第 28卷 第 3期
2005年 9月
东 华 理 工 学 院 学 报
JOURNAL OF EAST CH INA INST ITUTE OF TECHNOLOGY
Vo l. 28 No. 3
Sep. 2005
收稿日期:2005-01-14
基金项目:江西省自然科学基金 (0511005);江西省教育厅科技项目
([ 2005] 213);东华理工学院院长基金(DHY0454)
作者简介:刘唐伟(1973— ),讲师 ,研究方向为数学物理反应问题及其数
值计算。
第二类非线性 Fredhoml 型积分方程数值解
刘唐伟 ,应正卫 ,吴志强
(东华理工学院数学与信息科学学院 ,江西抚州 344000)
摘 要:配置法研究了地球物理中常见的第二类非线性 Fredholm 型积分方程的数值解法 ,将第二类非线性 F redholm 型积
分方程转化为非线性代数方程组进行求解 ,采用高斯数值积分公式 , 给出了数值计算的具体实例。利用 M atlab软件的符
号运算功能编程计算 ,克服了非线性方程难于变成求解的困难, 数值例子表明该方法编程简便有效。对非线性积分方程
和非线性代数方程组的求解都有重要价值。
关键词:非线性 Fredholm 积分方程;投影配置法;数值解;M atlab软件
中图分类号:O175. 14 文献标识码:A 文章编号:1000 – 2251(2005)03 – 294 – 03
许多实际问题可以化为非线性积分方程和微
分方程求解 。如散射柱体内的电场积分方程 ,非常
规质量控制图评价指标的计算 ,非均匀弹性材料中
反平面的运动裂纹问题等 。而许多微分方程的边
值问题也可以化为积分方程 ,这样不但可以降低维
数 ,而且可以使未知函数的性质限制减弱。许多测
井问题的反演计算 ,也涉及到非线性积分方程的求
解 。而非线性积分方程的求解 ,比线性积分方程要
困难许多。目前非线性积分方程的数值算法虽然
比较多 (徐定华 , 1997;韩国强 , 1994;胡齐芽 , 1995;
潘宝珍等 , 2003),但具体实现的数值例子见于公开
文献的并不多 。在实际问题中常见的有如下第二
类非线性 Fredho lm型积分方程的求解。
φ(x) -λ∫
b
aF(x, y, φ(y))dy =f(x) (1)
其中 a≤x≤b , F , f已知 , φ未知 , λ为参数。因为非
线性积分方程(1)的解析解一般难以求出 ,故主要
考虑求其数值解 。
1 数值解法
方程(1)的数值解法较多 ,如迭代法 、直接离散
法 、投影法等 ,下面考虑用投影配置法求解方程
(1)。
1. 1 方程 (1)解的存在唯一性
为方便起见 ,先对函数作如下假设:
(i)f∈ C[ a , b] ,或 f∈ L
2
[ a , b] ;
(ii)F关于 y∈ [ a , b] , φ∈ ( – ∞, +∞)满足
对 t的一致的 Lipsch itz条件 ,即对 yi , φi , i=1 , 2满
足
F (x, y1 , φ1(y)) -F(x, y2 , φ2(y)) ≤
k1(x)[ y1 -y2 + u1 -u2 ] (2)
其中 k1(x)是 [ a , b]上非负有界函数 。方程
(1)可写为如下算子方程
φ(x)=Tφ(x)=f(x)+λ(Fφ)(x) (3)
则当满足 |λ|k1 <1时 , T为压缩算子 ,方程 (1) 存在唯一解(徐定华 , 1997)。 1. 2 投影配置法的具体步骤 取分段线性插值基函数{ei (x)} n i=1 ,为 n维子 空间 Xn ,令 φ(x)近似解为 φn(x)=∑ n i=1 ciei (x) (4) 其中 ci为待定系数。 任意 v∈ X =C [ a , b] ,它在 X n上投影为 Pn v=∑ n j=1 v(xj)ej(x) (5) 其中 xj为插值节点 。 从而由(1)可得 Pnφ(x)=Pnλ∫ b aF (x, y , φ(y))dy +Pn f(x) 即有下式成立 φn(x)=λ∫ b aPnF(x, y, φ(y))dy +Pn f(x) 将(4)和(5)代入上式 ,可得 ∑ n i=1 ciei(x)=λ∫ b a ∑ n i=1 F(xi , y , φn(y))ei(x)dy + ∑ n i=1 f(xi)ei(x), i=1, 2, …, n ∑ n i=1 {ci -λ∫ b aF(xi , y, φn(y))dy - f(xi)}ei(x)=0 又因为 ei(x)线性无关 ,所以下式成立 ci -λ∫ b aF(xi , y, φn(y))dy - f(xi)=0 (6) 式中 i=1, 2, … , n 方程式 (6)为非线性方程组 ,下面求解非线性 方程组 ,对(6)式中的积分可以采用不同的数值积 分公式进行计算 (黄象鼎等 , 2000)。如果对 (6)式 中的积分采用如下积分公式 In(x)=∑ N j=1 ωjx(tj) 则可得 ∫ b aF(xi , y, φn(y))dy =∑ N j=1 ωjF(xi , yj , φn(yj))= ∑ N j=1 ωjF(xi , yj , ∑ n i=1 ciei(yj)) 从而(6)式可化为 ci -λ∑ N j=1 ωjF(xi , yj , ∑ N i=1 ciei(yj)) - f(xi)=0 (7) 式中 i=1, …, n 这样方程组 (6)的求解转化为非线性方程组 (7)的求解。 (7)可简记为 F I(c1 , c2 , …, cn)=0; i=1, 2, … , n 2 数值例子 依据以上方法 ,在微机上使用 Matlab软件编程 实现所述算法 (王泽文等 , 2002),下面给出数值实 例 。 φ(x)=∫ 1 0 2xt 1 4+φ 2 (t)dt +x 2 - x 2 arctan 1 2 (8) 方程(8)的真解为 φ(x)=x 2 。 用投影配置法 ,采用分段线性插值基函数如下 (节点个数为 n): e1(x)= 0 , x2≤x 1 n (x2 -x), x1≤x≤x2 ei(x)= 0, 0≤x≤xi - 1 1 n (x -xi -1), xi -1≤x≤xi 1 n (xi+1 - x), xi≤x≤xi+1 0, xi+1≤x≤1 en(x)= 1 n (x - xn -1), xn - 1≤x≤xn 0, x≤xn - 1 对(6)式中的积分采用高斯数值积分公式 (N =3): ∫ 1 0F(x)dx≈ 1 18 [ 5F (x1) +8F(x2)+5F (x3)] , x1 = 0.113 , x2 =0. 5 , x3 =0. 8878。 分别取节点数为 n =100和 n =200时 ,计算结 果分别如图 1、图 2所示。 图 1 方程(8)的数值解(n=100, N =3)与真解比较 F ig. 1 Compar ison o f two so lu tions o f equa tion(8) (n =100, N =3) 图 2 方程(8)的数值解(n=200, N =3)与真解比较 F ig. 2 Compar ison o f two so lu tions o f equa tion(8)(n=200, N =3) 由图 2可看出 ,当节点数 n=200时 ,数值解与 真解几乎一致 。 参 考 文 献 韩国强. 1994.非线性积分方程迭代配置法的渐进展开及其外推 [ J] .计算数学 , 4:418 ～ 431. 胡齐芽. 1995.非线性 Fredholm 积分方程数值解的多重校正 [ J] . 湘潭大学自然科学学报 , 17(2):20 ～ 22. 黄象鼎 ,曾钟钢 ,马亚南. 2000. 非线性数值分析 [M ] . 武汉:武汉大 学出版社. 295第 3期 刘唐伟等:第二类非线性 Fredholm 型积分方程数值解 潘宝珍 ,顾传青. 2003. 积分方程解广义逆函数值-算法的一种新用 法 [ J] . 华东地质学院学报 , 26(2):115 ～ 117. 王泽文 ,刘唐伟 ,徐定华. 2002. Lap lace方程 Cau chy问题的一种数 值解法 [ J] .华东地质学院学报 , 25(4):356～ 360. 徐定华. 1997. Numerical S olu tions for Non linear F redholm In tegra l E- quation s of the Second k ind and Their Superconvergence[ J] . Jour- na l of ShangH aiUn iversi ty, 1(2):98～ 104. Numerical Solutions of Nonlinear Fredhoml Integral Equations of the Second K ind LIU Tang-we i , Y ING Zheng-wei, WU Zh i-qiang (Faculty ofM athematics and Informa tion Science, EastChina Institu te o f Technology, Fuzhou, JX 344000 , China) Abstract:The co llocationme thod is used to so lve non linear Fredho lm integ ral equa tions o f the Second kind in ge- ophy sical prob lems. W e transfo rm non linear F redho lm In tegra l Equa tions into the nonlinear algebraic equations, then so lve the algebraic equaitons. Numerical experiments are g iven w ith Gauss numerica l integ ra l formulas. Pro- gramm ing is based on the symbo l func tion o fM atlab softw are. This pape r so lve s the prob lem of hard-programm ing of the nonlinear equa tions. Numerical experimen ts show the efficiency o f the method. The article is va luable for solv ing non linear in teg ra l equa tionsand nonlinear algebraic equa tions. KeyW ords:non linear Fredholm integ ral equations; the co llocation method ;numerica l so lu tions;Matlab soft- ware. 296 东 华 理 工 学 院 学 报 2005年