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第三节 频率与概率

概率及其频率解释

定义、在相同条件下，进行次试验，其中事件发生的次数为，称为事件发生的频数。比值 称为事件发生的频率，记为。

例：抛硬币，事件

概率及其频率解释
易见，频率有如下性质：
1、
2、任意事件，
3、任意两两不相容事件… 有

实验证明，随着增加，呈稳定性。频率的稳定值即为概率。

试验者 抛币次数n “正面向上”次数 频率
De Morgan 2084 1061 0.518
Bufen 4040 2048 0.5069
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005

抛掷钱币试验记录

概率的公理化定义
定义、 设 是一个样本空间，定义在 的事件域 上的一个实值函数 ，称为 上的一个概率测度，如果它满足下列三条公理：

公理1、规范性： =1
公理2、非负性：任意事件A，
公理3、可列可加性：任意两两不相容事件… 有

则称P(A)为事件A的概率。

概率测度的其他性质
性质1、

性质2、（

性质3、
特别的，如果，则

概率测度的其他性质

性质4、

性质5、

性质6、（加法公式）

例1、已知=0.5，=0.2，=0.4，求，，，

例2、已知=1/2，=1/3，=1/5， =1/10， =1/15， =1/20， =1/30，求

)(Af
n

, 为随机我们称这个稳定值的附近摆动的数值 pp

, 即的概率事件A

这个定义也称为

. 概率的统计定义

定义

 
. pAP 

,行大量的重复试验在不变的一组条件下进

会稳定地在某个固定的出现的频率随机事件
n
n
A
A

因为



, 故由概率公件两两互斥由于上式右端可列个事

, 有理化定义的可列可加性

PP

PPP

, 再由概率的非负性可得

0 . P

. 推得概率的下列性质由概率的公理化定义可

1性质

0 . P

证

因为

1212nnAAAAAA

, 1 有质所以由可列可加性及性

1212nnPAAAPAAA

12nPAPAPAPP

12 00 nPAPAPA

12 . nPAPAPA

2性质

, ,,,
21
则两两互斥设有限个事件
n
AAA 

1212 . nnPAAAPAPAPA

证

因为

, . AASAA且

所以

PAAPS

. 1

并且

     
APAPAAP 

, 由以上两式可得

   
1 APAP

即

3 性质

   
. 1 APAP 

, 有对于任何事件 A

   
. 1 APAP 

证

, , 所以因为如图 BA

S

A

B

BA

 BAB

并且

 
BABA 

, 2 可得于是由性质

     
BAPBPAP 

4 性质

也即

     
, BPAPBAP 

并且

   
. BPAP 

, 有又由概率的非负性

     
0  BPAPBAP

即

   
. BPAP 

, , 则且为两事件、设 BABA 

     
BPAPBAP 

证

, 都有因为对于任一事件A

AS

, 4 可得故由性质

1 .PAPS

5 性质

, 都有对于任一事件 A

 
. 1AP

证

B

A

AB

BA

 
ABBA 

而且

 ABAB

所以

 
BAP 

   
ABBPAP 

证

     
. ABPBPAP 

由此性质还可推得

 
BAP 

   
. BPAP 

6 性质

, , 则为任意两个事件设 BA

       
ABPBPAPBAP 

, 如图所示

S

1








i
n
i
AP

 



n
i
i
AP
1

1ijijnPAA

1ijkijknPAAA

 
 
n
n
AAAP 

21
1
1

: 还可以推广而且此结果

 
CBAP 

       
ABPCPBPAP 

     
ABCPBCPACP 

更一般地，有（奇加偶减公式）

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