Aufgabe 1
Sei A eine nilpotente n × n-Matrix. Zeigen Sie, dass dann An = 0 gilt. Aufgabe 2
Sei
Prof. Dr. Jan-Philipp Hoffmann Lineare Algebra 2 Sommersemester 2021 Blatt 6
!” 4 0 − 4 #$ A= 2 2 −5 .
Pr ̈asenzaufgaben
100 a) Bestimmen Sie die Jordannormalform von A.
b) Bestimmen Sie die Basis B = (b1, b2, b3), die die Jordan-Normalform realisiert. Aufgabe 3
Sei A eine komplexe 5 × 5-Matrix mit Eigenwerten 2 und i. Welche Jordan-Normalformen k ̈onnte A haben? Aufgabe 4 (extra)
Bestimmen Sie die Richtung und L ̈ange der Hauptachsen des Ellipsoids
6×2 −√8xy−√8xz+19y2 −26yz+19z2 =8.
Aufgabe 1 (8 Punkte)
Es seien
!% − 1 2 − 8 − 1 2 − 8 #& M = %” 2 0 9 −2 &$
6464 11 8 5 10
Hausaufgaben
Prof. Dr. Jan-Philipp Hoffmann Lineare Algebra 2 Sommersemester 2021 Blatt 6
die Einheitsmantrix.
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von M mit ihrer algebraischen und geometrischen Vielfachheit. b) Bestimmen Sie eine Basis des Eigenraums UM (λ).
c) Erweitern Sie eine Basis des Eigenraums UM (λ) zur einer Basis B ̃λ von Kern(M − λ I )2
d) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von M.
Aufgabe 2 (8 Punkte)
Es seien F : Rn → Rn ein Endomorphismus.
a) Zeigen Sie, dass der Eigenraum UF(λ) = {v ∈ Rn | F(v) = λv} dem Kern der Abbildung F −λid entspricht.
b) Zeigen Sie, dass (F − λ id)n eine lineare Abbildung ist.
c) Zeigen Sie, dass Kern(F − λ id)n−1 ⊂ Kern(F − λ id)n gilt.
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Sei A eine nilpotente 3 × 3-Matrix. Zeigen Sie, dass dann
nicht l ̈osbar ist.
2 !” 0 1 0 #$ A=001 000
Aufgabe 4 (8 Punkte)
Die dritte Ableitung ist auf dem Vektorraum R3[X] der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 3 eine lineare
Abbildung
∂3 ′′′ ∂X3 : R3[X] → R3[X], p(X) ‘→ p (X).
und I
∂3
a) Zeigen Sie, dass ∂X3 eine nilpotente Abbildung ist.
∂3 b) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von ∂X3 .
c) Bestimmen Sie die Basis B = (b0, b1, b2, b3), die die Jordan-Normalform realisiert.
Abgabe: 5. Juli 2021, 10 Uhr