线性代数期末试卷 2021.1.4 注:请把答案写在此试卷上，答在草稿纸上无效.
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
一、简答题(每小题 7 分，共 4 题，计 28 分)
1. 设矩阵 A = 0 1 0 , 且 A2B + A = B + E, 求矩阵 B 及行列式 |B|.
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4. 设A=0 b 0,B=0 c 0,证明A与B合同,即存在可逆矩阵P，使得B=PTAP.
二、(12 分)已知二次型 f = x21 + x2 + x23 + 2ax1x2 + 2x1x3 + 2bx2x3 经正交变换可化为标准形 f = 2y12 + y32, 试求 a, b.
2. 设α=(1,1,−1)T 是矩阵A= 5 a 3 的一个特征向量，求常数a,b的值.
3. α 为 n 维实单位列向量, A = E −kααT 为正定矩阵, 求实数 k 的取值范围.
三、(12 分)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 2, 向量 α = (1,0,−1)T ,α2 = (1,−1,0)T 为线 性方程组 Ax = 0 的两个解.(1)求 A 的全部特征值与特征向量; (2)求正交矩阵 P ，使得 P T AP 为对角阵; (3)求矩阵 A.
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四、(12 分)设 n 阶矩阵 A = (α1,α2,…,αn−1,αn) 的前 n − 1 个列向量线性无关，又 αn = α2 +α3 +···+αn−1. 令 β = α1 +α2 +…+αn, (1)证明: 方程组 Ax = β 有无穷多组解. (2)求 方程组 Ax = β 的通解.
六、(12 分)已知线性空间 R3 的基 α1, α2, α3 到基 β1, β2, β3 的过渡矩阵为 P , 且
α1 =0, α2 =2, α3 =1, P =4 0 3.
1 2 0 3−22 试求:(1) 基 β1, β2, β3; (2) 在基 α1, α2, α3 与 β1, β2, β3 下具有相同坐标的全部向量.
五、(12 分)设 A 为三阶矩阵, λ1, λ2, λ3 是 A 的三个不同特征值, 对应的特征向量分别为 α1, α2, α3, 令 β = α1 +α2 +α3. (1)证明: β,Aβ,A2β 线性无关. (2)若 A3β = Aβ, 求秩 r(A−E) 及行列式 |A + 2E|.
七、(12 分)(1)已知矩阵 A 的秩 r(A) = 1. 证明:存在非零列向量 α 和 β, 使得 A = αβT . (2)已知矩阵 A = α1β1T + α2β2T , 其中列向量 α1, α2 线性无关，β1, β2 也线性无关，证明:r(A) = 2.
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