第36卷第1期 郑州大学学报(理学版) Vol. 36No. 1 2004年3月 JOURNALOFZHENGZHOUUNIVERSITY Mar. 2004
X2滤波和 Ε2滤波LM S 算法性能分析 张端金, 刘 侠
(郑州大学信息工程学院 郑州 450052)
摘要: 研究了 X 2滤波和 Ε2滤波 LM S 算法的性能, 给出了它们的均值收敛和方差收敛条件, 提出了 X 2滤波和Ε2滤波 LM S 算法具有二次稳定性的充分条件. 仿真结果表明, 这两种 LM S 算法对被控对象的估计误差具有不敏感的
特性.
关键词: 自适应滤波; X2滤波; Ε2滤波; LM S 算法; 二次稳定性
中图分类号: TN 713 文章编号: 1671- 6841 (2004) 01- 0049- 04
0 引言
最小均方误差 (LM S) 算法最早是由W id row 教授提出的. LM S 算法计算量小, 易于实现, 现已广泛应用 于信号处理、通信系统和参数估计等领域. 近年来,有关自适应逆控制系统的研究取得了许多成果[1]. 在自适 应逆控制设计中, 控制器常采用 X 2滤波 LM S 自适应算法[ 2 ]. 和传统 LM S 算法不同, 该滤波器的输入 X (k ) 是经过被控对象滤波后得到的信号, 控制器对被控对象的估计误差和噪声都不敏感. X2滤波LM S 算法已应 用于动态噪声控制[3]和动态摄动系统的控制[4]. 此外,Ε2滤波LMS算法[5]也可以不依赖于对象的准确性,同 样获得控制器的理想解. Ε2滤波的特点是先对系统的总误差进行滤波, 得到一个过滤误差, 然后再对控制器 的系数做自适应更新.
本文详细分析了X2滤波LM S 算法和 Ε2滤波LM S 算法的收敛性和二次稳定性条件, 研究了自适应算法 对模型Pδ(z)上小误差的敏感性等问题. 仿真结果表明,X2滤波和Ε2滤波算法在收敛速度和稳态误差等方面 优于传统的LM S 算法.
1 X2滤波LM S 算法的性能
基于X2滤波LMS算法的自适应逆控制的原理框图[5]如图1所示. 图中,Cδ(z)为控制器,∆k 为抖动噪声, n k 为对象扰动. 控制器的输入 X k 是经被控对象滤波后的信号 X k ′, 自适应过程利用总系统误差 Εk 更新控制
器 的 系 数 . 文 中 假 设 X k 和 X k ′与 C δ k 不 相 关 . 111 控制器 Cδ(z ) 的收敛性
11111 均值收敛
不失一般性, 忽略对象扰动和抖动噪声的影响, 则由图 1 可以得到
Cδ k + 1 = Cδ k + 2 Λ 1 X k ′( d k – X Tk Cδ k )
δ = ( I – 2 Λ 1 X k ′X Tk ) C δ k + 2 Λ 1 X k ′d k ( 1 )
其中,Λ1 为C(z)的自适应常数. 对上式两边取数学 期望, 可得
E [ Cδ k + 1 ] = ( I – 2 Λ 1 R ′) E [ Cδ k ] + 2 Λ 1 E [ P ′] ( 2 )
收稿日期: 2003 09 08
基金项目: 河南省自然科学基金资助项目, 编号 0311011600; 河南省高校青年骨干教师计划项目, 编号 [ 2003 ]100.
作者简介: 张端金 (1966—) , 男, 教授, 博士后, 主要从事高速信号处理、鲁棒控制与系统建模研究.
图 1 基于 X 2滤波 LM S 算法的自适应逆控制系统
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式 中 , R ′= E [ X k ′X Tk ] , P ′= E [ X k ′d k ] . 由 此 可 得 C δ 在 均 值 上 收 敛 , 等 价 于 l i m ( I – 2 Λ 1 R ′) k = 0 , 即 有 0 < Λ 1 <
k→∞
1 gΑ P . 其 中 , Α P 是 R ′的 第 P 个 特 征 根 .
1. 1. 2 方差收敛
为了找到方差收敛的条件, 首先要得到进入控制器的总功率. 由图 1 可知系统的总功率为
W= E[Xk2 ]+ E[Xk′2 ]= E[(ik3 P)2 ]+ E[ik2 ]Λ2nE[nk2 ] (3) 式中, 第一项为指令输入 ik 驱动对象 P (z ) 后的输出功率; 第二项为指令输入 ik 驱动 Pδ(z ) 后的输出功率; Λ2
为对象 Pδ(z ) 建模过程中得到的自适应常数; n 是 Pδ(z ) 的权系数个数; 最后一个因子是对象扰动功率.
经过控制器Cδ(z)的X2滤波LM S 算法的方差收敛条件为
1. 2 X2δ滤波LδMδS算δ法的二次稳定性分析
1
δ0< Λ1< 2 2 2 (4)
m[E[(ik3P) ]+E[ik]Λ2nE[nk]]
X2滤波LM S 算法可表示为
Cδ k + 1 = Cδ k + 2 Λ 1 X k ′( d k - X Tk Cδ k ) = ( I - 2 Λ 1 X k ′X Tk ) Cδ k + 2 Λ 1 X k ′d k ( 5 )
式 中 , X k ′= i k 3 P k ; X k = i k 3 P k .
在多数情况下,P (z)接近于P (z), 由此可得非常相似的Xk 和Xk′. 所以,可设Xk′= Xk. 引入记号
1⋯10
Xk 1⋯10 , L= [0 ⋯ 0 1], K=
Nk=
Cδk+ 1= (I- 2Λ1KNkNTk KT)Cδk+ 2Λ1KNkLNk (6) 其中,Xk=KNk; dk=LNk.令 Hk=I- 2Λ1KNkNTkKT, Tk=2Λ1KNkLNk,式(6)变成
Cδ k + 1 = H k Cδ k + T k .
定理 1 如果有一个对称正定矩阵Q 使下面的矩阵不等式成立, 即
TT HkQHk- Q HkQ
QH k Q
则X2滤波LM S 算法是二次稳定的. 证明 由系统二次稳定的条件可得
CδTk+ 1QCδk+ 1- CδTkQCδk< 0, ] (H kCδk+ Tk)TQ (H kCδk+ Tk)- CδTkQCδk< 0,
] CδTk (H TkQH k- Q)Cδk+ CδTk H TkQTk+ TTkQH kCδk+ TTkQTk< 0 (8)
Cδk HTkQHk-Q HTkQ
令Zk= ,式(8)可以表示为ZTk Zk< 0. 由此可得式(7). 证毕.
则由式(5)可得
dk 1⋯10
Tk QHk Q
2 Ε2滤波LM S 算法的性能
<0 (7)
第 36 卷
⋯
⋯ ⋯
Ε2 滤 波 L M S 算 法 是 获 得 C ( z ) 的 另 外 一 种 方 法. 将总的系统误差经滤波后进行自适应, 此滤波器 是对象 P 延时之后得到的逆. 该算法的结构如图 2 所示.
2. 1 控制器C(z)的收敛性
2. 1. 1 均值收敛 Ε2滤波LM S 算法可表示为
图 2 基于 Ε2滤波LM S 算法的自适应逆控制系统
第 1 期 δ 张 端 金 等δ: X 2滤 波 和 Ε2滤 波 L M S 算 法 性 能 分 析 5 1
Cδk+1=Cδk+2Λ1Ik′Ε′k=Cδk+2Λ1Ik′(dk- ITkCδk) (9)
δ- 1 δ 其中, ik′= ik3 P∃k ; Ik= ik′3 P; Ik′= ik′3 P.
同 理 , 可 以 得 到 E [ C δ k + 1 ] = ( I - 2 Λ 1 W ′) E [ C δ k ] + 2 Λ 1 E [ V ′] . 式 中 , S ′= E [ I k ′I Tk ] ; V ′= E [ I k ′d k ] . 那么,当Cδ(z)收敛时,应满足lim(I- 2Λ1S′)k=0.所以,0<Λ1<1gΒP·ΒP 是S′的第P个特征根.
k→∞
2. 1. 2 方差收敛
采用与 X 2滤波 LM S 算法相同的方法, 先找到进入控制器的总功率, 由图 2 可以看到
2 ′2 2 2 2 W= E[Ik ]+ E[Ik ]= E[ik ]+ E[(i′k) ]Λ2nE[nk ].
经过控制器 C (z ) 的 Ε2滤波 LM S 算法的方差收敛条件为
2. 2 Ε2滤波LM S 算法的二次稳定性分析
定理 2 如果存在一个对称正定矩阵Q 满足下面的矩阵不等式
1
0< Λ1< 2 2 2 (10)
m [ E [ i k ] + E [ ( i ′k ) ] Λ 2 n E [ n k ] ]
TT GkQGk- Q GkQ
< 0,
QGk Q 则Ε2滤波LMS算法具有二次稳定性.其中,Gk=I- 2Λ1KMkMTkKT;Fk=2Λ1KMkLMk,Mk= .
证明 与定理1类似, 此处略. 3 算法性能仿真
下面通过仿真试验检验和分析 X 2滤波和 Ε2滤波LMS 算法的性能. 考虑研究对象为
Ik dk
1
P (z)= 1- 015z- 1; 参考模型为M (z)= 1; 系统
指令输入信号是零均值单位功率的白色信号; 采用振幅为 2 频率为 1 kH z 的正弦波为参考输 入; 系统中的噪声是零均值单位功率的白噪声; Pδ(z)和Cδ(z)的权系数n=m= 10.
图 3 中 , 横 坐 标 表 示 迭 代 次 数 ( n ′) , 纵 坐 标 表 示 幅 度 ( A ) . 可 以 看 到 , 传 统 L M S 算 法 、X 2 滤 波 L M S 算 法 和 Ε2滤 波 L M S 算 法 都 有 明 显 的 滤波效果,干扰幅度大大减小. 图(c)、(d)与图
(e)、(f) 与图 (g)、(h) 比较可以看出, X2滤波 LM S 算法和 Ε2滤波LM S 算法的稳态性能优于 传统LM S 算法, 滤波后的输出要比传统LM S 算法的输出光滑平整. 并且, 在仿真中得到传统 LMS算法要求的Λ值(收敛因子) 较小,在采 用 相 同 的 Λ 值 时 , X 2滤 波 L M S 算 法 和 Ε2滤 波
LM S 算法的收敛速度较快. 在该仿真中选用的对象模型P (z)为
图 3 L M S 、X 2 L M S 和 Ε 2 L M S 算 法 性 能 曲 线
1 1- z
, 与对象虽然有误差, 但得到的滤波结果 令人满意, 证明了这两种算法的不敏感性; 给定
-1
52 郑 州 大 学 学 报 ( 理 学 版 ) 第 36 卷 相同的 Λ, 由图(e)、(f) 与图(g)、(h) 可以看到, X2滤波LM S 算法滤波效果同 Ε2滤波LM S 算法很相似, 但前
者要略好于后者. 4 结论
利用自适应逆控制系统中的模型, 研究了X2滤波和 Ε2滤波LM S 算法的收敛性与二次稳定性问题, 并且 得到相应的充分条件. 最后, 通过仿真验证了这两种LM S 算法在性能上明显优于传统的LM S 算法这一 结论.
参考文献:
[1] 刘侠, 张端金, 吴捷. 自适应逆控制的研究综述. 电气自动化, 2003, 25(6): 5~ 8.
[2] WidrowB, StearnsSD. AdaptiveSignalProcessing. NJ: PrenticeHall, 1985.
[3] Chen G, Sone T. The stability and convergence characteristics of the delayed2X LM S algorithm in ANC system. Jour2
nalofSoundandVibration, 1998, 216(4): 637~648.
[4] M arcio H C, Jose CarlosM B. Stochastic analysis of the filtered2X LM S algorithm in system w ith nonlinear secondary
paths. IEEE TransSignalProcessing, 2002, 50(6): 1327~1342.
[5] W idrow B, W alach E 著; 刘绍棠, 韩崇昭译. 自适应逆控制. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.
PerformanceAnalysisof Filtered-XLMSand F i l t e r e d - Ε L M S A l g o r i t hm s
Zhang Duanjin, L iu Xia
(Schoolof InformationEngineering,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450052,China)
Abstract:Theperformanceofthefiltered2XLMSandfiltered2ΕLMSalgorithmsisstudied. Some sufficient conditions of convergence and quadratic stability are presented for the two algorithm s. The simulation results show that the filtered2X LM S and filtered2ΕLM S algorithm s are insensi2 tive to the estimate error of the controlled plant.
Keywords:adaptivefiltering; filtered2X; filtered2Ε;LMSalgorithm; quadraticstability