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第 12 周作业
“非线性动态电路的分岔”应用实例
1. 传染病模型
在传染病学的开创性研究中，Kermack 与 McKendrick (1927)为传染病的演化提出了
下面的简单模型。
假设人群能被分为三类：x(t)=健康的人数；y(t)=生病的人数，z(t)=死亡人数。设总
的人数数量保持不变，除了因传染病而死亡的人群（即传染病演化很迅速，忽略因为出
生、迁徙或其他原因死亡导致的人口缓慢变化）。
该模型为：
x kxy
y kxy ly
z ly
其中，k 与 l 为正常数，初始值 0(0) (0) 0, (0) 0x x y z ， 。该方程基于两个假设：
a) 健康人群的发病率与 x、y 的乘积成比例。这意味着如果健康与生病人群以与其人
数呈比例的比率相遇，每次相遇将以常数概率引起疾病的传播。
b) 病人以常数比率 l 死亡。
我们可以通过下述步骤将这个三阶系统模型简化为一阶系统：
（1） 证明 x y z N ，式中 N 为常数；
（2） 利用 x z ， 的方程证明 0( ) e
kz
lx t x
，其中 0 (0)x x ；
（3） 证明 z 满足一阶方程 0e
kz
lz l N z x
；
（4） 证明可通过适当的变量调整，将方程无量纲化为
d
e
d
uu a bu
（5） 证明 1, 0a b ；
（6） 求出不动点 u 的个数，并分析其稳定性；
（7） 证明 ( )u t 的最大值与 ( )z t 和 ( )y t 的最大值在相同时间出现。（该时间称为传染
病的顶峰，表示为 topt 。相比其他时间，此时有更多的病人与更高的每日死亡率。）
（8） 证明若 1b ，则 ( )u t 在 0t 时增加，并在某个时间 topt > 0 达到最大。意味着
情况在好转之前会变得更糟。（传染病这一术语就是对应这一情形）。正 ( )u t 最
终减小到 0。
（9） 另一方面，证明若 1b ，则 top 0t （即若 1b ，传染病没有发生）。
（10） 条件 1b 是传染病发生的临界条件，你能给出该条件的生物学解释吗？
（11） Kermack 与 McKendrick 证明了他们的模型对 1906 年孟买的瘟疫数据给出了很
好的拟合，你将怎样改进该模型使它更适合当前的新冠疫情？哪个条件需要修
改？（提示：这是一个开放性问题，大家可以结合世界各国的疫情防控策略进
行讨论）
2. 上述问题可进一步简化。由于 0 0x y ， ，方程 ( )z t 表示死亡人数，在 x, y 中几乎不
发挥作用，所以先忽略不计，于是模型变为
x kxy
y kxy ly
（1） 找出所有不动点，并进行分类；
（2） 画出相图，分析当 t 时，会发生什么？
（3） 令 0 0( , )x y 为初始推荐，如果 ( )y t 开始增加，就说明一种流行病开始发生了，那
么在什么条件下流行病会发生呢？