξ 2pζ
将式(2)带入式(3),可得: 11

T= m(x2+y2+z2)+ [J(θ2+θ2)+J(α+Ω)2−2Jθθ(α+Ω)] (4)
22
dxyp pxy
系统的弹性势能为:
V = 1 k x 2 + 1 k y 2 + 1 k z 2 + 1 k θ 2 + 1 k θ 2 + 1 k α 2 2x 2y 2z 2θx x 2θy y 2T
( 5 )
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假设系统受到粘性阻尼力，则根据 Lagrange 方程，可以得到系统的振动方程为: m x + c x x + k x x = 0
m y + c y y + k y y = 0 m z + c z z + k z z = 0
Jdθx +cθxθx +kθxθx +Jp(Ω+α)θy =0

Jdθy +cθyθy +kθyθy −Jp(Ω+α)θx −Jpαθx =0
考虑系统的不平衡时，根据不平衡产生的离心力效应的不同，可将转子不平衡分为两类。 如果离心力向转子质心简化为一个力时，则此为静不平衡。如果离心力简化为一个力偶时， 则为动不平衡。它们都与转子质量分布和旋转方向有关。
因为圆盘的转动，静不平衡产生两个力，在瞬时坐标系oηξζ 中，静不平衡和其产生 1

J α + c α + k α − J ( θ θ + θ θ ) = 0
pTTpxyxy
的力如图 2 (a) 所示。 om 是圆盘的质心，偏心率是 e，初始相位是 β 。
(a) (b)
图 2 (a) 静不平衡和其产生的力, (b) 圆盘平动产生的惯性力
Fig.2 (a) Forces from static unbalance, (b) Forces from the translational motion
沿着坐标轴oη和oξ 分解可得: 11
F =me[(α+Ω)2 cos(Ωt+α+β)+αsin(Ωt+α+β)] uη
F =me[(α+Ω)2 sin(Ωt+α+β)−αcos(Ωt+α+β)] uξ
(7)
(6)
达式。
根据坐标系oηξζ ，o x y z 和oxyz之间的关系，从图 3 的分析可得在oxyz中力的表 1 1111
η Fuη
x1 Fux
z1 θx
ζ
Fuz2 Fuξ
ξ
图 3 静不平衡力的分析
Fig.3 Handling of forces from static unbalance
ζ
o1
F uy
y1
o1
Fuz1 θy z1
因为旋转角θx 和θy 都很小，采用小角度假设可得上述力在各坐标轴方向上的分量: 6-40

2007 年第九届全国振动理论及应用学术会议论文集 F =me[(α+Ω)2 cos(Ωt+α+β)+αsin(Ωt+α+β)]
杭州,2007.10.17-19
ux
F =−me[(α+Ω)2 cos(Ωt+α+β)+αsin(Ωt+α+β)]θ
y
(8)
(9)
uz1
F =me[(α+Ω)2 sin(Ωt+α+β)−αcos(Ωt+α+β)]
uy
F =−me[(α+Ω)2 sin(Ωt+α+β)−αcos(Ωt+α+β)]θ
uz2 由于圆盘的转动和静不平衡而产生的力矩在 o ηξζ 中为 M
x
= −me α ，在 oxyz 中的
1 uζ 222
同时圆盘有平动，产生两个惯性力，如图 2 (b) 所示。两个力产生的合力矩为:
Mm =me[xsin(Ωt+α+β)−ycos(Ωt+α+β)] (11)
动不平衡和因圆盘转动而产生的力矩如图 4 所示。两个偏心质量 m1 反向对称分布在圆 盘的两面，偏心距都为 e1 ，初始相位为 γ ，圆盘厚度为 h。
图 4 动不平衡和其产生的力矩
Fig.4 Dynamic unbalance and forces and moments from it
如图 4，因为圆盘的转动，产生了切向和法向方向的力，其等效的力矩为:
M =meh(α+Ω)2, M =mehα (12)
分量为:
M =−meα, M =−meαθ , M =−meαθ (10) uz ux yuy x
2
dn 11 dt 11 采用上述处理静不平衡的方法，可得在 oxyz 中，力矩表达式为:
M
M M
=−meh[(α+Ω)2 sin(Ωt+α+γ)−αcos(Ωt+α+γ)]θ dz 11 y
−meh[(α+Ω)2 cos(Ωt+α+γ)+αsin(Ωt+α+γ)]θ 11x
=meh[(α+Ω)2 sin(Ωt+α+γ)−αcos(Ωt+α+γ)] dx 11
=meh[(α+Ω)2 cos(Ωt+α+γ)+αsin(Ωt+α+γ)] dy 11
(13)
对于一个水平放置的转子，在ox方向，重力的分量为Fgx =−mg。重力产生的力矩在 oxyz 中为:
Mgx =mgeθy cos(Ωt+α+β)+mgeθy sin(Ωt+α+β) Mgy =mgesθy sin(Ωt+α+β)+mgeθx sin(Ωt+α+β) Mgz =mgesin(Ωt+α+β)
−mgeθ2 cos(Ωt+α+β)−mgeθθ sin(Ωt+α+β) yxy
(14)
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将上述分析得出的来自于静不平衡、动不平衡、重力、圆盘的转动和平动的力和力矩代 入至方程(6)的右边，可得在动静不平衡激励下，考虑重力和陀螺效应的转子弯扭耦合振动 的运动方程。
2 数值仿真
将上述得到的六个二阶微分方程转化为相空间中的12个形如u= f(u)一阶微分方程， 采用定步长的四阶 Runge-Kutta 法进行积分运算。通过仿真结果，分析两种不平衡对于弯扭 耦合振动转子运动形式的影响。采用的参数为:m 为 2 kg，圆盘半径为 0.1 m，转轴长度为 0.7 m，转轴直径为 0.03 m， β 为 π / 3 ， γ 为 π / 3 ，h 为 0.1 m。
2.1 静不平衡的影响
不考虑动不平衡，使用静不平衡偏心距 e 作为控制参数，计算得到的转速为 300 rad/s 时的分叉图如图 5 (a)和 图 6 (a) 所示。可知平动自由度 x 的值首先随着 e 的增大而增大， 当e = 6.0×10−3 m 后，随着 e 的增大而减小。扭转角α 随着 e 的增大而增大。如图 5 (b)-(c) 和图 6 (b)-(c) 所示，x 和α 都是同步的周期 1 运动，频率为 1X。
2.2 动不平衡的影响
此时不考虑静不平衡，根据等效变换: m e = me ，可以得到等效的动不平衡偏心距 112
e2。转速为 300 rad/s 时，使用 e2 作为控制参数的分叉图如图 7 所示。从图 7 (a)可知:动不 平衡对于平动没有影响。在图 7 (b)中，扭转角α 随着 e2 的增大而增大。如图 8 所示，此时 扭转振动是频率为 2X 的同步的周期 1 运动。
图 5 平动的响应图:(a) 分叉图, (b) 时域图，(c) 频谱图
Fig.5 Motion of x: (a) Bifurcation diagram, (b) time history, (c) frequency spectrum
图 6 扭转运动的响应图:(a) 分叉图, (b) 时域图，(c) 频谱图
Fig.6 Motion of α : (a) Bifurcation diagram, (b) time history, (c) frequency spectrum
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图 7 控制参数为 e2 响应分叉图:(a) x，(b) α Fig.7Bifurcationdiagramswithdynamicunbalanceeccentricitye2:(a)x,(b) α
图 8 扭转运动的响应图:(a)时域图，(b)频谱图 Fig.8 Motion of α : (a) time history, (b) frequency spectrum
2.3 动静不平衡的影响
同时考虑动静不平衡的影响，当e=4.0×10−3m，e2 =2.0×10−3m时，扭转振动α如 图9所示。频谱图上有两个峰值，相图有两个封闭的圆，说明此时运动为同步的周期2运动， 频率分别为 1X 和 2X。此时频率为 1X 的响应成分比频率为 2X 的响应成分大的多。当
图 9 扭转运动的响应图:(a) 时域图、(b) 频谱图、(c) 相图 Fig.9 Motion ofα : (a) time history, (b) frequency spectrum, (c) phase portrait
图 10 扭转运动的响应图:(a) 时域图、(b) 频谱图、(c) 相图 Fig.10 Motion of α : (a) time history, (b) frequency spectrum, (c) phase portrait
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e=4.0×10−3m，e2 =7.0×10−3m时，扭转振动如图10，也是同步的周期2运动，频率分 别为 1X 和 2X，但此时，频率为 1X 的响应成分比频率为 2X 的响应成分小得多，时域图和 相图也与图 9 不同。
3 结论
(1) 静不平衡首先激励了横向振动，但当不平衡量达到一定值时，因弯扭耦合作用，横向振 动被抑制。扭转振动随着静不平衡量的增加而增大。这两种运动都是频率为 1X 的同步 周期1运动。
(2) 动不平衡对于转子的横向振动没有影响。扭转振动随着动不平衡的增加而增大，并且是 频率为 2X 的同步的周期 1 运动。
(3) 当动静不平衡同时作用时，转子的扭转振动为频率为1X和2X的同步的周期2运动。 随着这两种不平衡量相对大小的不同，扭转振动的响应也不同。
(4) 本文对于建立比较完备的弯扭耦合转子振动模型和理解动静不平衡的影响具有一定的 意义，可以为后续开展外激励力作用、存在裂纹或碰摩时转子的弯扭耦合振动特性研究 提供一定基础。
参考文献
[1] A.Tondl.Someproblemsofrotordynamics.ChapmanandHall,London:1965.
[2] C.Nataraj. On the interaction of torsion and bending in rotating shafts. Journal of Applied Mechanics. 1993,
60: 239-241.
[3] M.A.Moniuddin and Y.A.Khulief. Coupled bending torsional vibration of rotors using finite element. Journal
of Sound and Vibration. 1999, 223(2): 297-316.
[4] 黄典贵,朱力,蒋滋康.不平衡转子弯、扭耦合振动的数值仿真.汽轮机技术.1995,37(6): 346-348.
[5] 何成兵,顾熠炯,陈祖强.质量不平衡转子的弯扭耦合振动分析.中国电机工程学报.2006,26(14):
134-139.
[6] 舒歌群,梁兴雨.基于自重影响的连续轴扭/弯耦合振动的研究.工程力学.2005,22(2): 168-173.
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