PowerPoint 演示文稿
第二节 离散型随机变量
及其分布律
一、离散型随机变量
二、三种重要的离散型随机变量
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量 .
(1) X 可能取的值是0,1,2 ;
(2) 取每个值的概率为:
看一个例子
一、离散型随机变量
定义1 ：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .
其中 (k=1,2, …) 满足：
k=1,2, …
（1）
（2）
定义2 ：设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称
为离散型随机变量 X 的分布律.
一、离散型随机变量
（1）公式法
（2）列表法
X
一、离散型随机变量
例1、运动员投篮，命中率为90%，两次独立投篮命中次数 X 的概率分布。
.
.
(2)
从而
例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.
例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
P{X=1}=P(A1)=p,
为计算 P{X =k }， k = 1,2, …，
Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
设
于是
可见X的分布律为
二、三种重要的离散型随机变量
0-1分布
二项分布
泊松分布
二、0-1分布（两点分布）
随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为
或
例：合格／不合格；正面／反面
二、二项分布
只包含两个结果的实验称为Bernoulli实验，记结果为，
重复次独立的Bernoulli实验称为重Bernoulli实验
记为重Bernoulli实验中事件发生的次数，则是离散型随机变量，取值为，称为服从参数为的二项分布，记
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则
易证：
（1）
称 r.v. X 服从参数为n和p的二项分布，记作
X~b(n,p)
（2）
二、二项分布
例2、一批产品中一级品的概率为0.2，随机抽取20只产品，恰好有k只一级品的概率
二、二项分布
例3、某人进行射击，命中率为0.02，独立进行了400次射击，至少射中两次的概率
二、二项分布
例4、80台设备，各台工作相互独立，发生故障的概率为0.01，每台故障只能由一个人处理。下述两种方案
（1）4人维护，每人负责20台设备
（2）3人共同维护80台设备
应该采用哪种方案效率高？
二、泊松分布
设随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…，其概率分布为
其中是常数，称服从参数为的泊松分布，记为
二、泊松分布
泊松定理：
设，，对于任意非负整数，有
定理说明，以为参数的二项分布概率值可由的泊松分布近似。
二、泊松分布
例5、某公司生产产品1000件，废品率为0.1%，则1000件产品中经检验废品数大于2的概率
35101033{}PX
3256110213{}PX
3253210123{}PX
k
p
,0
k
p
k
k
p1
12{},,,kkPXxpk
12{},,,kkPXxpk
kp
12kxxx
12kppp
例: 设随机变量 X具有分布律
(),1,2,3,4,5PXkakk
（1）确定常数
a
,（2）计算
15()22PX
.
例: 设随机变量X具有分布律
a
15
()
22
PX
<<
（1）确定常数
,（2）计算
.
_1235770769.unknown
_1235774896.unknown
解（1）由分布律的性质 ,得
551156()12kkPXkaka
115a
15()22PX
(1)(2)PXPX
12115155
例: 设随机变量X具有分布律
解（1）由分布律的性质,得
pp)1(
)()2(
21
AAPXP
)()3(
321
AAAPXP
pp
2
)1(
,2,1k
ppkXP
k
1
)1()(
0)( kXP
}{ kXP
101,,,nnkkkppkn
1)(
0
n
k
kXP
泊松分布在实际中具有十分广泛的应用 ,下述随机变量均可用泊松分
布来描述：
电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数 ；某路段一个月内
发生的交通事故的次数 ；
车站某时段等车人数 ；
医院每天的就诊人数 ；
在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的粒子数 等
等……
泊松分布也是概率论中 一种重要的理论分布.
泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,下述随机变量均可用泊松分布来描述：
· 电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数；某路段一个月内发生的交通事故的次数；
· 车站某时段等车人数；
· 医院每天的就诊人数；
· 在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的粒子数等等……
泊松分布也是概率论中一种重要的理论分布.
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