Aufgabe zur Hausarbeit: Geschwindigkeitsregelung eines Elektrofahrzeugs
Prof. Dr. M. Enzmann 15. Februar 2022
Die folgende Aufgabe ist unter Nutzung von Matlab / Simulink zu lo ̈sen. Dabei wird insbesondere die Control System Toolbox genutzt. Die wichtigsten Befehle werden im Anhang aufgefu ̈hrt.
̈ ein Elektrofahrzeug soll eine Geschwindigkeitsregelung ausgelegt werden. Dazu sind die fol- genden Teilaufgaben zu bearbeiten:
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1. Modellbildung:
(a) Aufstellen des nichtlinearen Differentialgleichung des Teilmodells der mechanischen Zusam- menha ̈nge;
(b) Linearisierung der Differentialgleichung zwischen dem wirksamen Gesamtmoment und der Drehzahl;
(c) Integration des linearisierten mechanischen Teilmodells in das Gesamtmodell;
2. Auslegung des unterlagerten Regelkreises
(a) Auslegung eines Stromreglers zur Stabilisierung des Wicklungsstroms:
i. Bestimmung der U ̈bertragungsfunktionen zwischen der Eingangsspannung ue(t) bzw.
Ue(s) und dem Wicklungsstrom i(t) bzw. I(s);
ii. Bestimmung der Parameter fu ̈r einen I- oder PI-Stromregler zur Einhaltung der An-
forderungen an den Stromregelkreis
(b) Untersuchung des geschlossenen unterlagerten Regelkreises.
3. Auslegung eines U ̈berlagerten (P)I-Drehzahlreglers zur Einstellung der Geschwindigkeit
(a) Bestimmung der U ̈bertragungsfunktion zwischen dem Sollstrom is(t) bzw. Is(s) und der Motordrehzahl ω(t) bzw. ω(s)
(b) Bestimmung der Parameter eines (P)I-Drehzahlreglers zur Einhaltung der Anforderungen an den Drehzahlregelkreis
4. Untersuchung der Sto ̈runterdru ̈ckung des geschlossenen Regelkreises bei Einwirkung von Wind- boen und Steigung bzw. Gefa ̈lle der Straße
1 Modellbildung
1.1 Nichtlineares mechanisches Teilmodell
Um das Modell des Gesamtfahrzeugs mit dem Modell der elektrischen Maschine koppeln zu ko ̈nnen, wird zuna ̈chst die Interaktion zwischen dem mechanischen Anteil der elektrischen Maschine und dem Fahrzeug untersucht. Aus der Abbildung 1 wird die nichtlineare Differentialgleichung abgeleitet. Dazu ist das Folgende zu beachten:
wird der Drallsatz im Hinblick auf die Rotationsgeschwindigkeit der Motorwelle genutzt. Dieser besagt, dass die Summe alle auf die Welle wirkenden Momente gleich dem Produkt aus Rotationstra ̈gheit und A ̈nderung der Winkel- geschwindigkeit ist.
Die folgenden Momente wirken auf das Fahrzeug:
• der Motorstrom i(t) multipliziert mit dem Koppelfaktor ergibt das Antriebsmoment;
• ein externes Lastmoment Me(t), das zum oder Fahrbahnanstieg bzw. -gefa ̈lle beschreibt;
• die von der Drehzahl abha ̈ngige Reibung der Maschine d · ω;
• der vom Fahrzeug selber stammende Lastan- teil aus dem Luftwiderstand, der sich durch die folgende Formel bestimmen la ̈sst:
Abbildung 1:
Maero(t) = dfzω(t) + ρ2Acwr3ω2(t) (1) Die Parameter des mechanischen Teilmodells sind in Tabelle 1 dargestellt.
Aufgabe: die nichtlineare Differentialgleichung des mechanischen Teilmodells.
1.2 Linearisiertes mechanisches die aerodnamische Last durch den Luftwider-
stand quadratisch von der Drehzahl ω(t) abha ̈ngt,
muss dieser Anteil linearisiert und in das Modell
integriert werden. Die linearisierte Darstellung des
mechanischen Teilmodells wird analog zu Abbil-
dung 2 aufgebaut. Das aerodynamische Lastmo-
ment am Arbeitspunkt MAP und der am Arbeits- aero
punkt konstante ergeben sich aus der Linearisierung der Kennlinie aus Gleichung 1.
Abbildung 2: Linearisiertes mechanisches Teilmodell am Arbeitspunkt. An diesem Arbeitspunkt sind die Signalwerte ωAP und iAP . Aus dem Gleichgewicht
Die Linearisierung der Differentialgleichung erfolgt
am Arbeitspunkt kann fu ̈r den jeweiligen Wert von ωAP der Wert iAP bestimmt werden.
Zur Interpretation der Darstellung aus Abbildung 2: am Arbeitspunkt, bei Drehgeschwindigkeit ω = ωAP wirkt auf den mechanischen Teil das aus der Aerodynamik und dem Rollwiderstand resultierende Moment MAP . Wenn dieses Moment als ”Sto ̈rung“ beru ̈cksichtigt wird, ko ̈nnen die Drehgeschwindigkeit ω(t) und der wirkende Strom i(t) als absolute Werte betrachtet werden, und mu ̈ssen nicht als Abweichung vom Arbeitspunkt dargestellt werden.
Aufgabe: den aerodynamischen Anteil des mechanischen Teilmodells und stellen Sie die linearisierte Differentialgleichung nach Abbildung 2 auf. U ̈bertragen Sie die linearisierte Differentialglei- chung in den Bildbereich.
1.3 Modell der elektrischen Maschinen, nach der Integration der linearisierten U ̈bertragungsfunktion kann mit Abbildung 3 beschrieben werden. Die U ̈bertragungsfunktion GMω(s) beschreibt darin die Dy- namik der linearisierten Differentialgleichung. zwischen der Summe der Drehmomente und der Drehzahl. Die Faktoren ki und kEMK stellen den Zusammenhang zwischen dem Strom und dem resultierenden An- triebsmoment der Maschine dar, bzw. zwischen der Drehzahl und der induzierten Gegenspannung. Der vordere Teil des Modells, zwischen der Spannung ue(t) und dem Ausgang stellt den elektrischen Teil der Maschine dar, mit dem Spulenwiderstand R und der Spuleninduktivita ̈t L. des Gesamt- modells muss zuna ̈chst dieser elektrische Anteil zusammengefasst werden, anschließend muss, zur Lo ̈sung von Teilaufgabe 3.) die Gesamtu ̈bertragungsfunktion von ue auf i bestimmt werden. Dazu werden die Parameter des elektrischen Teilsystems beno ̈tigt, die in Tabelle 1 gegeben sind.
Abbildung 3: Struktur des Berechnung der U ̈bertragungsfunktion GeiU(s) kann die Differentialgleichung 2 genutzt werden:
L ∂i(t) = −i(t) + 1 uΣ(t) (2) R∂t R
Darin ist die Summe der Spannungen uΣ(t) die Eingangsgro ̈ße in die U ̈bertragungsfunktion aus Abbildung 3. Die elektrischen Parameter zur Berechnung der U ̈bertragungsfunktion sind in Tabelle 1 enthalten.
Aufgabe: die U ̈bertragungsfunktionen des Gesamtsystems:
I(s) ω(s) ω(s)
Ue (s) Ue (s) Me (s)
Hinweis: zur Berechnung der U ̈bertragungsfunktionen ko ̈nnen Sie die Matlab-Funktionen sumblk und
connect verwenden.
2 Auslegung des unterlagerten Regelkreises
Die beiden Regelkreise ko ̈nnen unabha ̈ngig voneinander ausgelegt werden, wenn die Zeitkonstanten des inneren Regelkreises, also des Stromregelkreises erheblich kleiner sind, also die Zeitkonstanten des a ̈ußeren Regelkreises, und wenn die einhu ̈llende Zeitkonstante des inneren Regelkreises bei einer sprungfo ̈rmigen A ̈nderung des (s) ausreichend klein ist, der Stromregelkreis also gut geda ̈mpft ist.
Im unterlagerten Regelkreis wird der Spulenstrom durch einen PI-Regler eingestellt. Dabei ist eine Ausregelzeit und eine maximale U ̈berschwingweite zu erreichen. Zudem darf bei der Berechnung der U ̈bergangsfunktion (Systemantwort auf den Einheitssprung) die maximale Spannung nicht zu groß wer- den. Fu ̈r die unterschiedlichen Lo ̈sungswege werden die Vorgaben jeweils in Kapitel 4 festgelegt.
fu ̈r die Bestimmung des Reglers das Folgende: da die U ̈bertragungsfunktion des Gesamt- modells von der (s) auf den (s) eine Nullstelle und einen Pol aufweist, die beinahe den gleichen Wert besitzen, muss dieser ”kleinste“ Pol nicht durch eine Za ̈hlernullstelle kompen- siert werden. Das ”erledigt“ schon die Nullstelle der Strecke…
Aufgabe: einen geeigneten I-Regler (gegebenenfalls auch PI-Regler) zur Stabilisierung des Stroms unter Einhaltung der Vorgaben an den Regelkreis. die U ̈bertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises:
GI(s) = I(s) Gω(s) = ω(s) ω(s) Isoll (s) Isoll (s) Me (s)
die Sprungantworten der U ̈bertragungsfunktionen GI(s) und Gω(s) und pru ̈fen Sie, ob die Vorgaben eingehalten werden.
3 Auslegung des u ̈berlagerten Regelkreises
einen (P)I-Regler zur Einstellung der Drehzahl auf den Sollwert ωsoll(s). Dabei sollen wieder die vorgegebene U ̈berschwingweite und die vorgegebene Ausregelzeit eingehalten werden. Fu ̈r den und die (s) sind Betragsobergrenzen einzuhalten.
Aufgabe: den PI-Regler so, dass die Vorgaben einhalten werden. die U ̈bertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises
TI(s) = I(s) Tω(s) = ω(s) Dω(s) = ω(s) ωsoll (s) ωsoll (s) Me (s)
Pru ̈fen Sie an Hand der U ̈bergangsfunktionen , ob die Vorgaben eingehalten werden.
4 Modellparameter
Die numerische Berechnung des Modells kann mit den in Tabelle 1 gegebenen Parameterwerten erfolgen
Parameter Rotortra ̈gheit
Fahrzeugmasse Radius des Umstro ̈mte Fla ̈che ̈t ̈r die Berechnung der Regler mit einem der Numeriktools ko ̈nen jeweils fu ̈r U ̈bergangsfunktionen die folgenden Anforderungen an den Regelkreis gestellt werden:
• Stromregler:
df z ρ A cw ki R L
0, 2 0.85 1.2
kgm2 s kgm2 s kg m3
5.5 Tabelle 1: Modellparameter
– U ̈berschwingweite kleiner als 5 Prozent
– Anregelzeit (0 bis 100 Prozent): kleiner als 0.03 Sekunden – Ausregelzeit (2 Prozent-Band): kleiner als 0.1 Sekunde
• Geschwindigkeitsregler:
– Ausregelzeit (2 Prozent-Band): kleiner als 5 Sekunden
– Sollstrom: kleiner als 30 Ampere.
Hinweise zur Benutzung von Matlab
Zur numerischen Bestimmung der einzelnen U ̈bertragungsfunktionen verwenden Sie wie gehabt die Funk- tionen tf und zpk. der Berechnung der geschlossenen Regelkreise bietet es sich an, die Ein- und Ausgangssignale dieser U ̈bertragungsfunktionen mit Signalnamen zu versehen. Dies kann fu ̈r die U ̈bertragungsfunktionen in Abbildung 3 wie folgt durchgefu ̈hrt werden:
1GwM= tf(…);
2 GwM. InputName = ’MSigma ’ ; 3 GwM. OutputName = ’ DeltaW ’ ; 4%
5 GIU = t f ( . . . ) ;
6 GIU.InputName = ’USigma’; 7GIU.OutputName= ’I’;
9 Ki = tf(ki); %der Zahlenwert ki wird als U ̈F mit P−Verhalten definiert
10 Ki.InputName = ’I’;
11 Ki.OutputName = ’KiO’
Um die geschlossenen Regelkreise bestimmen zu ko ̈nnen, mu ̈ssen die Summierstellen definiert werden. Dazu sind auch die Namen der Ein- und Ausgangssignale anzugeben, z.B.
1 S1 = sumblk(’MSigma=KiO+Me−MAeroAP’);
Hier werden die Namen der Signale in einer ”Formel“ zusammengefasst, links vom Gleichheitszeichen
steht das Ausgangsignal des Summenblocks, rechts stehen die Eingangssignale mit ihren Vorzeichen.
In einem dritten Schritt ko ̈nnen dann die Verbindungen zwischen den einzelnen Blo ̈cken bestimmt werden.
Hier sind wieder die Ein- und Ausgangssignale zu bestimmen:
1 G alle = minreal(connect(GwM,GIU,Ki,S1, <...>, {’Ue’,’Me’,’MAeroAO’,WAP’}, {’I’,’W’}))
Nach der Festlegung der einzelnen zu beru ̈cksichtigenden Blo ̈cke (”<...>“ steht dabei als Platzhal- ter fu ̈r die noch zu beru ̈cksichtigenden Blo ̈cke) folgen die Eingangssignale, dann die Ausgangssignale. Die geschweiften Klammern fassen die Ein- und Ausgangssignale zusammen, wenn mehr als ein Signal beru ̈cksichtigt wird.
Um abschließend auf eine der berechneten U ̈bertragungsfunktionen zuru ̈ckgreifen zu ko ̈nnen, muss die Reihenfolge der Ein- und Ausgangssignale beru ̈cksichtigt werden. Da bei vier Ein- und zwei Ausgangs- signalen eine Matrix von U ̈bertragungsfunktionen mit zwei Zeilen und vier Spalten resultiert, ist die U ̈bertragungsfunktion von der (1. Eingangssignal) auf den (1. Ausgangssignal) durch
1 GIU = minreal(tf(G alle(1,1)));
zu erhalten. Wichtig dabei: die Umschreibung in eine U ̈bertragungsfunktion mit tf. Die interne Berech- nung erfolgt in der Zustandsraumdarstellung die in der Lehrveranstaltung nicht betrachtet wurde. Die Funktion minreal fu ̈hrt Pol- / Nullstellenkompensationen durch, wenn die Berechnung mit connect nahe beieinanderliegende Pole und Nullstellen errechnet.
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